諸建金

我們知道，二次函數(shù)圖象是軸對稱圖形，三次函數(shù)圖象是中心對稱圖形，那么，四次函數(shù)圖象是否是軸對稱圖形？如果是，對稱軸方程是什么？我們對四次函數(shù)圖象對稱性進(jìn)行了類比、聯(lián)想、猜測、論證，獲得了令人高興的結(jié)論。

一般地，設(shè)四次函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a≠0），先研究簡單特殊的情況：

1. 當(dāng)a=1時，f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e此時，設(shè)y=f（x）的對稱軸為l：x=x0，P（x1，y1）是其圖象上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線[l]的對稱點(diǎn)Q（2x0-x1，y1）也在[y=f（x）]圖象上

[y1=2x0-x14+b2x0-x13+c2x0-x12+d2x0-x1+e 2 ]

由（1）（2）得：

[x14-2x0-x14+bx13-2x0-x13+cx12-2x0-x12][+d2x1-2x0=0]

∴[2x0][x12+2x0-x12][+bx12+x12x0-x1+2x0-x12]+[2x0c]+d=0

整理，得：

[4x0+b][x12]-[2x0][4x0+b][x1]+[8x03]+[4bx02]+[2cx0]+[d]=0，

由于上式對[?x1∈R]恒成立，有

[4x0+b=08x03+4bx02+2cx0+d=0]

∴[x0]=-[b4]，b3-4bc+8d=0

∴當(dāng)a=1時，b3-4bc+8d=0，e∈R時，[y=f（x）]圖象是軸對稱圖形，且對稱軸方程為[x=-b4]

2.一般地，[fx=ax4+bx3+cx2+dx+e]

[=a（x4+bax3+cax2+dax+ea）]

由上知，當(dāng)[（ba）3-4baca+8da=0]，

即b3-4abc+8a2d=0時，[y=f（x）]圖象是軸對稱圖形，且對稱軸方程為[x=-b4a]

綜上可知，并非所有的四次函數(shù)[fx=ax4+bx3+cx2]

[+dx+e（a≠0）]圖象都是軸對稱圖形，當(dāng)a，b，c，d，e滿足b3-4abc+8a2d=0時，[y=f（x）]圖象是軸對稱圖形，對稱軸方程為[x=-b4a]。

同理不難證明任一四次函數(shù)圖像不是中心對稱圖形。endprint