■浙江省天臺中學高三︵2︶班 陳葉晨︵指導教師：褚人統(tǒng)︶

在中學數學課本中出現(xiàn)的角大多是與30°,45°,60°相關(成整數倍)的特殊角,要想表達與運算非特殊角,我們該怎么做呢?下面我們就來談談這個問題。

在中學數學運算里出現(xiàn)的角α,從使用頻率來看有兩類,一類是“特殊角”,另一類是“非特殊角”。所謂α是特殊角,就是指可以通過三角函數的誘導公式,把α化為30°、45°、60°或其倍數的角,或者化為15°、18°或其倍數的角,它們中的每一個角的三角函數值不用查表,都可以通過使用三角公式運算確定出來。上述之外的角,我們都稱為非特殊角,對于這些角,一般要通過查表,方可以得到它們的三角函數值(近似)。

在高考中,非特殊角的表達與運算也與特殊角一樣重要。在一個特定時段內,以點E為中心的7nmile以內海域被設為警戒水域。點E正北55nmile處有一個雷達觀測站A。某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距402nmile的位置B,經過40min又測得該船已行駛到點A與點A相距1013nmile的位置C。

(Ⅰ)求該船的行駛速度(單位:nmile/h)。

(Ⅱ)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由。

(Ⅱ)方法一:如圖1所示,以A為原點建立平面直角坐標系,則B(40,40),設點C的坐標分別是(x2,y2),BC與x軸的交點為D。x2=ACcos ∠CAD =1013cos(45°-θ)=30,y2=ACsin ∠CAD =1013sin(45°-θ)=20,所以過點B、C的直線l的,直線l的方程為y=2x-40。又點E(0,-55)到直線l的距離=35＜7,所以船會進入警戒水域。

圖1

圖2

方法二:如圖2所示,設直線AE與BC的延長線相交于點Q。在△ABC中,由余弦定理得在△ABQ中,由正弦定AE=55＞40=AQ,所以點Q位于點A和點E之間,且QE=15。過點E作EP⊥BC于點P,則EP為點E到直線BC的距離。在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°- ∠ABC)=,所以船會進入警戒水域。評注:題目中對θ是用“其中sinθ=表達的,是常用的表達方式,這里要理解θ是確定的銳角且正弦值為

如果遇到將特殊角隱藏在函數中的問題時,需要仔細識別,從中發(fā)現(xiàn)非特殊角運算的特點,以及與特殊角運算的區(qū)別等。

圖3

評注:在非特殊角的表達、轉換、運算時,我們務必要注意:(1)對于非特殊角,我們要根據它的條件范圍及三角函數值準確判斷它的更小范圍,這個范圍越小越好;(2)有非特殊角參與的運算大多數是需要使用公式asin x+bcosx=Asin(x+θ)的,變形主要是左右互化,這里的θ就是確定的、已知的非特殊角。