薛維順

【摘要】研究生入學(xué)考試中，基礎(chǔ)題目的考查占了很大比例。重基礎(chǔ)一直是研究生入學(xué)考試的主旨。本文通過對(duì)一道考研題目分別利用等價(jià)無窮小、洛必達(dá)法則、泰勒展開式、三角公式等方法求解，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、夯實(shí)基礎(chǔ)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】重要極限 等價(jià)無窮小 泰勒公式 洛必達(dá)法則 三角公式

【中圖分類號(hào)】O171 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）45-0153-01

等價(jià)無窮小是函數(shù)求極限的一種重要工具，洛必達(dá)法則有時(shí)也會(huì)起到重要作用，甚至有時(shí)會(huì)用到泰勒公式以及三角公式。而對(duì)于一題多解，不僅有利于夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，也會(huì)加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。下面就對(duì)一道考研選擇題進(jìn)行分析，給出6種不同的方法，供學(xué)生學(xué)習(xí)。

例（2017年數(shù)學(xué)二考研試題）：若函數(shù)f（x）=■，x>0b， x≤0在x=0連續(xù)，則（ ）

A.ab=■ B.ab=-■ C.ab=0 D.ab=2

分析：本題考查的是在一點(diǎn)出函數(shù)連續(xù)的定義。最終結(jié)果是要求函數(shù)在0點(diǎn)的右極限等于0點(diǎn)的函數(shù)值。而本質(zhì)是求函數(shù)在0點(diǎn)的右極限。

解法1利用等價(jià)無窮小的替代

在求極限的過程中，等價(jià)無窮小的替換是一個(gè)非常重要的步驟，本題的解題過程中用到了（1-cosx～■x2，x→0）

■■=■■=■=f（0），故ab=■

解法2利用洛必達(dá)法則

好多同學(xué)在求極限的過程中喜歡用洛必達(dá)法則，也有的不判定是否滿足洛必達(dá)法則的條件而直接用。本題正好是■型，且滿足洛必達(dá)法則的條件，故可以用洛必達(dá)法則

■■=■■

再利用重要極限■■=1和函數(shù)的連續(xù)可得ab=■

解法3利用泰勒展公式的開式

利用泰勒展公式的開式也是求極限的一種方法，本題可以直接利用cosx的麥克勞林展開式計(jì)算

■■=■■=■，由函數(shù)的連續(xù)得出ab=■

解法4利用三角函數(shù)的和差化積公式

利用三角函數(shù)的運(yùn)算時(shí)解決三角函數(shù)極限的一種方法，本題中可以把1用cos0代替，利用三角函數(shù)的和差化積公式求解

■■=■■=■■

而后利用重要極限和函數(shù)的連續(xù)得到ab=■

解法5利用三角函數(shù)的倍角公式

對(duì)于三角函數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)該熟記倍角公式，本題就可以利用三角函數(shù)的倍角公式求解。

■■=■■

然后利用重要極限和函數(shù)的連續(xù)性求得ab=■

解法6利用三角函數(shù)的平方和公式

在三角函數(shù)的計(jì)算過程中，三角函數(shù)的平方和為1是經(jīng)常利用的結(jié)果，本題巧妙的利用平方差公式來構(gòu)造平方和公式的變形。

■■=■■=■■=■■

然后利用極限的四則運(yùn)算和重要極限以及函數(shù)的連續(xù)性可得ab=■

通過上述解法可以看出，方法1最簡(jiǎn)單。而在等價(jià)無窮小的替換過程中一定要注意是否滿足等價(jià)無窮小的替換，如果不滿足，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果；對(duì)于方法2是未定式的求極限過程中用得最多的方法，在用之前一定要判定是否滿足洛必達(dá)法則的使用條件，當(dāng)然，用等價(jià)無窮小替換后在用洛必達(dá)法則往往會(huì)起到事半功倍的效果；方法3也是求函數(shù)極限需要掌握的一種方法，有些極限題目只能用泰勒展開式求解，在這里就不再舉例；對(duì)于三角函數(shù)類的題目求極限一定要注意利用三角公式。

通過上述解法我們注意到，在日常的教學(xué)中不僅要注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，更要注重解題方法的培養(yǎng)，注重一題多解、多題一解不僅使學(xué)生掌握解題利器，更能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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