臧茉白

平面解析幾何一直是高考真題卷中拉開差距的提分題，得分率普遍偏低。透露出來的信息，一方面是高考平面解析幾何試題本身需要具備較強的邏輯分析能力，以及問題轉(zhuǎn)化能力和創(chuàng)新能力，另一方面平面解析幾何試題對知識的理解運用要求高，需要考生在平時將平面幾何題熟練掌握，方能舉一反三。而2017年高考數(shù)學真題全國卷1理科20題再次做了一個很好的示范作用，通過對這道題進行一定的分析，以期對平面幾何的類型題有更好的理解和掌握。

題目分析

2017年高考數(shù)學真題全國卷1理科20題作為壓軸出場，具有至關(guān)重要的地位，在題目和題型的設(shè)計上保持著一貫的作風，能夠?qū)W生的成績在整體上拉開差距。對于基礎(chǔ)掌握牢靠的學生來講，是必須要掌握的一道題型。首先從題目上進行簡要的分析，已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，[32]），P4（1，[32]）中恰有三點在橢圓C上。

（1）求C的方程。

考察方向：橢圓的基本方程。主要利用的就是橢圓對稱的特性，可知P3（-1，[32]），P4（1，[32]）此兩點一定是沿y對稱軸對稱分布，并且這橢圓C一定同時經(jīng)過這兩點。而且，又因P4（1，[32]）一定在橢圓C上，那么P1（1，1）由于與P4（1，[32]）X軸一致，y軸上不一致，根據(jù)常理橢圓只可經(jīng)過其中一點。因此，P1（1，1）一定不在橢圓C上，該橢圓C具體如下圖所示。具體的方程求解過程較為簡單和常規(guī)，可根據(jù)P3（-1，[32]），P4（1，[32]）套用常規(guī)掌握的橢圓基本方程?？芍篵=1，a=2。 [x][y][P3（-1，[32]）][P4（1，[32]）][（0，1）] [o]

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

考察方向：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。幾何證明類題目，需要將抽象的平面幾何問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)型代數(shù)問題，要么是通過方程轉(zhuǎn)化、要么是通過定位坐標、要么是通過補等關(guān)系，而這道題很明顯是通過坐標的方式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的，這是核心的解題思路。利用題目中若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，以及設(shè)出直線l的斜率公式來解題。通過幾何本身的問題來優(yōu)化題目。

解題思路分析與解題步驟

（1）求C的方程。

解題思路：

由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點，又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上。直接代入方程，進而求出橢圓的方程

解析 由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點。

又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上。

因此[1b2=11a2+34b2=1]解得[a2=4b2=1]。

故C的方程為[x24+y2=1]。

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

解題思路：由題意可知直線P2A與直線P2B的斜率一定存在，不妨先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，l與x軸垂直，通過計算不符合題設(shè)；再設(shè)l：y=kx+m（m≠1）。將y=kx+m代入[x24+y2=1]，寫出判別式，韋達定理，表示出，由k1+k2=-1列等式表示出k和m的關(guān)系，判斷出直線恒過定點

解析 設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t≠0，且[t<2]，可得A，B的坐標分別為（t，[4-t22]），（t，-[4-t22]）。

則k1+k2=[4-t2-22t-4-t2+22t=-1]，得t=2，不符合題設(shè)。

從而可設(shè)l：y=kx+m（m≠1）。將y=kx+m代入[x24+y2=1]得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0。

由題設(shè)可知△=16（4k2-m2+1）>0。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=[-8km4k2+1]，x1x2=[4m2-44k2+1]。

而k1+k2=[y1-1x1+y2-1x2]

=[kx1+m-1x1+kx2+m-1x2]

=[2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2]。

由題設(shè)k1+k2=-1，

故[2k+1x1x2+m-1x1+x2=0]。

即：[2k+1·4m2-44k2+1+m-1·-8km4k2+1=0]。

解得：[k=-m+12]。

當且僅當m>-1時，△>0，于是l：[y=-m+12x+m]，即[y+1=-m+12（x-2）]，所以l過定點（2，-1）。

平面解析幾何問題的復習方法

根據(jù)對2017年高考數(shù)學真題全國卷1理科20題評析，新課標體系下對平面幾何的考察，是一個綜合性的問題，而不只單單是幾何問題，這就加大了平面解析幾何的難度。通常一條幾何性質(zhì)條件蘊含一個系數(shù)之間的關(guān)系式，利用題目已知和推理可知的代數(shù)問題進行列方程，多種條件熟練掌握綜合運用是解決圓錐曲線高考題的基礎(chǔ)。作為數(shù)形結(jié)合的典型題目，需要掌握基本圖形模型，學會利用題目已給圖形來尋求和換算出數(shù)量關(guān)系，幫助求解問題。其中利用函數(shù)、方程和不等式等代數(shù)工具來研究曲線軌跡，并從代數(shù)角度解釋曲線問題這是解答平面解析幾何問題的重中之重和核心要素。該真題的經(jīng)典解題思路齊次化法如下：

設(shè)α*x+β（y-1）=1，A（[x1]，[y1]）B（[x2]，[y2]）

由[x24+y2=1]得：[x24+y-1+12=1]

∴[14x2+y-12-2y-1·αx+βy-1]=0

∴[1+2βy·1x2+2αy-1x+14=0]

∴[y1-1x1+y2-1x2=-2α1+2β=-1]

∴[2α-2β=1]

x=2，y-1=-2，[x=2y=-1]

可知L恒定過（2，-1）

所以若要熟練掌握平面解析幾何這類問題，從學生自身的角度需要做如下工作：首先以新課標課本作為基礎(chǔ)內(nèi)容的掌握模板，并對《考試說明》中列舉的平面解析幾何類和代數(shù)方程類問題熟記于心，同時需要輔以近五年高考真題的解析與練習，強化和更進一步的認識知識點。高考題源于教材又高于教材，試題的立意往往立足與課本知識但在此基礎(chǔ)上又有一些變動，因此吃透教材所體現(xiàn)的重點、難點、關(guān)鍵點是復習的前提，不斷建立、調(diào)整和優(yōu)化自己的認知方式、解題思維以及相對固化的知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)。其次，注重對平面解析幾何的邏輯轉(zhuǎn)化能力的解題能力培養(yǎng)，以提高解題效率。這需要掌握一定的運算技巧，特別是將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程式來求解。常用的運算策略有：設(shè)而不求、運用定義、巧用幾何性質(zhì)、會設(shè)善求，而這些運算技巧需要一定的解題經(jīng)驗積累，更新運算的固有觀念，嘗試從艱澀的數(shù)學問題中獲得樂趣。endprint