都俊杰 長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院

關(guān)于計(jì)算二重積分的幾種方法

都俊杰 長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院

二重積分是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，計(jì)算較為繁瑣，基本的有直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計(jì)算，但有的二重積分需要一定的技巧才能求出．可利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性巧妙解決，討論了幾類解決二重積分方法。

二重積分 二次積分 直角坐標(biāo)系 極坐標(biāo)系

二重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)積分學(xué)重要的一部分，熟練的掌握二重積分的計(jì)算技巧很重要。計(jì)算二重積分的一般原則是將重積分化為兩次定積分來計(jì)算，但是由于被積函數(shù)的復(fù)雜性及積分區(qū)域的多樣性，計(jì)算二重積分就要采取多種方法。有直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分，極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分等等。下面分別就這三個(gè)方面介紹計(jì)算二重積分的方法，對(duì)每種方法給出相應(yīng)的求解思路，并舉出典型的實(shí)例，便于讀者更好地理解和掌握這些方法，達(dá)到事半功倍、舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

1 直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，將積分區(qū)域D分為兩種基本情況。

2 極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)域D的邊界曲線為較簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)，?？紤]用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分。這樣就會(huì)遇到兩個(gè)問題：一個(gè)問題是如何把被積函數(shù)化為極坐標(biāo)形式；另一個(gè)問題是如何把面積元素化為極坐標(biāo)形式。這兩個(gè)問題都是容易解決的，當(dāng)被積函數(shù)或者積分區(qū)域D中含有時(shí)可以用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分。直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：

3 特殊方法計(jì)算二重積分

①利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分，和定積分的計(jì)算一樣，對(duì)積分區(qū)域具有一定的對(duì)稱性且被積函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的二重積分，利用對(duì)稱性可以大大簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算過程．下面給出對(duì)稱性定理。

解：利用函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化計(jì)算，有

解：利用輪換對(duì)稱性，有

②交換積分次序計(jì)算二重積分，對(duì)于有些特殊類的函數(shù)，計(jì)算二重積分可以采取交換積分次序簡(jiǎn)化計(jì)算

解：此函數(shù)的積分區(qū)域很簡(jiǎn)單，當(dāng)直接計(jì)算是算不出結(jié)果的，可以交換一下次序，有

③分段函數(shù)計(jì)算二重積分，關(guān)于分段函數(shù)二重積分的計(jì)算問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，為廣大師生所關(guān)注，但在大部分教材中，并沒有明確指出分段函數(shù)二重積分的計(jì)算方法．此類問題的一般做法是：(1)畫出積分區(qū)域的草圖；(2)由被積函數(shù)的分段點(diǎn)把積分區(qū)域分成如干部分區(qū)域，使得在每個(gè)部分區(qū)域中的被積函數(shù)表達(dá)式明確；(3)利用二重積分的區(qū)域可加性，進(jìn)行計(jì)算。

④利用幾何意義計(jì)算二重積分也是我們常用的方法，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體（以積分區(qū)域D為底，以被積函數(shù)為曲頂?shù)闹w）體積的代數(shù)和。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系；高等數(shù)學(xué)【M】；北京，高等教育出版社。

[2]楊波，王安平；高等數(shù)學(xué)；武漢，華中科技大學(xué)出版社，2017。

[3]張景中．?dāng)?shù)學(xué)與哲學(xué)【M】；北京，中國(guó)少年出版社，2006，8：25 ～ 37。

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長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院基金2017ky10。

都俊杰（1981—），女，吉林長(zhǎng)春人，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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