郭 勇， 謝建華

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

微尺度懸臂管的空間彎曲振動(dòng)-非線性運(yùn)動(dòng)方程及尺度效應(yīng)

郭 勇， 謝建華

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

具有圓環(huán)形橫截面的微尺度懸臂輸液管可以同等地向空間各方向產(chǎn)生彎曲振動(dòng)。按照歐拉-伯努利梁理論，在分析管道上點(diǎn)的位移及相關(guān)幾何關(guān)系的基礎(chǔ)上，考慮Lagrange應(yīng)變張量所給出的幾何非線性，基于修正的偶應(yīng)力理論計(jì)算了管的應(yīng)變能，運(yùn)用Hamilton原理建立了微尺度懸臂輸液管的空間彎曲振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程。研究了無(wú)量綱材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響，結(jié)果表明，尺度效應(yīng)增大管道的臨界流速，并使得穩(wěn)定的平面周期運(yùn)動(dòng)(空間周期運(yùn)動(dòng))在整個(gè)質(zhì)量比區(qū)間上占的比例越大(小)。

微尺度懸臂管；空間彎曲振動(dòng)；偶應(yīng)力理論；Lagrange應(yīng)變張量；周期運(yùn)動(dòng)

輸液管道是一種重要的工程結(jié)構(gòu)，在實(shí)際應(yīng)用中，管道橫截面通常被設(shè)計(jì)成圓環(huán)形，從而可以同等地向空間各方向彎曲。在宏觀管研究方面，Lundgren等[1]用力平衡法推導(dǎo)了輸液管道的空間振動(dòng)方程。Bajaj等[2]研究懸臂管的空間振動(dòng)，運(yùn)用嚴(yán)格的方法將無(wú)窮維系統(tǒng)降階為限制在不變流形上的三個(gè)方程，在此基礎(chǔ)上論述了管道平面周期運(yùn)動(dòng)、空間周期運(yùn)動(dòng)及環(huán)面運(yùn)動(dòng)的存在性、穩(wěn)定性。Wadham-Gagnon等的工作推進(jìn)了懸臂管空間非線性振動(dòng)問(wèn)題的研究。Wadham-Gagnon等[3]用Hamilton原理推導(dǎo)了具有彈簧約束和終端質(zhì)量的懸臂輸液管的空間彎曲振動(dòng)方程。Pa?doussis等研究了中間支承彈簧對(duì)懸臂管的三維運(yùn)動(dòng)的影響。Modarres-Sadeghi等研究了自由端附有質(zhì)量塊的懸臂管的空間動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)[4-5]還討論了作伽遼金離散時(shí)所取模態(tài)數(shù)對(duì)問(wèn)題結(jié)果的影響。Ghayesh等[6]首次考慮支承彈簧和末端質(zhì)量塊同時(shí)存在時(shí)懸臂管的空間運(yùn)動(dòng)。Chang等[7]研究了具有末端附加質(zhì)量的懸臂管的受迫振動(dòng)。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，管道的特征尺寸可以設(shè)計(jì)得越來(lái)越小，在文獻(xiàn)[8]中，圓型微管的內(nèi)徑已達(dá)1～100 μm的數(shù)量級(jí)。微尺度管道廣泛應(yīng)用于微機(jī)電力學(xué)系統(tǒng)以及微流體的傳輸，例如微流管已應(yīng)用于諧振器的設(shè)計(jì)及藥物的注射[9-10]，微流管噴頭已應(yīng)用于微小平面的書寫及打印等等[11-12]。為給實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)，有必要對(duì)微尺度流管的動(dòng)力特性及穩(wěn)定性進(jìn)行深入的研究。Fleck等[13-15]的工作表明，微結(jié)構(gòu)具有尺度依賴行為。因此，不能直接對(duì)微尺度管應(yīng)用宏觀管理論，需要借助非經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論對(duì)其加以描述。實(shí)驗(yàn)觀測(cè)表明，對(duì)于微結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)、彎曲等，由Yang等[16]所修正的偶應(yīng)力理論能夠成功地估計(jì)其尺度效應(yīng)?；谠摾碚?，微梁的自由振動(dòng)[17]、強(qiáng)迫振動(dòng)[18]、屈曲[19]、參數(shù)振動(dòng)[20]等相繼得到研究。在微尺度流管研究方面，Wang等[21-22]分別在輸液管的歐拉梁模型和Timoshenko梁模型假設(shè)下建立微管的線性振動(dòng)方程，考察了不同微尺度情形下流速對(duì)管道固有頻率的影響。文獻(xiàn)[23]研究微管的空間彎曲振動(dòng)的線性方程，不僅考慮了管材料的微尺度效應(yīng)，還引入了管內(nèi)流體的微尺度因素。Yang等[24]考慮軸向拉伸所導(dǎo)致的幾何非線性，基于修正的偶應(yīng)力理論研究了微管的平面振動(dòng)。Hosseini等[25]考慮懸臂微管平面振動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，研究了微尺度效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)頻率、臨界流速的影響，發(fā)現(xiàn)相同條件下，微管較之于宏觀管具有更大的頻率及更高的臨界流速。Bahaadini等[26]進(jìn)一步研究了耗散等因素對(duì)科學(xué)儀黏彈性碳納米懸臂管穩(wěn)定性的影響。Tang等[27]研究了兩端固支曲管的空間非線性振動(dòng)。

從已有文獻(xiàn)可知，在微尺度輸液管的動(dòng)力學(xué)建模方面，平面或者空間振動(dòng)的非線性方程均是針對(duì)兩端支撐管建立的，對(duì)懸臂管的大振幅空間彎曲振動(dòng)問(wèn)題，目前似還沒有相應(yīng)的文獻(xiàn)可以參考，因此在非線性建模方面的工作有待完善，進(jìn)一步地，尺度效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響有待考察。當(dāng)考慮微尺度效應(yīng)的時(shí)候，微元體的應(yīng)變能不能明顯地表示為管的形心線(管橫截面的形心連線)曲率的函數(shù)，因此本文從應(yīng)變能的基本表達(dá)式出發(fā)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的幾何分析，運(yùn)用Hamilton原理建立系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程；以此為基礎(chǔ)，研究了尺度效應(yīng)對(duì)管道振動(dòng)特性的影響。

1 力學(xué)模型、位移場(chǎng)及相關(guān)幾何分析

如圖1(a)所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的微尺度懸臂輸液管，橫截面積為Ap，抗彎剛度為EI，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m，其輸送的流體單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為M，流速V相對(duì)管的形心線為常數(shù)。管的橫截面是具有O(2)對(duì)稱性的圓環(huán)(見圖1(b))。

以管道未變形時(shí)的形心線為x軸，懸臂端面為yz平面建立參考系oxyz(見圖1(c))，管道作一般的空間彎曲振動(dòng)(見圖1(d))。取另一個(gè)坐標(biāo)系OXYZ與管道固結(jié)，作為管道上物質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日描述，該系在管未變形時(shí)與oxyz重合。X的值等于管道橫截面形心離原點(diǎn)的弧長(zhǎng)s，因此，為了突出物理意義，以下用(s,Y,Z)代替(X,Y,Z)表示管道上的物質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖1 力學(xué)模型Fig. 1 The mechanical model

分析管道上點(diǎn)的位移及相關(guān)的幾何關(guān)系，借此導(dǎo)出它的應(yīng)變能。本文考慮細(xì)長(zhǎng)管，根據(jù)歐拉-貝努利梁假設(shè)，由j′k′(見圖1(d))確定的圓截面視為剛性的，即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生變形。從而管道上某點(diǎn)在任一瞬時(shí)的位移包括：其所在的橫截面隨圓心的平移部分及該面繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)部分。平移部分容易分析，也就是隨形心線的運(yùn)動(dòng)(見圖2(a)中點(diǎn)圈到短劃線圈的平移)。下面分析轉(zhuǎn)動(dòng)部分。我們知道，圓心固定的剛性圓盤在空間的位置由兩個(gè)方面確定：過(guò)圓心的法線及繞法線的轉(zhuǎn)動(dòng)(見圖2(b))。因此，管道上任一橫截面在平移之后的轉(zhuǎn)動(dòng)部分可以分解為：

(1) 平移后的構(gòu)形繞圓心(具體為繞圖2(a)中的ω軸)旋轉(zhuǎn)至與瞬時(shí)構(gòu)形平行(見圖2(c)中的短劃線圈旋轉(zhuǎn)到實(shí)線圈)。

(2) 圖2(c)中的實(shí)線圈繞過(guò)圓心的法線(如圖2(d)所示的τ軸)旋轉(zhuǎn)，直到與瞬時(shí)構(gòu)形(粗實(shí)線圈)重合。

設(shè)管道形心線上一點(diǎn)(s, 0, 0)在t時(shí)刻的位置為

r=r(s,t)=(s+u,v,w)

(1)

由歐拉-貝努利梁假設(shè)，橫截面在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終垂直于管道形心線的切線，即切線與τ軸重合。剛體繞點(diǎn)的有限轉(zhuǎn)動(dòng)可以通過(guò)剛體繞某條過(guò)該點(diǎn)的軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)動(dòng)(i)的有限轉(zhuǎn)角方向?yàn)?/p>

(2a)

單位化以后得

圖2 橫截面的運(yùn)動(dòng)Fig. 2 The motions of a cross section

(2b)

轉(zhuǎn)角大小|ω|為轉(zhuǎn)動(dòng)前后橫截面各自的法線方向i與τ的夾角(見圖3)，滿足關(guān)系

圖3 轉(zhuǎn)角大小|ω|的幾何關(guān)系Fig. 3 The geometrical relation for the rotation

(3)

因?yàn)闆]有初始外力矩，繞τ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為零。

雖然有限轉(zhuǎn)動(dòng)可以用一個(gè)有大小、有方向的量描述，但是其不滿足矢量運(yùn)算，因此不是矢量，即

ω1+ω2≠ω2+ω1

但是轉(zhuǎn)動(dòng)沿弧長(zhǎng)方向的無(wú)窮小增量卻是一矢量，滿足矢量運(yùn)算平行四邊形法則所要求的對(duì)易律，即

[ω(s+ds)-ω(s)]

(4)

是一矢量。

由以上轉(zhuǎn)動(dòng)分析可知轉(zhuǎn)動(dòng)所導(dǎo)致的截面上點(diǎn)的軸向位移

(5)

至此可以寫出位移場(chǎng)，也就是點(diǎn)(s,Y,Z)的位移

(6)

式中，(u,v,w)為形心線上點(diǎn)的位移，見式(1)。

因?yàn)闆]有初始軸力，可認(rèn)為管的形心線在運(yùn)動(dòng)中不發(fā)生伸長(zhǎng)或壓縮，從而式(7)成立

(1+u′)2+v′2+w′2=1

(7)

2 應(yīng)變能的計(jì)算及動(dòng)能

微尺度結(jié)構(gòu)中微元體的應(yīng)變能密度表達(dá)式和通常彈性力學(xué)中給出的不同，其不僅是應(yīng)變張量的函數(shù)，而且還包括曲率張量對(duì)能量的貢獻(xiàn)項(xiàng)，該部分可由一個(gè)材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)加以刻畫。根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的結(jié)論，各向同性線彈性材料區(qū)域Ω內(nèi)的應(yīng)變能可以寫成

(8)

式中：σ和ε分別為應(yīng)力張量和應(yīng)變張量；m、χ分別為偶應(yīng)力張量的偏部分和對(duì)稱曲率張量，其相互間的關(guān)系為

σ=λtr(ε)δ+2Gε

(9)

ε=(1/2)[u+(u)T]+(1/2)u·(u)T

(10)

m=2l2/Gχ

(11)

χ=(1/2)[θ+(θ)T]

(12)

式中：λ、G為L(zhǎng)amé常數(shù)，其中G也就是通常的剪切模量；δ為單位張量；式(10)為L(zhǎng)agrange應(yīng)變張量，其非線性部分源于管道的大變形；l為表征微尺度效應(yīng)的材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)，取決于材料性質(zhì)；為拉氏梯度算子；u為位移矢量，其分量見式(1)；θ可通過(guò)u的旋度表示為

θ=(1/2)curl(u)

(13)

由不可壓縮條件式(7)

(14)

對(duì)轉(zhuǎn)角關(guān)系式(3)可以進(jìn)行如下一系列簡(jiǎn)化

(15)

由式(6)，式(9)～式(13)均可計(jì)算出，代入式(8)并利用式(14)、式(15)對(duì)其進(jìn)行整理，得應(yīng)變能

(16)

式中，dv=dsdYdZ(下文中如沒有其它說(shuō)明，均是如此)。橫向振動(dòng)相對(duì)于管的長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)是小量，不妨設(shè)其為O(ε)階的。幾何大變形意味著方程中的非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)性態(tài)會(huì)有本質(zhì)的影響，但是在平衡態(tài)附近，低階的非線性項(xiàng)才起決定性的作用，因此本文中僅保留了三次非線性項(xiàng)。運(yùn)用哈密頓原理推導(dǎo)振動(dòng)方程時(shí)，求變分的過(guò)程會(huì)讓作用量泛函的次數(shù)降低一次，因此在對(duì)式(16)的處理中，僅將其保留到四次項(xiàng)，下文關(guān)于動(dòng)能的推導(dǎo)中亦是如此。

在式(16)中，宏觀部分的勢(shì)能為

(17)

利用截面對(duì)稱性進(jìn)一步整理，得

忽略泊松效應(yīng)，以EI代替上式中的(λ+2G)I，得

(18)

整理微觀部分的勢(shì)能，得

(19)

總的勢(shì)能為宏觀和微觀兩部分之和

U=U1+U2

(20)

給出動(dòng)能之前，我們先來(lái)研究下面的問(wèn)題，借此說(shuō)明下文中宏觀部分勢(shì)能U1的變分與文獻(xiàn)[3]中按照彎曲勢(shì)能公式得到的結(jié)果一致。

因式(4)是一矢量，考慮轉(zhuǎn)角沿弧長(zhǎng)的變化率，其也是一個(gè)矢量

(21)

式(1)對(duì)s求導(dǎo)，得

r′=(1+u′)i+v′j+w′k

(22)

上文已經(jīng)提到，因?yàn)闆]有外加扭矩，截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)為零，即轉(zhuǎn)角沿弧長(zhǎng)的變化率矢量在形心線切方向上的投影為零，即

(23)

管道和管中流體的動(dòng)能分別為

(24a)

(24b)

3 空間彎曲振動(dòng)方程的推導(dǎo)

將勢(shì)能式(20)及動(dòng)能式(24a)、式(24b)代入描述管道振動(dòng)的哈密頓變分方程[28]

(25)

式中：r見式(1)，下標(biāo)L表示相應(yīng)的量在管道自由端s=L處的值，點(diǎn)和撇分別代表?()/?t和?()/?s。需要指出的是，在下文對(duì)變分的計(jì)算中，我們可以導(dǎo)出邊界條件，并且根據(jù)其對(duì)式子作了簡(jiǎn)化。

對(duì)勢(shì)能的宏觀部分求變分

8v′w″w?+4v′w′w(4))δvdsdt

(26)

根據(jù)式(23)可導(dǎo)出

(27)

將式(27)代入式(26)

(28a)

式(28a)與文獻(xiàn)[3]中利用公式

計(jì)算出的結(jié)果一致，其中為管道形心線的曲率。

將式(27)的第一式代入式(19)(勢(shì)能的微觀部分)并對(duì)其求變分，得

(28b)

對(duì)動(dòng)能T=Tp+Tf求變分的過(guò)程與文獻(xiàn)[3]中的相同，經(jīng)整理，最后得到振動(dòng)控制方程

(29a)

(29b)

相應(yīng)的邊界條件為

w(0,t)=w′(0,t)=w″(L,t)=w?(L,t)=0

(30a)

v(0,t)=v′(0,t)=v″(L,t)=v?(L,t)=0

(30b)

引入如下無(wú)量綱量

得到式(29a)、式(29b)的無(wú)量綱形式為

(31a)

(31b)

相應(yīng)地，邊界條件式(30a)、式(30b)化成

η(0,τ)=η′(0,τ)=η″(1,τ)=η?(1，τ)=0

(32a)

ζ(0,τ)=ζ′(0,τ)=ζ″(1,τ)=ζ?(1，τ)=0

(32b)

將上面兩式代入式(31a)、式(31b)消除其中的非線性慣性項(xiàng)，整理后得到

(33a)

(33b)

4 尺度效應(yīng)的影響

設(shè)式(33a)、式(33b)的解為

(34)

式中：r取1～n(n為模態(tài)截?cái)鄶?shù))；φr(ξ)、ψr(ξ)為懸臂梁的特征函數(shù)；qr(τ)、pr(τ)為兩個(gè)橫向上相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)Galerkin方法，將式(34)代入式(33a)、式(33b)并分別用φr(ξ)、ψr(ξ)乘兩邊，從0～1積分，可得關(guān)于qi,pi的二階常微分方程組

(35)

其中，

令

(36)

將式(35)化成一階形式

(37)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中關(guān)于模態(tài)截?cái)鄶?shù)的討論，取n=6。下面給出尺度效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響規(guī)律，包括：①對(duì)管道臨界流速、臨界頻率的影響(見圖4)；②對(duì)管道周期運(yùn)動(dòng)類型的影響(見圖5)。

從圖4可知，無(wú)量綱材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)l0越大，相應(yīng)的臨界流速和臨界頻率越大，即尺度效應(yīng)使得管道更穩(wěn)定。當(dāng)流速取值在臨界流速曲線右邊時(shí)，管道的初始構(gòu)形是穩(wěn)定的；當(dāng)流速在臨界值附近變化時(shí)，管道會(huì)發(fā)生顫振，作平面或者空間的周期運(yùn)動(dòng)，以η=0為Poincaré截面，相應(yīng)的ζ值如圖5所示：ζ=0對(duì)應(yīng)系統(tǒng)

作穩(wěn)定的平面周期運(yùn)動(dòng)；ζ≠0對(duì)應(yīng)系統(tǒng)作穩(wěn)定的空間周期運(yùn)動(dòng)。觀察圖5(a)～圖5(d)的變化規(guī)律可知，無(wú)量綱材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)l0越大，管道穩(wěn)定的平面周期運(yùn)動(dòng)(空間周期運(yùn)動(dòng))在整個(gè)質(zhì)量比區(qū)間上占的比例越大(小)。

圖4 臨界流速和臨界頻率Fig. 4 The critical flow velocity and critical frequency

圖5 不同尺度管的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的分布Fig. 5 The distribution of stable periodic motion for pipe with different material length scale parameters

5 結(jié) 論

(1) 微尺度效應(yīng)使得微元體的應(yīng)變能不能明顯地表示為管的形心線曲率的函數(shù)，本文在分析管道位移場(chǎng)及相關(guān)幾何關(guān)系的基礎(chǔ)上，考慮Lagrange應(yīng)變張量所給出的幾何非線性，基于修正的偶應(yīng)力理論計(jì)算了管的應(yīng)變能，對(duì)應(yīng)變能的退化比較表明其中的宏觀部分和已有文獻(xiàn)中的結(jié)論一致。

(2) 運(yùn)用Hamilton原理建立了微尺度懸臂管的空間彎曲振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，其中，材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)對(duì)方程的影響得以刻畫，其不僅出現(xiàn)在方程的線性項(xiàng)中，影響諸如頻率、臨界流速等；也出現(xiàn)在方程的非線性項(xiàng)中，影響系統(tǒng)失穩(wěn)后的分岔性質(zhì)。

(3) 具體而言：尺度效應(yīng)增大管道的臨界流速和臨界頻率，即使得管道更加穩(wěn)定；同時(shí)，管道穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)類型在整個(gè)質(zhì)量比區(qū)間的分布也受尺度效應(yīng)的影響：無(wú)量綱材料長(zhǎng)度尺寸參數(shù)l0越大，穩(wěn)定的平面周期運(yùn)動(dòng)(空間周期運(yùn)動(dòng))在整個(gè)質(zhì)量比區(qū)間上占的比例越大(小)。

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Three-dimensionalflexuralvibrationofamicro-scalecantileverpipe-nonlinearequationsofmotionandscaleeffect

GUO Yong, XIE Jianhua

(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Flexural vibration of a micro-scale cantilever fluid-conveying pipe with annulus cross section can occur in each direction in the three-dimensional space. According to the Euler-Bernoulli beam theory, the displace components of the pipe and the relevant geometrical relations could be analyzed. The geometric nonlinearity, arising from the Lagrange strain tensor, was taken into account. Based on a modified couple stress theory, the strain energy in the pipe was calculated. The nonlinear dynamical equations of three-dimensional flexural vibration for a micro-scale cantilever fluid-conveying pipe were derived by using the Hamilton principle. The effect of the dimensionless material length scale parameter on the dynamics of the system was investigated. It is found that the scale effect increases the critical flow velocity of the pipe and that the larger the dimensionless material length scale parameter is, the wider (narrower) the region of stable planar (spatial) periodic motion is.

micro-scale cantilever pipe; three-dimensional flexural vibration; couple stress theory; Lagrange strain tensor; periodic motion

國(guó)家自然科學(xué)基金(11572263)

2016-10-18 修改稿收到日期： 2017-02-17

郭勇 男，博士生，1985年生

謝建華 男，博士，教授，1957年生

O322；O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.011