匡婷　曾玄永

分類(lèi)討論思想具有很強(qiáng)的邏輯性、綜合性和探索性，是我們必須掌握的數(shù)學(xué)思想之一. 然而，這種數(shù)學(xué)思想，一般是我們的“軟肋”，具體體現(xiàn)在：不知道分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，不能合理地分類(lèi)，有時(shí)重復(fù)，有時(shí)遺漏；有時(shí)分類(lèi)太多，或者太繁，最后導(dǎo)致求解不完整；或者消耗時(shí)間過(guò)多，導(dǎo)致效率很低.

明確需要分類(lèi)討論的原因

1. 不同的情景中有不同的結(jié)論

例1 某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表. 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. 設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為[Y]（單位：元）. 當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量[n]（單位：瓶）為多少時(shí)，[Y]的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

解析 由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮[200≤n≤500].

（1）當(dāng)[300≤n≤500]時(shí)，

若最高氣溫不低于[25℃]，則[Y=6n-4n=2n].

若最高氣溫位于區(qū)間[20，25]，

則[Y=6×300+2n-300-4n=1200-2n].

若最高氣溫低于[20℃]，

則[Y=6×200+2n-200-4n=800-2n].

[因此EY=2n×0.4+1200-2n×0.4+800-2n×0.2][=640-0.4n]，它是關(guān)于[n]的減函數(shù).

（2）當(dāng)[200≤n<300]時(shí)，

若最高氣溫不低于[20℃]，則[Y=6n-4n=2n] ；

若最高氣溫低于[20℃]，

則[Y=6×200+2n-200-4n=800-2n].

因此[EY=2n×0.4+0.4+800-2n×0.2=160+1.2n，]它是關(guān)于[n]的增函數(shù).

所以[n=300]時(shí)，[Y]的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.

點(diǎn)評(píng) 情景結(jié)合題中的最值問(wèn)題大多都要進(jìn)行分類(lèi)討論，比較不同條件下得出的最值的大小，從而得出整個(gè)問(wèn)題的最值.

2. 參數(shù)的變化范圍不同產(chǎn)生不同的結(jié)論

例2 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)[A1（-a，0）]，[A2（a，0）（a>0）]連線(xiàn)的斜率之積等于非零常數(shù)[m]的點(diǎn)的軌跡，加上[A1]，[A2]兩點(diǎn)所成的曲線(xiàn)[C]可以是圓、橢圓或雙曲線(xiàn). 求曲線(xiàn)[C]的方程，并討論曲線(xiàn)[C]的形狀與[m]值的關(guān)系.

解析 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為[M][（x，y）]，當(dāng)[x≠±a]時(shí)，由題意可得，

[kMA1·kMA2=yx-a·yx+a=y2x2-a2=m]，

即[mx2-y2=ma2（x≠±a）].

又[A1（-a，0）]，[A2（a，0）（a>0）]滿(mǎn)足[mx2-y2=ma2，]

故曲線(xiàn)[C]的方程為[mx2-y2=ma2].

當(dāng)[m<-1]時(shí)，曲線(xiàn)[C]的方程為[x2a2+y2-ma2=1]，曲線(xiàn)[C]是焦點(diǎn)在[y]軸上的橢圓；當(dāng)[m=-1]時(shí)，曲線(xiàn)[C]的方程為[x2+y2=a2]，曲線(xiàn)[C]是圓心在原點(diǎn)的圓；當(dāng)[-10]時(shí)，曲線(xiàn)[C]的方程為[x2a2-y2ma2=1]，曲線(xiàn)[C]是焦點(diǎn)在[x]軸上的雙曲線(xiàn).

點(diǎn)評(píng) 討論二元二次方程[Ax2+By2=1]（[A]，[B]不同時(shí)為0）所表示的曲線(xiàn)類(lèi)型，往往通過(guò)比較[A]與[B]的關(guān)系來(lái)確定.

熟練掌握分類(lèi)討論的方法

例3 設(shè)函數(shù)[f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）]，其中[a∈R].討論函數(shù)[f（x）]極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

解析 由題意得，[x>-1].

[f（x）=1x+1+（2ax-a）=2ax2+ax-a+1x+1].

令[g（x）=2ax2+ax-a+1]，[Δ=a（9a-8）].

（1）當(dāng)[a=0]時(shí)，[g（x）=1]，此時(shí)[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]在[（-1，+∞）]上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

（2）當(dāng)[a>0]時(shí)，[Δ=a2-8a（1-a）=a（9a-8）.]

①當(dāng)[0

②當(dāng)[a>89]時(shí)，[Δ>0]，設(shè)方程[2ax2+ax-a+1=0]的兩根為[x1]，[x2（x1

因?yàn)閇x1+x2=-12]，所以[x1<-14]，[x2>-14].

由[g（-1）=1>0]可得，[-1

所以當(dāng)[x∈（-1，x1）]時(shí)，[g（x）>0]，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x∈（x1，x2）]時(shí)，[g（x）<0]，[f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減；當(dāng)[x∈（x2，+∞）]時(shí)，[g（x）>0]，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增；因此，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（3）當(dāng)[a<0]時(shí)，[Δ>0]，由[g（-1）=1>0]可得，[x1<-1.]當(dāng)[x∈（-1，x2）]時(shí)，[g（x）>0， f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x∈（x2，+∞）]時(shí)，[g（x）<0， f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減；所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)[a<0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)[0≤a≤89]時(shí)，函數(shù)[f（x）]無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)[a>89]時(shí)，函數(shù)[f（x）]有兩個(gè)極值點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 要想進(jìn)行正確合理地分類(lèi)，必須采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值時(shí)，一是注意不要遺漏討論二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況；二是看[Δ>0]是否成立；三還要關(guān)注函數(shù)的定義域，并圍繞它們展開(kāi)分類(lèi)討論.

注意分類(lèi)討論的結(jié)論整合

例4 已知函數(shù)[f（x）=-23x3+2ax2+3x]，令[g（x）=][ln（x+1）+3-f（x）]，若[g（x）]在[（-12，+∞）]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解析 由題意得，[g（x）=ln（x+1）+3-（-2x2+4ax+3）][=ln（x+1）+2x2-4ax].

[∴g（x）=1x+1+4x-4a=4x2+4（1-a）x+1-4ax+1].

又當(dāng)[x∈（-12，+∞）]時(shí)，恒有[x+1>0]，

設(shè)[h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a]，其對(duì)稱(chēng)軸為[x=a-12.]

（1）當(dāng)[a-12≥-12]，即[a≥0]時(shí)，

[Δ=16（1-a）2-16（1-4a）≤0.]

解得，[-2

（2）當(dāng)[a-12<-12]，即[a<0]時(shí)，

[h（-12）>0]，即[1-4（1-a）×12+1-4a>0.]

解得，[a<0.]

綜上所述，實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[a≤0].

點(diǎn)評(píng) （1）含參不等式問(wèn)題，首先要分清誰(shuí)是主變量，誰(shuí)是參變量，以參數(shù)為對(duì)象展開(kāi)討論，回答也應(yīng)該以參數(shù)分類(lèi)作答. （2）求滿(mǎn)足題意的參數(shù)范圍或者解關(guān)于[x]的不等式，對(duì)[x]進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，最后應(yīng)求并集整理好后作答.

轉(zhuǎn)換思維，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論

例5 已知[f（x）=mx3-3x+1≥0（x∈R）]，若對(duì)于任意[x∈[-1，1]]都有[f（x）≥0]，求實(shí)數(shù)[m]的值.

解析 （1）當(dāng)[x=0]時(shí)，無(wú)論[m]取何值，[f（x）≥0]顯然成立.

（2）當(dāng)[x>0]時(shí)，即[x∈（0，1]]時(shí)，[f（x）=mx3-3x+1≥0]化為[m≥3x2-1x3]，設(shè)[g（x）=3x2-1x3]，則[g（x）=3（1-2x）x4]，所以[g（x）]在區(qū)間[（0，12]]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[（12，1]]上單調(diào)遞減.所以[g（x）max=g（12）=4]，從而[m≥4].

（3）當(dāng)[x<0]，即[x∈（-1，0]]時(shí)，[f（x）=mx3-3x+1≥0]可化為[m≤3x2-1x3]，[g（x）]在[（-1，0]]上單調(diào)遞增，因此[g（x）max=g（-1）=4]，從而[m≤4].

綜上所述，[m=4].

點(diǎn)評(píng) 該解法明顯優(yōu)于常規(guī)解法，事實(shí)上，用分離參數(shù)可以使分類(lèi)討論有據(jù)可依，有法可循，有時(shí)甚至能夠優(yōu)化、避免分類(lèi)討論，如本題的條件改成“[x∈（0，1]]”的話(huà)，則更能體現(xiàn)分離參數(shù)的優(yōu)勢(shì)，避免了分類(lèi)討論.