李爭(zhēng)光,劉茂省

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

具有異質(zhì)性擴(kuò)散率的傳染病模型分析

李爭(zhēng)光,劉茂省

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

為了刻畫大尺度空間范圍內(nèi)的個(gè)體移動(dòng)對(duì)疾病傳播的影響，主要研究了異質(zhì)集合種群網(wǎng)絡(luò)的傳染病傳播過(guò)程。由于城市之間存在規(guī)模以及交通發(fā)達(dá)程度等方面的異質(zhì)性, 擴(kuò)散率也存在一定的異質(zhì)性。以城市作為節(jié)點(diǎn),建立了具有異質(zhì)性擴(kuò)散率的傳染病動(dòng)力學(xué)模型,更加準(zhǔn)確地刻畫了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及人們的出行對(duì)疾病傳播的影響。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性及穩(wěn)定性分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn), 并得到了無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的閾值條件。當(dāng)達(dá)到疾病爆發(fā)的閾值條件時(shí),系統(tǒng)存在唯一的地方病平衡點(diǎn), 并且地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論的正確性。研究表明, 增大擴(kuò)散率能加快疾病的流行速度，因此, 通過(guò)有效控制大城市的人口出行率可以在一定程度上控制疾病的爆發(fā)。

傳染病學(xué)；集合種群；異質(zhì)性；反應(yīng)擴(kuò)散方程；擴(kuò)散率；穩(wěn)定性

集合種群描述的是具有一定空間結(jié)構(gòu)的子種群間的相互作用關(guān)系。傳染性疾病的傳播不僅依賴于疾病的生物學(xué)特征, 而且還依賴于種群之間的接觸方式。均勻混合傳染病動(dòng)力學(xué)模型的特點(diǎn)是將人群看作是均勻混合的[1],近來(lái)一些專家學(xué)者考慮網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性，體現(xiàn)了一定的地理差異、種群結(jié)構(gòu)的差異等因素，更具有實(shí)際意義[2-4]。COLIZZA等[2]做了許多代表性的工作，主要考慮交通驅(qū)動(dòng)下的個(gè)體移動(dòng)對(duì)疾病傳播的影響，給出了不相關(guān)網(wǎng)絡(luò)下的疾病傳播閾值。有些研究考慮的是具有異質(zhì)性擴(kuò)散率的網(wǎng)絡(luò)傳染病傳播模型，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)都存在一定的異質(zhì)性，體現(xiàn)在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，有城市規(guī)模的異質(zhì)性、交通條件的異質(zhì)性等方面，導(dǎo)致擴(kuò)散率也存在著一定的異質(zhì)性[3,5-8]。因此, 不僅考慮小尺度范圍內(nèi)的疾病流行規(guī)律[9-10], 同時(shí)也考慮大尺度空間范圍內(nèi)的擴(kuò)散對(duì)疾病流行規(guī)律的影響，更加符合網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的本質(zhì)要求。

1 有反應(yīng)擴(kuò)散過(guò)程的集合種群模型

根據(jù)文獻(xiàn)[11—12]的研究，通常用反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)描述這一傳播過(guò)程，而且假設(shè)反應(yīng)、擴(kuò)散過(guò)程是同時(shí)發(fā)生的[13-14]。

文獻(xiàn)[12]中采用SIS模型：

這里的μ表示恢復(fù)率，β代表染病率。染病者個(gè)體以及易感者個(gè)體在子種群間的擴(kuò)散率分別為DI，DS(DI，DS為非負(fù)數(shù))。網(wǎng)絡(luò)中考慮一個(gè)城市作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，城市與城市之間的人口流通代表邊。城市的人口平均密度用ρ0表示，種群中的內(nèi)部個(gè)體認(rèn)為是均勻混合的。在網(wǎng)絡(luò)傳染病的研究中，一個(gè)重要的量是度(k)，度是刻畫一個(gè)節(jié)點(diǎn)的連邊數(shù)。在文獻(xiàn)[15—16]中考慮的是按節(jié)點(diǎn)建模的方法。假設(shè)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)i來(lái)說(shuō)，反應(yīng)擴(kuò)散方程可表示為

這里Aji(1≤j≤N,1≤i≤N)為鄰接矩陣:Aji=1代表節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間有連接;Aji=0代表節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間沒(méi)有連接。在很小的時(shí)間段Δt內(nèi)，在度為ki的節(jié)點(diǎn)i中，一個(gè)易感者(染病者)個(gè)體任意選擇一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)并移動(dòng)到鄰居節(jié)點(diǎn)的概率為DSΔt/ki(DIΔt/ki)。

2 具有異質(zhì)性擴(kuò)散率的模型分析

(1)

上述系統(tǒng)的ρ0=ρ(t)=ρS(t)+ρI(t)，為常數(shù)。

系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)為

3 無(wú)病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

上述系統(tǒng)在無(wú)病平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣可表示為

其中，A,B,C,D均為階N×N的矩陣塊，其中C矩陣塊為N×N階的零矩陣塊。所以有:

PJ(λ)=P(λA)P(λD),

下面，需要分析A矩陣塊的特征值，取

對(duì)于矩陣塊D，有:

因此，給出如下定理。

注定理1只是無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的充分不必要條件，而且可以看出，若ρ0足夠大，無(wú)病平衡點(diǎn)總是可以達(dá)到不穩(wěn)定狀態(tài)。在理想狀態(tài)下，R*的最大值可取為

4 地方病平衡點(diǎn)的存在唯一性證明

由系統(tǒng)可知，地方病平衡點(diǎn)

滿足下式

(2)

將(2)代入系統(tǒng)(1)中的第2個(gè)式子可得:

(3)

(4)

(5)

(6)

5 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣為

記

由前面的推理可知λA′<0。

(7)

這里的

因?yàn)棣羒<λD′，所以不能直接判斷λD′<0。下面證明λD′<0恒成立。

令系統(tǒng)(1)的第2個(gè)式子右端為0，變形得到:

對(duì)i求和，兩邊同除N，有:

所以可推出:

化簡(jiǎn)上式得:

(8)

由式(7)和式(8)可推出λD′<0,因此正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

6 數(shù)值模擬

由以上理論分析可知，當(dāng)易感者、染病者的擴(kuò)散率相等時(shí), 系統(tǒng)只要存在正平衡點(diǎn)，則正平衡點(diǎn)一定是局部漸近穩(wěn)定的,下面對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)下的集合種群系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證理論的正確性。

圖1 地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性Fig.1 Locally stability of endemic equilibrium

圖2 擴(kuò)散率對(duì)疾病流行速度以及染病人數(shù)的影響Fig.2 Impact of diffusion rate on disease prevalence and the number of infected individuals

可以看出，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到疾病爆發(fā)的條件時(shí)，正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。而且，度相對(duì)較大的節(jié)點(diǎn)染病人數(shù)也相對(duì)較多。

可以看出，增大擴(kuò)散率，會(huì)加快疾病的流行速度，同時(shí)系統(tǒng)的染病率也會(huì)有輕微的增加(見(jiàn)圖2 a))，從圖2 b)可以看出，擴(kuò)散率的增大，會(huì)使系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)更快地達(dá)到平衡狀態(tài)。

7 結(jié) 論

通過(guò)研究具有異質(zhì)性擴(kuò)散率的集合種群傳染病模型，可以得出結(jié)論：一方面，交通越發(fā)達(dá)的城市，染病人數(shù)越多，疾病越容易爆發(fā)；另一方面，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到疾病爆發(fā)的條件后，而且易感者、染病者的擴(kuò)散率相等時(shí), 增大擴(kuò)散率能加快疾病的流行速度，促進(jìn)疾病的爆發(fā)，染病人數(shù)也會(huì)增多。 因此，通過(guò)控制大城市人口出行來(lái)控制疾病的爆發(fā)也是一種有效的途徑，對(duì)疾病的防控具有重要意義。

在模型中, 由于直接算出系統(tǒng)的雅克比矩陣在平衡點(diǎn)處的特征值非常困難, 所以用了估計(jì)的辦法。本文還有一些不足之處, 只討論了染病者擴(kuò)散率與易感者擴(kuò)散率相等時(shí)的疾病傳播規(guī)律, 關(guān)于兩者不相等時(shí)的情況尚在進(jìn)一步的研究當(dāng)中。同時(shí), 模型中假設(shè)種群中的個(gè)體任意選擇一條道路離開(kāi)所在子種群的概率是相同的。 在未來(lái)的研究中, 可考慮與交通流量成比例的概率形式進(jìn)行研究。

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Epidemic modeling analysis in metapopulation networks with heterogeneous diffusion rates

LI Zhengguang, LIU Maoxing

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051, China)

In order to describe the influence of individual movement in the large scale space on the spread of the disease, the propagation of infectious diseases on the heterogeneous meta population network is studied. Due to the difference of urban scale, the discrepancy of traffic conditions and so on, there is some heterogeneity in the diffusion rate. The epidemic dynamics model with heterogeneity reaction diffusion equation is established by taking the city as the node, which more accurately describes the impact of the internet structure and people's travel on the spread of disease. By analyzing the qualitative and stability of the system, it is found that there is a disease-free equilibrium, and the epidemic threshold for the instability of the disease-free equilibrium is obtained. When the epidemic threshold is reached, the system has a unique endemic equilibrium, which is always locally asymptotically stable. Finally, numerical simulations verify the correctness of the theory. Studies indicate that increasing the diffusion rates can speed up the spread of the disease. So, controlling the rate of population travel in large cities can control the outbreak of the disease to a certain extent.

epidemiology; metapopulation; heterogeneity; reaction diffusion equation; diffusion rates; stability

1008-1534(2017)06-0408-06

O175.13

A

10.7535/hbgykj.2017yx06004

2017-07-06;

2017-09-26；責(zé)任編輯：張 軍

山西省自然科學(xué)基金(2015011009)；山西省回國(guó)留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(2016-086)

李爭(zhēng)光 (1991—)，女，山東蘭陵人，碩士研究生，主要從事傳染病動(dòng)力學(xué)方面的研究。

劉茂省副教授。E-mail：liumaoxing@126.com

李爭(zhēng)光,劉茂省.具有異質(zhì)性擴(kuò)散率的傳染病模型分析[J].河北工業(yè)科技,2017,34(6):408-413.

LI Zhengguang, LIU Maoxing.Epidemic modeling analysis in metapopulation networks with heterogeneous diffusion rates[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(6):408-413.