夏茂龍， 黎 勝,2

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 船舶工程學(xué)院,大連 116024；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240)

基于聲壓測(cè)量的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)

夏茂龍1， 黎 勝1,2

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 船舶工程學(xué)院,大連 116024；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240)

通過(guò)建立輻射聲壓與激振力之間的聲壓頻響函數(shù)矩陣，提出了一個(gè)基于測(cè)量聲壓識(shí)別振動(dòng)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法。該方法可以通過(guò)非接觸測(cè)量聲壓來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)阻尼比與模態(tài)振型，避免了附加質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。聲壓頻響函數(shù)矩陣是基于邊界元和Rayleigh積分方法結(jié)合有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程建立的，適用于任意結(jié)構(gòu)且與結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)有明確的關(guān)系；對(duì)于測(cè)量聲壓時(shí)多激勵(lì)單輸出與單激勵(lì)多輸出響應(yīng)的不同試驗(yàn)?zāi)Ｊ?，該方法都能識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。以一平板結(jié)構(gòu)為例，數(shù)值驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性與適用性。

聲壓測(cè)量；模態(tài)參數(shù)；聲壓頻響函數(shù)；振動(dòng)聲輻射

結(jié)構(gòu)振動(dòng)及輻射噪聲可通過(guò)構(gòu)建的模態(tài)分析模型來(lái)表述，若建立了準(zhǔn)確的分析模型，可解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化控制、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、響應(yīng)預(yù)測(cè)等一系列問(wèn)題，因此如何獲得表征模型的模態(tài)參數(shù)是一個(gè)重要的基礎(chǔ)和前提[1]。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析作為一個(gè)傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法通過(guò)測(cè)試結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)如位移、速度、加速度信號(hào)，建立系統(tǒng)的輸入與輸出之間的傳遞函數(shù)來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)[2]。在測(cè)試過(guò)程中：①測(cè)量輸出響應(yīng)的傳感器如加速度計(jì)等會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生附加質(zhì)量的影響，特別是對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)或者密集模態(tài)結(jié)構(gòu)，附加質(zhì)量會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)產(chǎn)生較大影響；②測(cè)量輸出響應(yīng)的傳感器須貼附在結(jié)構(gòu)的表面，當(dāng)結(jié)構(gòu)表面處于高溫等惡劣環(huán)境、結(jié)構(gòu)表面無(wú)法接近或者無(wú)法貼附傳感器時(shí)，則無(wú)法通過(guò)傳感器來(lái)測(cè)量結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。雖通過(guò)激光測(cè)振儀、高速攝像機(jī)等方法可通過(guò)非接觸測(cè)量來(lái)獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，但是儀器較為昂貴，也不能被廣泛應(yīng)用[3]。而基于聲壓的測(cè)量是一種非接觸測(cè)量方法，其與結(jié)構(gòu)的激勵(lì)與響應(yīng)相關(guān)，同時(shí)可以避免附加質(zhì)量、結(jié)構(gòu)表面不可測(cè)等問(wèn)題，基于此本文探討了利用測(cè)量的聲壓信號(hào)來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)聲壓測(cè)量來(lái)獲得結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)也做了很多研究，如近場(chǎng)聲全息方法(Inverse Numerical Acoustics，NAH)[4-5]、聲學(xué)逆問(wèn)題求解方法(Noise,Vibration and Harshness,INA)[6]等可以通過(guò)聲壓測(cè)量陣列來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)響應(yīng)的重建，但其需要輻射聲場(chǎng)的近場(chǎng)聲壓陣列信息，且很少對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析進(jìn)行探討。Prezelj等[7]利用表面近場(chǎng)的測(cè)量聲壓實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)結(jié)構(gòu)模態(tài)重構(gòu)，但是其要求所測(cè)量的聲壓須為距離結(jié)構(gòu)振動(dòng)表面非常近的近場(chǎng)聲壓信息。Zhu等[8-9]通過(guò)有限元方法建立聲固耦合的動(dòng)力學(xué)方程，并以此實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)，然而此方法需建立聲固耦合系統(tǒng)的有限單元模型，對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或者聲場(chǎng)測(cè)量時(shí)，計(jì)算量非常大。國(guó)內(nèi)學(xué)者基于聲壓測(cè)量的研究主要針對(duì)結(jié)構(gòu)噪聲控制，對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面的研究較少。

而利用邊界元方法或者Rayleigh積分方法，可直接建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)與輻射聲場(chǎng)響應(yīng)之間的關(guān)系[10-12]。由此，本文采用邊界元方法和Rayleigh積分方法，無(wú)需重構(gòu)結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)信息，建立了結(jié)構(gòu)激勵(lì)與聲壓響應(yīng)之間的聲壓頻響函數(shù)，推導(dǎo)出輻射聲場(chǎng)與結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、模態(tài)振型)的識(shí)別。該方法通過(guò)非接觸測(cè)量輻射聲場(chǎng)中的響應(yīng)，可以避免加速度計(jì)等附加質(zhì)量的影響；采用的邊界元方法和Rayleigh積分方法可以僅離散表面的單元，計(jì)算簡(jiǎn)便且計(jì)算量小。若輻射聲場(chǎng)中聲壓可測(cè)量得到，則可通過(guò)測(cè)量輻射聲場(chǎng)中任一適當(dāng)位置的聲壓信息來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。對(duì)于不同的試驗(yàn)?zāi)Ｊ?，該方法都可以識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型，對(duì)于單激勵(lì)多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，若識(shí)別了聲壓模態(tài)振型，不僅可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)模態(tài)振型的識(shí)別，而且可通過(guò)聲壓模態(tài)振型表述振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)。最后以一空氣中的平板結(jié)構(gòu)為例，通過(guò)數(shù)值分析測(cè)量結(jié)構(gòu)的聲壓響應(yīng)得到了結(jié)構(gòu)的聲壓頻響矩陣，分別計(jì)算了不同試驗(yàn)?zāi)Ｊ较伦R(shí)別的固有頻率、模態(tài)阻尼比及模態(tài)振型，得到的結(jié)果與數(shù)值解吻合，并討論了隨著距離的變化，識(shí)別的聲壓振型隨距離變化的影響。

1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)

對(duì)于封閉表面結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)問(wèn)題，可看做給定的結(jié)構(gòu)表面聲壓或法向速度在空間中產(chǎn)生的聲場(chǎng)，該聲場(chǎng)可以通過(guò)Kirchoff-Helmholtz方程得到，若P為場(chǎng)點(diǎn)中任意一點(diǎn)，Q為結(jié)構(gòu)封閉表面S上任意點(diǎn)，可建立結(jié)構(gòu)的法向振速與聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)的聲壓的關(guān)系。即

(1)

式中：G(Q,P)=e-ikL/4πL為自由空間格林函數(shù)；p(Q)為點(diǎn)Q處的聲壓值；L=|Q-P|為聲壓場(chǎng)點(diǎn)P與結(jié)構(gòu)表面法向振速點(diǎn)Q之間的距離；k=ω/c為波數(shù)；c為聲速；n為表面S的外法線方向；C(P)為邊界系數(shù)；取決于點(diǎn)P的位置。

對(duì)Kirchoff-Helmholtz方程進(jìn)行離散，可得到結(jié)構(gòu)表面單元的聲壓向量{PS}與結(jié)構(gòu)表面法向振動(dòng)速度{Vns}的公式

[Es]{Ps}=[Ds]{Vns}

(2)

式中：[Es]、[Ds]為系數(shù)矩陣。通過(guò)離散后的Kirchoff-Helmholtz方程，聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)的聲壓可用結(jié)構(gòu)表面聲壓與結(jié)構(gòu)表面法向振速表示

{Pf}=[Ef]{Ps}+[Df]{Vns}

(3)

式中，[Ef]、[Df]為系數(shù)矩陣。

將式(2)與式(3)聯(lián)立，可以得到聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)聲壓P與結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)法向速度之間的關(guān)系，即

{Pf}=([Ef][Es]-1[Ds]+[Df]){Vns}=[Dv]{Vns}

(4)

對(duì)于無(wú)限大平面障板結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)表面可以離散成許多單元表面dS。則結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)中的聲壓可以通過(guò)Rayleigh積分得到，即聲場(chǎng)中的聲壓Pf可以表示為

(5)

式中：ρ0為介質(zhì)的密度；ω為結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)頻率。將Rayleigh積分離散，可得到聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)聲壓Pf與離散的結(jié)構(gòu)表面單元法向速度{Vns}之間的關(guān)系，即

{Pf}=[Dv]{Vns}

(6)

而對(duì)于結(jié)構(gòu)表面法向速度{Vns}與結(jié)構(gòu)表面速度{V}之間的可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣G給出

{Vns}=[G]T{V}

(7)

式(4)、式(6)又可寫作

{Pf}=[Dv]{Vns}=[Dv][G]T{V}=[R]{V}

(8)

式中，[R]可以定義為離散形式的輻射算子。

對(duì)于未封閉表面的三維結(jié)構(gòu)，可通過(guò)間接邊界元方法建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)與產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)的關(guān)系。綜上所述，對(duì)于任意形狀的結(jié)構(gòu)而言，都可以由式(8)建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)輻射聲場(chǎng)中任一點(diǎn)的聲壓Pf與結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)速度{V}之間的關(guān)系，據(jù)此可建立和分析下節(jié)中聲壓頻響函數(shù)矩陣，得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)激勵(lì)與振動(dòng)輻射聲場(chǎng)中聲壓的關(guān)系。

2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的頻響函數(shù)矩陣

若忽略結(jié)構(gòu)與聲場(chǎng)的耦合作用，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到簡(jiǎn)諧激振力Feiωt作用時(shí)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(9)

則頻響函數(shù)矩陣H

(-ω2M+iωC+K)=H-1(iω)

(10)

在上述方程的兩端同時(shí)左乘ΦT，右乘Φ，由于振型Φ的正交性，則式(10)左端化為對(duì)角陣，即

(-ω2Mr+iωCr+Kr)=ΦTH-1(iω)Φ

(11)

兩端取逆矩陣，得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)的位移頻響函數(shù)

H(iω)=Φ(-ω2Mr+jωCr+Kr)-1ΦT=Φ(S)-1ΦT(12)

式中，S為對(duì)角陣，其對(duì)角線元素Srr

(13)

當(dāng)在j點(diǎn)加單位激振力，i點(diǎn)測(cè)量響應(yīng)的幅值時(shí)，

(14)

式(14)可以寫成更一般的形式

(16)

即通過(guò)式(15)得到多自由度結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣H(iω)。

3 結(jié)構(gòu)輻射聲場(chǎng)中聲壓頻響函數(shù)矩陣與模態(tài)參數(shù)識(shí)別

若測(cè)得在施加結(jié)構(gòu)j點(diǎn)的激振Fj，結(jié)構(gòu)振動(dòng)輻射聲場(chǎng)中i點(diǎn)的聲壓Pi，則可定義聲壓傳遞矩陣

(17)

由式(8)可知，結(jié)構(gòu)振動(dòng)輻射聲場(chǎng)中的任意一點(diǎn)的聲壓可由結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)的速度獲得，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下

(18)

若結(jié)構(gòu)自由度為N，結(jié)構(gòu)的單元數(shù)為n，則式(18)可寫作

(19)

式中，Rim為矩陣R第i行第m個(gè)元素，繼續(xù)化簡(jiǎn)可得到

(21)

式中，ψir為第r階模態(tài)振型振動(dòng)時(shí)輻射聲壓響應(yīng)，可定義為第r階聲壓模態(tài)振型，其與結(jié)構(gòu)的激振頻率ω、聲壓位置i對(duì)應(yīng)的輻射算子R，第r階模態(tài)振型φr相關(guān)。

為進(jìn)一步確定各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，以離散的Rayleigh積分為例，化簡(jiǎn)可得到

即結(jié)構(gòu)的聲壓模態(tài)振型的幅值與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率ω2，介質(zhì)密度ρ0成正比，當(dāng)結(jié)構(gòu)表面單元確定后，聲壓模態(tài)振型與振動(dòng)模態(tài)振型φmr，聲壓點(diǎn)與結(jié)構(gòu)表面單元距離L相關(guān)。

則結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)中i點(diǎn)的聲壓也可表示為

(23)

式中，qr為第r階的結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)；通過(guò)式(23)可以看出輻射聲場(chǎng)中任一點(diǎn)的聲壓可以通過(guò)聲壓模態(tài)振型與結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)求得。

因此n個(gè)點(diǎn)聲壓與m個(gè)激振力之間的聲壓頻響函數(shù)矩陣為

式中，HAi,j由式(20)、式(21)表示為

(25)

進(jìn)一步的，通過(guò)表達(dá)式(24)、式(25)可以得到在特定頻率下，結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲壓與結(jié)構(gòu)的激振力成正比，這也與Zhu等的結(jié)論相同，驗(yàn)證了文獻(xiàn)[13]的假設(shè)，另外，文獻(xiàn)[14]假設(shè)在非常近場(chǎng)的情況下，聲壓的振幅與結(jié)構(gòu)振動(dòng)的振幅成比例。在此，在固定的頻率下，若聲壓的位置i與結(jié)構(gòu)振動(dòng)表面單元j的位置非常近，由式(22)可得，

(26)

由式(26)得到結(jié)構(gòu)的聲壓振幅與結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值成線性關(guān)系[14]。

基于頻響函數(shù)矩陣分析結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法有很多，如峰值提取法、有理分式多項(xiàng)式法、正交多項(xiàng)式法、PolyMax法等[15]。式(25)與式(15)對(duì)比可知，聲壓頻響函數(shù)矩陣與振動(dòng)頻響函數(shù)矩陣具有相同的形式，兩式都包含的相同極點(diǎn)sr。因此，可以通過(guò)模態(tài)分析法來(lái)獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)阻尼比、模態(tài)振型。

值得注意的一點(diǎn)是，振型矢量通常可以通過(guò)對(duì)一系列響應(yīng)測(cè)點(diǎn)求出的留數(shù)得到。而聲壓頻響函數(shù)雖然與振動(dòng)頻響函數(shù)具有相同形式的留數(shù)矩陣，但是其包含的聲壓模態(tài)振型與振動(dòng)模態(tài)振型不同，識(shí)別的結(jié)果也有所不同。

聲壓頻響函數(shù)的留數(shù)定義為

式中：ψmr為聲壓模態(tài)振型第r階第m個(gè)元素；φnr為振動(dòng)模態(tài)振型第r階第n個(gè)元素。

(1)當(dāng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行任意n點(diǎn)激勵(lì)，測(cè)得任意一點(diǎn)j的聲壓響應(yīng)輸出時(shí)，即通過(guò)聲壓頻響函數(shù)矩陣獲得聲壓留數(shù)矩陣Br的第j行，由式(27)通過(guò)計(jì)算得到振動(dòng)模態(tài)振型φr。

(2)當(dāng)結(jié)構(gòu)受任意一點(diǎn)i激勵(lì)，m個(gè)聲壓響應(yīng)值輸出時(shí)，即通過(guò)聲壓頻響函數(shù)矩陣獲得留數(shù)矩陣Br的第i列，由式(27)通過(guò)計(jì)算得到聲壓模態(tài)振型ψr。

因此，根據(jù)不同的試驗(yàn)?zāi)Ｊ?，我們可以分別得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)振型φr與聲壓模態(tài)振型ψr。

進(jìn)一步，若無(wú)法通過(guò)(1)直接獲得結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)振型φr，而只能通過(guò)(2)得到結(jié)構(gòu)的聲壓模態(tài)振型ψr，則式(21)寫成矩陣的形式

ψr=Rpφr,Rp=iωR

(28)

所以

(29)

但是在聲學(xué)逆問(wèn)題求解過(guò)程中，仍存在很多問(wèn)題[16]。當(dāng)Rp的條件數(shù)很大即為病態(tài)矩陣時(shí)，若ψr引入很小的噪聲干擾，就會(huì)引起φr的擾動(dòng)。而這在試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中測(cè)量是難以避免的，當(dāng)Rp為病態(tài)矩陣時(shí)直接由式(29)計(jì)算的模態(tài)振型φr是不準(zhǔn)確的。

對(duì)此很多學(xué)者也做了研究。若Rp可隨試驗(yàn)條件改動(dòng)，則可通過(guò)增加聲場(chǎng)測(cè)點(diǎn)的位置，來(lái)豐富聲場(chǎng)信息從而降低矩陣Rp的條件數(shù)，再通過(guò)式(29)來(lái)直接計(jì)算結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。若Rp不可改動(dòng)，則可通過(guò)截?cái)嗥娈愔捣纸?Truncated Singular Value Decomposition,TSVD)[17]或者正則化方法[18]來(lái)降低結(jié)構(gòu)的“病態(tài)性”，從而計(jì)算得出結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。

4 數(shù)值計(jì)算與討論

4.1 模型的的建立

以四邊簡(jiǎn)支的矩形鋼板在空氣中的振動(dòng)聲輻射為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，平板板長(zhǎng)Lx=0.455 m，板寬Ly=0.379 m，板厚h=0.003 m，板密度ρs=7 850 kg/m3，彈性模量E=2.1×1011N/m2，泊松比υ=0.3，空氣密度ρ0=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s，平板結(jié)構(gòu)設(shè)為瑞利阻尼，阻尼系數(shù)基于結(jié)構(gòu)的前兩階頻率ω1、ω2和阻尼比0.01得到：α=7.362，β=1.177×10-5。

計(jì)算中采用四邊形四節(jié)點(diǎn)等參單元將平板單元離散為16×16的單元，單元節(jié)點(diǎn)數(shù)為289，因四邊簡(jiǎn)支，邊界上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，中間的節(jié)點(diǎn)每個(gè)有1個(gè)垂向平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，故自由度數(shù)為803。有限元是基于Mindlin板彎曲理論，板單元Rayleigh積分的離散與有限元計(jì)算同樣的網(wǎng)格?？赏ㄟ^(guò)有限元數(shù)值計(jì)算得到結(jié)構(gòu)前6階的固有頻率與模態(tài)振型，模態(tài)阻尼比可由瑞利阻尼系數(shù)與固有頻率得到。

在試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，主要在兩種試驗(yàn)?zāi)Ｊ较掠?jì)算聲壓頻響函數(shù)，分別為單激勵(lì)輸入多聲壓輸出系統(tǒng)與多激勵(lì)輸入單聲壓輸出系統(tǒng)，具體如下：①激振力作用于編號(hào)40(x=0.284 m,y=0.071 m)的位置，大小為1 N;測(cè)量距離平板z=0 m，z=0.01 m，z=0.05 m，z=0.08 m，z=0.1 m，z=0.15 m，z=0.2 m的所有節(jié)點(diǎn)位置處的聲壓幅值，通過(guò)式(17)、式(24)獲得隨距離、頻率變化的聲壓頻響函數(shù)矩陣。②對(duì)板表面除邊界外的編號(hào)位置進(jìn)行激勵(lì)，測(cè)量編號(hào)40，距離平板z=0 m,z=0.01 m,z=0.05 m,z=0.08 m,z=0.1 m,z=0.15 m,z=0.2 m位置處的聲壓幅值，通過(guò)式(17)、式(24)獲得獲得隨距離、頻率變化的聲壓頻響函數(shù)矩陣。

采用有理分式多項(xiàng)式法對(duì)獲得的聲壓頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行擬合，獲得結(jié)構(gòu)的頻率和模態(tài)阻尼比。對(duì)于多激勵(lì)輸入單聲壓輸出系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)Ｊ絹?lái)說(shuō)，可計(jì)算出結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)振型，對(duì)于在節(jié)點(diǎn)或者節(jié)點(diǎn)線上測(cè)點(diǎn)的結(jié)果因其無(wú)法準(zhǔn)確獲得其對(duì)應(yīng)階的頻響函數(shù)，故所識(shí)別的對(duì)應(yīng)階的頻率、模態(tài)阻尼比、模態(tài)振型系數(shù)不予采用。對(duì)于單激勵(lì)輸入多聲壓輸出的的試驗(yàn)?zāi)Ｊ絹?lái)說(shuō)，可由式(25)、式(26)獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)阻尼比與聲壓模態(tài)振型。同樣的若測(cè)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)或者節(jié)點(diǎn)線上，則所識(shí)別的對(duì)應(yīng)階的頻率、模態(tài)阻尼比、聲壓模態(tài)振型系數(shù)不予采用。進(jìn)一步的，若通過(guò)結(jié)構(gòu)表面的離散單元計(jì)算求出Rp，當(dāng)z=0.08 m時(shí)，Rp的條件數(shù)為1.58×107，此時(shí)無(wú)法通過(guò)式(29)通過(guò)聲壓模態(tài)振型準(zhǔn)確計(jì)算出振動(dòng)模態(tài)振型。因此當(dāng)z≥0.08 m時(shí)采用TSVD法來(lái)改善Rp矩陣的性態(tài)。 平板結(jié)構(gòu)及測(cè)點(diǎn)位置見圖1。

圖1 平板結(jié)構(gòu)及測(cè)點(diǎn)位置Fig.1 The plate structure and positions of measurement

4.2 計(jì)算結(jié)果與討論

通過(guò)數(shù)值計(jì)算分別為單激勵(lì)輸入多聲壓輸出系統(tǒng)與多激勵(lì)輸入單聲壓輸出系統(tǒng)的聲壓頻響函數(shù)矩陣，再通過(guò)擬合進(jìn)行結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。由于結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比僅通過(guò)適當(dāng)一點(diǎn)的聲壓頻響函數(shù)即可識(shí)別，本節(jié)采用了編號(hào)40(x=0.284 m,y=0.071 m)、49(x=0.144 m,y=0.095 m)、152(x=0.057 m,y=0.284 m)位置的測(cè)量數(shù)據(jù)求出結(jié)構(gòu)的固有頻率與阻尼比并取平均值。以距離表面z=0.01 m,z=0.08 m,z=0.2 m為例，識(shí)別的結(jié)果與采用有限元方法計(jì)算的結(jié)果如表1～表3，得到的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型以z=0.08 m為例如表4。將求得的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型與有限元分析得到的模態(tài)振型進(jìn)行模態(tài)置信度準(zhǔn)則(Modal Assurance Criterion，MAC)分析，以此來(lái)判斷識(shí)別的振型與理論振型的準(zhǔn)確性，得到MAC矩陣如表5。

由MAC分析可知，矩陣的對(duì)角元素大于99%，非對(duì)角元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于主對(duì)角元素，驗(yàn)證了識(shí)別振型的準(zhǔn)確性。

表1 z=0.01 m模態(tài)識(shí)別結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表2 z=0.08 m模態(tài)識(shí)別結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表3 z=0.2 m模態(tài)識(shí)別結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表4 模態(tài)振型結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果(z=0.08 m)

表5 識(shí)別模態(tài)振型與有限元分析模態(tài)振型的MAC矩陣(z=0.08 m)

測(cè)量距離對(duì)于模態(tài)參數(shù)識(shí)別的結(jié)果有一定的影響。且隨著距離的增加，識(shí)別的聲壓模態(tài)振型也會(huì)有所不同，在此同樣以平面鋼板為例，探討了隨距離變化，對(duì)聲壓模態(tài)振型的識(shí)別結(jié)果如表6。

通過(guò)表6可知，隨著距離的增加，所識(shí)別的模態(tài)聲壓振型也有所不同，即對(duì)于單模態(tài)振動(dòng)而言，當(dāng)距離表面較近時(shí)，結(jié)構(gòu)的聲壓模態(tài)振型與結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型成比例關(guān)系；當(dāng)距離增加時(shí)，結(jié)構(gòu)的聲壓模態(tài)振型隨著波陣面擴(kuò)展，所識(shí)別的聲壓模態(tài)振型結(jié)果同振動(dòng)模態(tài)振型也會(huì)有較大變化；當(dāng)距離gt;0.5 m時(shí)，對(duì)于奇-奇振動(dòng)模態(tài)而言，在觀測(cè)面上不再有明顯的振型區(qū)別，對(duì)于偶-偶模態(tài)而言，在觀測(cè)面上只有邊角處有較大數(shù)值。因此，在傳聲器布置位置時(shí)，需考慮距離的變化對(duì)聲壓模態(tài)振型的影響，選擇適當(dāng)?shù)膫髀暺鳒y(cè)量結(jié)果來(lái)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。

表6 不同距離下前6階聲壓模態(tài)振型識(shí)別結(jié)果

以一平板結(jié)構(gòu)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析，在多激勵(lì)輸入單聲壓輸出與單激勵(lì)多輸出的試驗(yàn)分析中，表1、表2、表3的結(jié)果表明，識(shí)別的前6階固有頻率、模態(tài)阻尼比與有限元分析的模態(tài)固有頻率與阻尼比吻合，且隨著與平板距離的增加，傳聲器在z=0.01 m,z=0.08 m,z=0.2 m上也同樣能識(shí)別準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)固有頻率與模態(tài)阻尼比。之所以能準(zhǔn)確地識(shí)別前6階模態(tài)參數(shù)在于：所選的觀測(cè)平面位于平板結(jié)構(gòu)的正上方，且與平板的激振方向一致；所選測(cè)點(diǎn)的位置避開了振動(dòng)模態(tài)振型或聲壓模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)線，可以同時(shí)得到多階模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生的輻射聲壓；同樣隨著距離的增加，所測(cè)聲壓雖小，但沒(méi)有其他噪聲的干擾，因此能得到各階模態(tài)振動(dòng)聲輻射的聲壓響應(yīng)。若所選的測(cè)點(diǎn)位置不當(dāng)或考慮噪聲的影響而無(wú)法獲準(zhǔn)確得對(duì)應(yīng)階模態(tài)振動(dòng)輻射聲場(chǎng)的響應(yīng)，則影響此方法識(shí)別的精度。

以z=0.08 m為例，由表5、表6可知，在多激勵(lì)輸入單聲壓輸出與單激勵(lì)多單聲輸出的試驗(yàn)分析中，所識(shí)別的振動(dòng)模態(tài)振型與有限元分析結(jié)果吻合，經(jīng)MAC矩陣的驗(yàn)證，矩陣的主對(duì)角元素大于99%，這也驗(yàn)證了所識(shí)別振動(dòng)模態(tài)的準(zhǔn)確性。當(dāng)z≤0.08 m，所識(shí)別的聲壓振型與所識(shí)別的模態(tài)振型相似，這也數(shù)值驗(yàn)證了Elwali等的假設(shè)。隨著距離的增大，在觀測(cè)面的聲壓模態(tài)振型有了較大變化，因此在傳聲器布置時(shí)同樣要考慮距離的影響。

5 結(jié) 論

本文基于邊界元和Rayleigh積分方法結(jié)合有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的聲壓頻響函數(shù)矩陣，建立了聲壓頻響函數(shù)矩陣與結(jié)構(gòu)模態(tài)的關(guān)系，并基于此提出了基于振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲壓來(lái)識(shí)別振動(dòng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、結(jié)構(gòu)模態(tài)振型)的方法，該方法可以通過(guò)非接觸測(cè)量振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲壓來(lái)識(shí)別，避免了附加質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。對(duì)于聲壓測(cè)量的多激勵(lì)單輸出與單激勵(lì)多輸出響應(yīng)的不同試驗(yàn)?zāi)Ｊ剑摲椒ǘ寄茏R(shí)別結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)阻尼比與模態(tài)振型。最后以一平板結(jié)構(gòu)為例，數(shù)值驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性與適用性。數(shù)值結(jié)果表明，該方法能準(zhǔn)確地識(shí)別平板結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)阻尼比與模態(tài)振型，驗(yàn)證了基于聲壓測(cè)量的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的準(zhǔn)確性，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

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Identificationofstructuralmodalparametersbasedonsoundpressuremeasurement

XIA Maolong1, LI Sheng1,2

(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, School of Naval Architecture,Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

Based on the frequency response function of sound pressure, a method of identifying structural modal parameters from measured sound pressure was proposed. It can accurately identify the structural natural frequencies, damping ratios and mode shapes from the measured sound pressure, and can avoid mass loading due to the use of vibration sensors on the structure in traditional measurements. Combined with structural dynamic equations, the sound pressure frequency response function was established based on the boundary element method and the Rayleigh integral formulation for sound radiation from an arbitrary body. The method was also able to identify the structural modal parameters with Single-Input-Multiple-Output testing and Multiple-Input-Single-Output testing. Finally the accuracy and the validity of the method were verified through numerical simulations.

sound pressure measurement; identification of modal parameters; frequency response function of sound pressure; vibration and sound radiation

遼寧省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(LZ2014004)

2016-04-11 修改稿收到日期：2016-07-18

夏茂龍 男，博士生，1988年生

黎勝 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1973年生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.036