毛明明

縱觀(guān)歷年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷，幾乎年年都會(huì)命制這樣的選擇題：給出幾何體的三視圖，求幾何體的體積或者表面積.試題突出考查考生識(shí)圖、畫(huà)圖、用圖的空間想象能力，是高考的熱點(diǎn)之一.由幾何體的三視圖還原為直觀(guān)圖是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.本文試圖通過(guò)從空間幾何體產(chǎn)生三視圖的源頭中，追溯到連接空間幾何體及其三視圖的根本，從而巧妙地解決三視圖還原幾何體問(wèn)題.

提出問(wèn)題

【例1】如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）

A.6 B.6 C.4 D.4

【分析】這是2014年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ選擇題的壓軸題，由三視圖還原幾何體是解題的關(guān)鍵，也是這道題的難點(diǎn)，很多考生都無(wú)法完成.那么對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題如何解決呢？以點(diǎn)定線(xiàn)、以線(xiàn)定面、追本溯源是解決這類(lèi)問(wèn)題的簡(jiǎn)單方法.

追本溯源

一、從直觀(guān)圖到三視圖的啟示

我們知道點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)、線(xiàn)動(dòng)成面、面動(dòng)成體.點(diǎn)是所有空間幾何體的根本，而有些點(diǎn)對(duì)空間幾何體又起到關(guān)鍵作用，如多面體頂點(diǎn)所在的位置，就決定了該多面體的形狀和大小.因此，我們可以利用這些關(guān)鍵點(diǎn)快速、準(zhǔn)確地由直觀(guān)圖畫(huà)出三視圖.

【例2】如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，畫(huà)出三棱錐C1-BDE的正視圖.

【解析】我們知道光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖稱(chēng)為幾何體的正視圖.根據(jù)正視圖的定義，我們就清楚地看到了正視圖產(chǎn)生的過(guò)程.

1.確定投影面

在本題中，我們可以把平面CDD1C1當(dāng)作是投影面.

2.選擇幾何體的關(guān)鍵點(diǎn)

在本題中，三棱錐C1-BDE的關(guān)鍵點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn)，即B，C1，D，E.

3.確定關(guān)鍵點(diǎn)在投影面上的投影點(diǎn)

在本題中，點(diǎn)B在投影面上的投影為C，其余三點(diǎn)的投影C1，D，E與自身重合.

4.確定各線(xiàn)段在投影面上的投影線(xiàn)（各線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的投影點(diǎn)相連就得到對(duì)應(yīng)的投影線(xiàn)）

在本題中，棱BC1的投影為CC1，棱BD的投影為CD，棱BE的投影為CE，其余的棱的投影不變.

5.確定所畫(huà)線(xiàn)段的虛實(shí)

看得見(jiàn)的線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，看不見(jiàn)的線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，畫(huà)出正視圖如圖3所示.

按照上述步驟，把平面CBB1C1當(dāng)作是投影面畫(huà)岀例2中三棱錐C1-BDE的側(cè)視圖（圖4），把平面ABCD當(dāng)作是投影面畫(huà)岀例2中三棱錐C1-BDE的俯視圖（圖5）.

名師點(diǎn)撥：由空間幾何體的直觀(guān)圖畫(huà)三視圖，確定空間幾何體的關(guān)鍵點(diǎn)是根本.找準(zhǔn)了關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再連接關(guān)鍵點(diǎn)的投影就得到線(xiàn)段（棱）的投影，最后把看得見(jiàn)的線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，看不見(jiàn)的線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，即完成了由空間幾何體的直觀(guān)圖畫(huà)出三視圖的畫(huà)圖過(guò)程.所以，點(diǎn)是幾何體的根本.

二、轉(zhuǎn)換思路——還原幾何體直觀(guān)圖逆向思維法

三視圖還原幾何體的題目，從考查空間想象能力的要求看，就是要考生能根據(jù)三視圖想象出直觀(guān)圖. 高考試題的幾何體往往是由我們熟悉的空間幾何體（如正方體、長(zhǎng)方體等）截去一些部分得到.我們能否利用這一思路來(lái)巧妙解決三視圖還原幾何體的問(wèn)題呢？

再看例1的圖1，三視圖都與邊長(zhǎng)為4的正方形有關(guān)，我們可以考慮該幾何體是由邊長(zhǎng)為4的正方體截去一些部分得到.

由直觀(guān)圖到三視圖的啟示可知，畫(huà)幾何體的三視圖關(guān)鍵是從幾何體的關(guān)鍵點(diǎn)找到對(duì)應(yīng)投影點(diǎn).因此，由幾何體的三視圖想象其直觀(guān)圖，解題的關(guān)鍵也應(yīng)該是從三視圖的關(guān)鍵點(diǎn)找?guī)缀误w投影對(duì)應(yīng)的點(diǎn).若找其三視圖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)難時(shí)，不妨從不是其三視圖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行突破.我們可以按照下面的步驟來(lái)解例1.

【解析】設(shè)該幾何體是由邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1截去一些部分得到.

第一步，由正視圖我們可以確定點(diǎn)A，D一定不在該空間幾何體上，如圖6，用空心圓點(diǎn)表示，從而得到AD上的點(diǎn)也一定不在該空間幾何體上.

第二步，由側(cè)視圖我們可以確定點(diǎn)A，B和A1，B1一定不在該空間幾何體上，從而得到AB和A1B1上的點(diǎn)也一定不在該空間幾何體上.

第三步，由俯視圖我們可以確定點(diǎn)A，A1一定不在該空間幾何體上，從而得到AA1上的點(diǎn)也一定不在該空間幾何體上。

第四步，由側(cè)視圖我們知道棱AA1，BB1的中點(diǎn)至少有一個(gè)在該幾何體上，但由俯視圖我們可以排除棱AA1的中點(diǎn)，故棱BB1的中點(diǎn)M一定在該幾何體上.

第五步，通過(guò)前面的排除，還保留的點(diǎn)有C，C1，D1，M ，可以得到三棱錐M-CC1D1，如圖7所示.我們可以利用例2的方法得到三棱錐M-CC1D1的三視圖.

第六步， 對(duì)比驗(yàn)證，通過(guò)對(duì)比題目給出的三視圖，從而驗(yàn)證所得結(jié)果是否正確. 如果三視圖完全一致，我們得到滿(mǎn)足要求的幾何體；如果三視圖不一致，我們可以考慮刪減個(gè)別點(diǎn)再進(jìn)行驗(yàn)證，直到得到滿(mǎn)足要求的幾何體為止.

綜上所述，我們得到三棱錐M-CC1D1為滿(mǎn)足題目要求的幾何體，易知其中最長(zhǎng)棱為D1M，D1M= =6，故選B.

【名師點(diǎn)睛】如果考生在三視圖中不能確定點(diǎn)在不在幾何體上，就可以用粘貼法來(lái)確定.

如將正視圖復(fù)制粘貼在正方體的正面（圖8-1），從圖中就很容易知道點(diǎn)A，D不在幾何體上；將俯視圖復(fù)制粘貼在正方體的上面（圖8-2），確定點(diǎn)A，A1不在幾何體上；將左視圖復(fù)制粘貼在正方體的左面（圖8-3），確定點(diǎn)A，B和A1，B1不在幾何體上.

【例3】（2016年全國(guó)卷Ⅲ）如圖9，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ）

A. 18+36

B. 54+18

C. 90

D. 81

【解析】該幾何體由長(zhǎng)、寬、高分別為6，3，6的長(zhǎng)方體截去一些部分得到.

第一步， 由三視圖可以確定點(diǎn)B，C，A1，D1 不在該幾何體上，而棱AB，DC，A1B1，D1C1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N可能在該幾何體上.

第二步，如圖10，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可知，四棱柱AEFD-MB1C1N為滿(mǎn)足要求的幾何體.

綜上所述，該幾何體為四棱柱AEFD-MB1C1N，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，所求表面積S=（3×3+3×6+3×3）× 2=54+18，故選B.

點(diǎn)石成金

當(dāng)我們遇到給出幾何體的三視圖求幾何體的體積或表面積的試題時(shí)，利用關(guān)鍵點(diǎn)由三視圖想象并畫(huà)出直觀(guān)圖是解題的關(guān)鍵.我們可以先假設(shè)空間幾何體是由我們熟悉的空間幾何體（如正方體、長(zhǎng)方體等）截去一些部分得到.當(dāng)直接找關(guān)鍵點(diǎn)困難時(shí)，我們通過(guò)轉(zhuǎn)換思路，依三視圖排除不在幾何體上的點(diǎn)，留下在幾何體上的關(guān)鍵點(diǎn)，最后再由關(guān)鍵點(diǎn)連接得到幾何體.endprint