(江西省九江第一中學(xué)，江西 九江 332000)

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例析隱藏在物理問題中的指數(shù)函數(shù)及其圖像

許冬保

(江西省九江第一中學(xué)，江西 九江 332000)

指數(shù)函數(shù)是重要的初等函數(shù)，在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。物理量隨指數(shù)函數(shù)變化的規(guī)律是通過微分方程得出的，這雖不是中學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，但本文中所選例題及其解答完全符合中學(xué)的教學(xué)要求。對例題的深度分析旨在揭示物理問題的本質(zhì)，為教學(xué)及命題提供參考。

指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)圖像；阻尼介質(zhì)；暫態(tài)過程

1 指數(shù)函數(shù)概述

用于刻畫自然界生物的增長率，函數(shù)y=ax(a是不等于1的正常數(shù))叫做指數(shù)函數(shù)。它的定義域是全體實(shí)數(shù)。因?yàn)闊o論x為何值，總有axgt;0，且a0=1，所以指數(shù)函數(shù)的圖形，總在x軸上方，且通過點(diǎn)(0，1)。若agt;1，函數(shù)是單調(diào)增加的；若0lt;alt;1，則函數(shù)是單調(diào)減少的。y=ax的圖像與y=a-x的圖像是關(guān)于y軸對稱的[1]。

圖1

在物理學(xué)中，考慮到物理意義，如橫坐標(biāo)表示時間，則圖像僅在第一象限中才有意義。

2 物理量隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律變化

2.1 具有一定初速的物體在阻尼介質(zhì)中的運(yùn)動

圖2

例1：如圖2所示，相距為l的兩水平光滑金屬導(dǎo)軌，左端用電阻R連接，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直置于金屬導(dǎo)軌上，已知金屬棒的電阻為r，導(dǎo)軌電阻忽略不計。整個裝置處于豎直向下的磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，現(xiàn)給金屬棒一水平向右的初速度v0，試分析金屬棒在此后的運(yùn)動性質(zhì)。

圖3

2.2 物體在阻尼介質(zhì)中受到大小為f=kv的阻力作用下的落體運(yùn)動

圖4

例2：以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時，一個物體所受空氣阻力可忽略，另一個物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比。下列用虛線和實(shí)線描繪的兩物體運(yùn)動的v-t圖像(如圖5)可能正確的是( )。

圖5

解析：v-t圖像的斜率表示加速度。物體做豎直上拋運(yùn)動，若不計空氣阻力，設(shè)初速度為v0，重力加速度為g，并取豎直向上的方向?yàn)槭噶康恼较?，則v=v0-gt，顯然v-t圖線是一條向下傾斜的直線(圖5中虛線所示)，其斜率表示重力加速度g。

若計入空氣阻力，據(jù)題意阻力大小f=kv。物體上升、下落過程，由牛頓運(yùn)動定律，有：mg+kv=ma1，mg-kv=ma2。

由全過程速率變化規(guī)律知，物體加速度的大小逐漸減小，且在最高點(diǎn)時，由于瞬時速度v=0，加速度等于g。則在v-t圖像中，當(dāng)v=0時(圖線與橫軸之交點(diǎn))，其切線的斜率大小亦為g，即圖5中實(shí)線在v=0時其切線與虛線相平行。因此，選項(xiàng)D正確。

2.3 物體在阻尼介質(zhì)中受到大小為f=kv2的阻力作用下的落體運(yùn)動

例3：2012年10月，奧地利極限運(yùn)動員菲利克斯·鮑姆加特納乘氣球升至約39km的高空后跳下，經(jīng)過4分20秒到達(dá)距地面約1.5km的高度處，打開降落傘并成功落地，打破了跳傘運(yùn)動的多項(xiàng)世界紀(jì)錄。取重力加速度的大小g=10m/s2。

(1) 若忽略空氣阻力，求運(yùn)動員從靜止開始下落至1.5km高度處所需的時間及其在此處速度的大小。

(2) 實(shí)際上，物體在空氣中運(yùn)動時會受到空氣的阻力，高速運(yùn)動時所受阻力f的大小可近似表示為f=kv2，其中v為速率，k為阻力系數(shù)，其數(shù)值與物體的形狀、橫截面積及空氣密度有關(guān)，已知該運(yùn)動員在某段時間內(nèi)高速下落的v-t圖像如圖6所示。若該運(yùn)動員和所帶裝備的總質(zhì)量m=100kg，試估算該運(yùn)動員在達(dá)到最大速度時所受的阻力系數(shù)。

圖6

點(diǎn)評：該題給出運(yùn)動員下落速度隨時間的實(shí)際變化曲線(按指數(shù)函數(shù)規(guī)律變化)，要求通過估算得出運(yùn)動員在達(dá)到最大速度時所受的阻力系數(shù)。圖6用平滑曲線繪制的圖線與圖4形似質(zhì)異。

2.4 電路的暫態(tài)過程

在一個由自感與電阻組成的LR電路中，由于自感的作用，電路中的電流不會瞬間躍變；同理，電容與電阻組成的RC電路中，電容器上的電壓也不會瞬間躍變。這類從開始發(fā)生變化到逐漸趨于定態(tài)的過程叫暫態(tài)過程[3]。暫態(tài)過程中電路中的電流或電壓隨時間的變化按指數(shù)函數(shù)規(guī)律變化。

圖7

例4：如圖7是用高電阻放電法測電容的實(shí)驗(yàn)電路圖。其原理是測出電容器在充電電壓為U時所帶的電荷量Q，從而求出其電容C。該實(shí)驗(yàn)的操作步驟如下：

① 按電路圖7接好實(shí)驗(yàn)電路；

② 接通電鍵S，調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值，使微安表的指針接近滿刻度。記下這時的電壓表讀數(shù)U0=6.20V和微安表讀數(shù)I0=490μA；

③ 斷開電鍵S并同時開始計時，每隔5s或10s讀一次微安表的讀數(shù)i，將讀數(shù)記錄在預(yù)先設(shè)計的表格中；

④ 根據(jù)表格中的12組數(shù)據(jù)，以t為橫坐標(biāo)，i為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)(如圖8)。

圖8

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圖像，試估算：

(1) 當(dāng)電容器兩端電壓為U0時，該電容器所帶的電荷量Q0；

(2) 該電容器的電容C。

解析：(1) 用一條平滑的曲線將坐標(biāo)系中的各點(diǎn)依次連接起來，得到電容器放電過程中電流i隨時間t變化的曲線。曲線跟橫軸所圍的“面積”表示放電過程中電容器所放出的總的電荷量。由于每個小方格對應(yīng)的電荷量為q=2.50×10-4C。數(shù)得小方格約為32個，因此Q0=8.00×10-3C。

[1] 薛志純.高等數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：9-10.

[2] 繆鐘英，羅啟蕙.力學(xué)問題討論[M].北京：人民教育出版社，2003：155.

[3] 趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程·電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：323-324.

名師簡介：許冬保(1963- )，男，江西九江人。江西省物理特級教師，江西省九江市第一中學(xué)首席教師，江西省物理教學(xué)專業(yè)委員會理事，九江市物理學(xué)會副理事長、物理教學(xué)專業(yè)委員會副理事長，主要研究中學(xué)物理考試命題。