【摘要】近幾年，高考題和高考模擬題經(jīng)常出現(xiàn)求齊次式的最值，對于該類問題求解，學生往往一籌莫展，心存畏懼。事實上對于齊次式求最值可根據(jù)具體情況，會有多種解法：因式分解后換元，重要不等式法等。現(xiàn)代數(shù)學教學往往弱化特解特法，注重通解通法，這里著重介紹這類問題的最一般解法——極坐標代換法和判別式法，談談這兩種方法如何實施。

【關鍵詞】極坐標法 齊次式 判別式法

【中圖分類號】G634.605 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）45-0164-02

題目1： 已知x2-xy+y2=3，求x2+xy+y2的范圍。（2005年浙江高考題改編）

命題組提供了兩種解法：一種是構(gòu)造二次方程用判別式法；另一種用重要不等式求解，但兩種解法都有一定的局限性，尤其不等式法往往只能確定上界或下界，另一個界常常要綜合考慮，費時費力。

我們注意到已知等式和目標式都是齊次式，對于齊次式求最值的一般性方法是極坐標代換法與代“1”轉(zhuǎn)化為純齊次式再減元，然后用判別式法求解。

解法1：令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入已知等式

？圯ρ2=■，

？圯x2+xy+y2=ρ2（1+sinθcosθ）=3■=3■（-■≤t=■sin2θ≤■）=3（-1-■）∈[1，9]

解法2：令x2+xy+y2=s？圯■=1？圯x2-xy+y2=3■？圯（■）■-■+1=■[（■）■+■+1]（令t=■）？圯（1-■）t2-（1+■）t+1-■=0？圯△=（1+■）■-4（1-■）■≥0？圯1≤s≤9 （1-■=0時？圯s=3顯然成立）

近年來在數(shù)學競賽和高考模擬中常常出現(xiàn)已知和目標都是齊次式求最值的情形。

題目2：已知x2-3xy+2y2=1，求x2+y2的最小值。（2012年遼寧初賽題）

命題組提供解法：由已知得 （x-y）（x-2y）=1？圯令x-y=t，得x-2y=■？圯x=2t-■，y=t-■？圯x2+y2=5t2+■-6≥2■-6

所以，最小值是2■-6。

這種解法局限于已知二次齊次式在有理數(shù)域上能分解，若已知齊次式只能在無理域或復數(shù)域分解或者分解式較繁，則該方法不是最佳選項，我們還是回歸到問題的一般解法上。

解法1： 令x=ρcosθ，y =ρsinθ？圯ρ2=■

？圯ρ2=■？圯x2+y2=■？圯最小值為■=2■-6

解法2：令x2+y2 =s？圯■（x2+y2）=1？圯x2-3xy+2y2=■（x2+y2）

兩邊同時除以y2 ，并令■=t？圯（1-■）t2-3t+2-■=0，（顯然s=1時，t=-■）s≠1時？圯△=9-4（1-■）（2-■）≥0？圯s≥-6+2■（s>0）

題目3：已知■-y2 =1，求3x2-2xy最小值。（2016年南通市二模試題）

命題組提供解法：一是將已知分解代換，與上述例題第一種解法類似，另一種解法則是利用雙曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角式再求導求最值。但因式分解代換法較難想到，而雙曲線參數(shù)方程現(xiàn)教材不作要求，因而兩種解法均不具有一般性，我們依然采用上述一般解法。

解法1：令x=ρcosθ，y=ρsinθ？圯ρ2=■？圯3x2-2xy=

■=4■=4■（m=3-2tanθ）？圯3x2-2xy=■≥■=6+4■

解法2：令3x2-2xy=s？圯■（3x2-2xy）=1？圯x2-4y2=■（3x2-2xy）兩邊同時除以y2，并令■=t？圯（1-■）t2+■t-4=0，（顯然s=12時，t=6）s≠12時？圯△=■+16（1-■）≥0？圯s≥6+4■

數(shù)學教學的要旨是把解題的通解通法教給學生，特殊解法固然重要，但通解通法更能體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)和精髓。

以下兩題供大家踐行一下上面的解法：

1.已知a，b∈R+，■+■=1，求ab最大值。（2017年期初省揚中等六校聯(lián)考試題）（提示：令s=ab？圯■=1） 2.若4x2+xy+y2=1，求2x+y最大值。（2011年浙江高考題）

（提示：將目標平方后轉(zhuǎn)化）

作者簡介：

單和平 （1969.10-），副教授，研究方向：數(shù)學教學論，初等數(shù)學研究。endprint