王 科，張志強(qiáng)，劉 影

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，遼寧大連116024）

多浮體鉸接薄板結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)研究

王 科，張志強(qiáng)，劉 影

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，遼寧大連116024）

應(yīng)用Newman的廣義運(yùn)動(dòng)模態(tài)分解方法和拉格朗日乘子法，基于波浪輻射和繞射理論建立了鉸接多浮體結(jié)構(gòu)水動(dòng)力響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，應(yīng)用預(yù)修正快速傅里葉變換（pFFT）的邊界元方法對(duì)由15塊板組成的鉸接多浮體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究。數(shù)值結(jié)果表明該pFFT方法計(jì)算精度和計(jì)算速度均很高，可用于任意形狀和約束狀態(tài)的多體結(jié)構(gòu)的水動(dòng)力分析。板間距的改變對(duì)鉸接點(diǎn)處垂蕩和橫搖影響較大。

預(yù)修正快速傅里葉變換（pFFT）方法；波浪輻射和繞射；鉸接多浮體結(jié)構(gòu)；垂蕩和橫搖

0 引 言

早期關(guān)于多浮體水動(dòng)力方面的研究方法主要有特征值展開(kāi)法[1]，多體繞射法[2]和邊界元方法[3]，上述研究由于當(dāng)時(shí)計(jì)算條件有限，劃分的單元數(shù)量不大，物體形狀也都很簡(jiǎn)單，而且考慮物體之間的相互作用時(shí)僅僅是將各自獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的輻射勢(shì)簡(jiǎn)單疊加，并不是真正意義上的相互影響運(yùn)動(dòng)。

真正解決多浮體相互影響運(yùn)動(dòng)的理論是由Newman[4]提出的廣義運(yùn)動(dòng)模態(tài)理論。這種廣義模態(tài)包含了多浮體的所有剛體模態(tài)，各種連接模態(tài)，彈性模態(tài)等。利用該方法，Leeamp;Newman[5]對(duì)鉸接5方箱系統(tǒng)水彈性問(wèn)題展開(kāi)了研究，討論了浮體剛度對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)以及鉸鏈剪切應(yīng)力的影響。Sun，EatockTaylor和Choo[6]通過(guò)拉格朗日乘子法推導(dǎo)出鉸接多浮體系統(tǒng)的約束矩陣，并建立了鉸接多浮體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。滕斌，何廣華，李博寧等[7]通過(guò)比例邊界有限元方法分別對(duì)兩方箱以及三方箱結(jié)構(gòu)的波浪繞射問(wèn)題進(jìn)行了研究。謝楠和郜煥秋[8]利用三維源匯分布法對(duì)波浪中自由漂浮的兩浮體水動(dòng)力相互作用問(wèn)題進(jìn)行了研究。吳廣懷，沈慶，陳徐均等[9]利用格林函數(shù)法對(duì)兩浮體以及三浮體在波浪作用下的水動(dòng)力系數(shù)問(wèn)題進(jìn)行了研究，分析了浮體—方箱系統(tǒng)以及雙方箱系統(tǒng)中兩浮體相互作用的附加質(zhì)量、阻尼系數(shù)。史琪琪，柏木正，楊建民等[11]采用高階邊界元方法和波浪交互理論研究了波浪交互理論在求解三維多浮體水動(dòng)力問(wèn)題中的適用性。吳必軍，胡城，鄭永紅等[12]通過(guò)匹配特征函數(shù)展開(kāi)法對(duì)雙圓柱的波浪繞射和輻射問(wèn)題進(jìn)行了研究。

在以上關(guān)于單浮體以及多浮體系統(tǒng)水動(dòng)力問(wèn)題研究中，浮體個(gè)數(shù)大多為兩浮體或三浮體，所研究的結(jié)構(gòu)形式主要有圓柱，方箱和船舶等等，采用的方法都是傳統(tǒng)邊界元方法。當(dāng)浮體單元數(shù)目較多的時(shí)候，離散單元數(shù)目將會(huì)變得非常巨大，傳統(tǒng)邊界元方法不再適用。針對(duì)這一問(wèn)題，廣大學(xué)者們相繼發(fā)展了多種快速算法，以便降低存儲(chǔ)需求和計(jì)算復(fù)雜度，并且都致力于加快迭代求解過(guò)程中矩陣向量積的計(jì)算。預(yù)修正快速傅里葉變換方法（pFFT）不改變格林函數(shù)的具體形式，可以用于任意格林函數(shù)問(wèn)題的求解。因此在波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的水動(dòng)力問(wèn)題計(jì)算中，pFFT方法更加方便和靈活。

本文以由15塊板組成的鉸接多浮體結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，利用預(yù)修正傅里葉變換（pFFT）方法對(duì)其在不同波浪作用下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行研究。研究模型中薄板的長(zhǎng)寬比較大，超強(qiáng)的幾何奇異性要求算法必須具有很高的計(jì)算精度。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明本研究采用的pFFT方法對(duì)格林函數(shù)基本解含波動(dòng)項(xiàng)的問(wèn)題完全適用，計(jì)算精度高且計(jì)算速度快。文章第一章介紹了本研究所采用的數(shù)學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算方法，第二章為鉸接15薄板結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)結(jié)果分析，第三章為結(jié)論與建議。

1 數(shù)學(xué)模型及基本公式

1.1 控制方程及邊界條件

圖1 多浮體計(jì)算模型Fig.1 Calculation sketch of multiple plates

計(jì)算模型如圖1所示，假定波浪中有N個(gè)做微幅簡(jiǎn)諧振蕩運(yùn)動(dòng)的剛性浮體，空間固定的整體坐標(biāo)系oxy原點(diǎn)位于無(wú)擾動(dòng)的自由水面，x軸水平向右為正，y軸垂直向上為正。入射波浪沿x軸負(fù)向向左傳播。局部坐標(biāo)系o1x1y1，o2x2y2，…，oNxNyN的原點(diǎn)位于各浮體重心處，且隨浮體一起運(yùn)動(dòng)。為結(jié)構(gòu)濕表面，其中S1，S2，…，SN為各浮體濕表面，物面法線方向以指向流體內(nèi)部為正。

1.2 速度勢(shì)的分解

假定浮體做微幅簡(jiǎn)諧振蕩運(yùn)動(dòng)，基于線性勢(shì)流理論，流場(chǎng)內(nèi)速度勢(shì)可表示為：

其中：Re｛｝表示取復(fù)數(shù)表達(dá)式的實(shí)部，ω為波浪圓頻率，t為時(shí)間，φ為與時(shí)間無(wú)關(guān)的空間復(fù)速度勢(shì)，滿足拉普拉斯方程。

依據(jù)運(yùn)動(dòng)線性疊加原理，空間復(fù)速度勢(shì)φ可以分解為入射勢(shì)φI、繞射勢(shì)φD和輻射勢(shì)φR之和：

波浪入射勢(shì)φI可表達(dá)為如下形式：

其中：K=ω2/g為波數(shù)，A0為波浪振幅。

對(duì)于流場(chǎng)中有N個(gè)浮體的多體問(wèn)題[4]，輻射勢(shì)可以分解為如下形式：

其它浮體均固定不動(dòng)時(shí)的單位速度輻射勢(shì)。輻射勢(shì)φj滿足的物面邊界條件為：

輻射勢(shì)φj定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式為：

其中：R為流場(chǎng)中某點(diǎn)離擾動(dòng)源的距離，K為波數(shù)。

繞射勢(shì)φD也滿足方程（7）的控制方程，其滿足的物面邊界條件為：

1.3 邊界積分方程的建立

應(yīng)用格林定理，可得求解φj和φD的邊界積分方程如下：

定義散射勢(shì) φS=φI+φD：

本文采用新的邊界積分方程直接求解φS：

其中：

1.4 結(jié)構(gòu)所受波浪力

求解出浮體的散射勢(shì)和輻射勢(shì)以后，即可得到任意浮體m所受波浪力為：

其中：F3i為散射波浪力，F(xiàn)2i為輻射波浪力。（14）式中對(duì)任意浮體m定義水動(dòng)力系數(shù)為：

其中：aij為附加質(zhì)量系數(shù)，bij為阻尼系數(shù)。

1.5 邊界積分方程的離散及pFFT求解

將物面邊界S0離散為一系列微小單元，并假定各物理量在單元上呈線性分布。最終可將積分方程離散為如下形式：

式中：nb為物面節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

對(duì)于多浮體的大規(guī)模邊界元計(jì)算問(wèn)題，（16）式可通過(guò)預(yù)修正傅里葉變換方法[13-14]（pFFT）轉(zhuǎn)換成下式進(jìn)行快速求解：

采用線性元進(jìn)行離散時(shí)，pFFT的近場(chǎng)積分具有以下形式：

公式（18）中包含log r1和log r2項(xiàng)的系數(shù)可采用線性解析方法求得，IC項(xiàng)為正則項(xiàng)，其積分不含奇異性，可通過(guò)數(shù)值積分來(lái)計(jì)算。

本文通過(guò)線性單元對(duì)結(jié)構(gòu)表面進(jìn)行離散，并通過(guò)形心坐標(biāo)來(lái)判斷物面單元與pFFT子正方形之間的從屬關(guān)系，能夠方便處理一個(gè)面元橫跨兩個(gè)子正方形的情形。另外，由于本文所采用的格林函數(shù)的特殊性，若子正方形k及其臨近子正方形l都位于自由水面上，則需要對(duì)log r1、log r2以及IC項(xiàng)都進(jìn)行預(yù)修正，而其它情況只需要對(duì)log r進(jìn)行預(yù)修正。

1.6 鉸接多浮體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的建立

N個(gè)浮體的運(yùn)動(dòng)方程如下[6]：

假設(shè)浮體間采用剛性鉸接，則與鉸接點(diǎn)相連的兩浮體只有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而沒(méi)有相對(duì)平移，連接點(diǎn)處應(yīng)滿足位移連續(xù)性條件。約束方程可表示為：

根據(jù)（19）式和（20）式，應(yīng)用拉格朗日乘子法，可得：

2 鉸接多薄板結(jié)構(gòu)水動(dòng)力分析

2.1 鉸接15浮板水動(dòng)力分析

計(jì)算模型如圖1所示。15塊尺寸相同的薄板相互鉸接，浮于自由水面。x軸水平向右為正，y軸垂直向上為正，入射波浪從右向左傳播。單板長(zhǎng)度B=0.4 m，板厚TT=0.005 m，入射波浪波高為0.01 m，考慮不同板間距TS對(duì)結(jié)構(gòu)鉸接點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)振幅的影響。

圖2-7為迎浪端鉸接點(diǎn)1，2，3在不同間距下垂蕩和橫搖振幅計(jì)算結(jié)果。通過(guò)結(jié)果可以看出，在長(zhǎng)波作用下，各鉸接點(diǎn)垂蕩振幅為1，橫搖振幅為0。隨著相對(duì)板長(zhǎng)KB/2的增加，垂蕩和橫搖結(jié)果曲線均呈先增加，之后振蕩增加的趨勢(shì)。相對(duì)板長(zhǎng)KB/2較大時(shí)，波浪頻率的改變對(duì)鉸接點(diǎn)垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)幅值影響較大，結(jié)果曲線變化劇烈。

當(dāng)0＜KB/2＜0.8時(shí)，增加板間距會(huì)令各鉸接點(diǎn)垂蕩和橫搖振幅增加。在0.8＜KB/2＜1.2范圍內(nèi)垂蕩和橫搖振幅對(duì)板間距的改變較為敏感。對(duì)于鉸接點(diǎn)1而言，其最大垂蕩振幅為2.6，最大橫搖振幅為1.7，最大振幅對(duì)應(yīng)板間距TS=0.15 m，相對(duì)板長(zhǎng)KB/2=1.15；對(duì)于鉸接點(diǎn)2而言，其最大垂蕩振幅為2.45，最大橫搖振幅為1.58，最大振幅對(duì)應(yīng)板間距TS=0.2 m，相對(duì)板長(zhǎng)KB/2=1.1；對(duì)于鉸接點(diǎn)3而言，其最大垂蕩振幅為2.88，最大橫搖振幅為1.95；最大振幅對(duì)應(yīng)板間距TS=0.2 m，相對(duì)板長(zhǎng)KB/2=1.1。

鉸接點(diǎn)處的垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)是由與其相鄰的兩塊薄板的垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)共同決定的，板的垂蕩運(yùn)動(dòng)和橫搖運(yùn)動(dòng)在鉸接點(diǎn)處引起的位移可能互相疊加，也可能互相抵消。該特性會(huì)導(dǎo)致在相同波浪入射時(shí)，且較小間距情況下鉸接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅比間距較大情況下鉸接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅大的情況。例如對(duì)于鉸接點(diǎn)1，當(dāng)KB/2=1.0時(shí)，間距TS=0.15 m的垂蕩和橫搖振幅要比TS=0.2 m的垂蕩和橫搖振幅大。

圖2 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)1垂蕩RAOFig.2 Heave RAO at hinge 1 with different TS

圖3 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)1橫搖RAOFig.3 Roll RAO at hinge 1 with different TS

圖4 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)2垂蕩RAOFig.4 Heave RAO at hinge 13 with different TS

圖5 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)2橫搖RAOFig.5 Roll RAO at hinge 2 with different TS

圖6 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)3垂蕩RAOFig.6 Heave RAO at hinge 3 with different TS

圖7 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)3橫搖RAOFig.7 Roll RAO at hinge 3 with different TS

圖8 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)12垂蕩RAO Fig.8 Heave RAO at hinge 12 with different TS

圖9 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)12橫搖RAOFig.9 Roll RAO at hinge 12 with different TS

圖10 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)13垂蕩RAOFig.10 Heave RAO at hinge 13 with different TS

圖11 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)13橫搖RAOFig.11 Roll RAO at hinge 13 with different TS

圖12 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)14垂蕩RAOFig.12 Heave RAO at hinge 14 with different TS

圖13 鉸接15浮板不同間距時(shí)鉸接點(diǎn)14橫搖RAOFig.13 Roll RAO at hinge 14 with different TS

圖8-13為背浪端鉸接點(diǎn)12，13，14在不同間距下垂蕩和橫搖振幅結(jié)果。通過(guò)結(jié)果可以看出，在整個(gè)計(jì)算范圍內(nèi)，隨著相對(duì)板長(zhǎng)KB/2的增加，鉸接點(diǎn)垂蕩和橫搖都呈先增加后減小的趨勢(shì)。在0.4＜KB/2＜1.0范圍內(nèi)，增加板間距可令各鉸接點(diǎn)垂蕩和橫搖振幅增大。與迎浪端鉸接點(diǎn)相比，處于背浪端的鉸接點(diǎn)垂蕩和橫搖振幅的最大值比迎浪端小。鉸接點(diǎn)12最大垂蕩振幅為2.3，最大橫搖振幅為1.55，對(duì)應(yīng)板間距TS=0.2 m，KB/2=0.98；鉸接點(diǎn)13最大垂蕩振幅為1.85，最大橫搖振幅為1.2，對(duì)應(yīng)板間距TS=0.2 m，KB/2=0.95；鉸接點(diǎn)14最大垂蕩振幅為1.5，最大橫搖振幅為1.05，對(duì)應(yīng)板間距TS=0.2 m，KB/2=0.83。另外在某些波浪頻率下，背浪端鉸接點(diǎn)的垂蕩和橫搖振幅出現(xiàn)0值。這是因?yàn)榇藭r(shí)板的垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)在鉸接點(diǎn)處相互抵消。因此，鉸接點(diǎn)處RAO為0，并不一定代表板不動(dòng)。

當(dāng)間距TS=0.1 m時(shí)，鉸接15薄板的迎浪端鉸接點(diǎn)1處最大垂蕩振幅為1.8，最大橫搖振幅為1.2，對(duì)應(yīng)相對(duì)板長(zhǎng)KB/2=1.05。對(duì)比TS=0.1 m時(shí)鉸接6薄板結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)板的個(gè)數(shù)增加時(shí)，結(jié)構(gòu)迎浪端鉸接點(diǎn)的最大運(yùn)動(dòng)振幅減小。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，可通過(guò)增加板的個(gè)數(shù)來(lái)達(dá)到減小鉸接點(diǎn)處最大運(yùn)動(dòng)振幅的目的。無(wú)論鉸接6薄板還是鉸接15薄板，鉸接點(diǎn)處最大垂蕩和橫搖振幅都出現(xiàn)在KB/2較大的情況。因此鉸接多板結(jié)構(gòu)應(yīng)避免在KB/2較大的情況下使用。

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用預(yù)修正快速傅里葉變換方法對(duì)鉸接15薄板的水動(dòng)力問(wèn)題進(jìn)行了分析，研究發(fā)現(xiàn)：

（1）在長(zhǎng)波作用下，各鉸接點(diǎn)垂蕩振幅為1，橫搖振幅為0。隨著相對(duì)板長(zhǎng) 的增加，垂蕩和橫搖振幅均呈先增加后減小的趨勢(shì)。

（2）對(duì)于鉸接15薄板結(jié)構(gòu)而言，當(dāng)間距TS=0.1 m時(shí)鉸接點(diǎn)1處最大垂蕩振幅為1.8，最大橫搖振幅為1.2，對(duì)應(yīng)相對(duì)板長(zhǎng)KB/2=1.05。增加鉸接板的個(gè)數(shù)可以減小各鉸接點(diǎn)最大垂蕩和最大橫搖振幅。

（3）對(duì)于鉸接多浮體薄板結(jié)構(gòu)，鉸接點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)受其相鄰的薄板垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)共同影響。通常情況下板間距越大，鉸接點(diǎn)處垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)振幅越大。但是由于板的垂蕩和橫搖運(yùn)動(dòng)在鉸接點(diǎn)處可能疊加也可能抵消，較小間距時(shí)鉸接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幅度可能會(huì)比間距較大時(shí)鉸接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)幅度大。

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Study on motion response of floating hinged multi-plates

WANG Ke,ZHANG Zhi-qiang,LIU Ying
(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Department of Engineering Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on wave radiation and diffraction theory,the motion equations of hinged multi-bodies are established according to the Lagrangian multiplier method and the generalized mode expansion method proposed by Newman.The precorrected Fast Fourier Transform(pFFT)method is utilized to analyze the hydrodynamics of multi-bodies that consists of horizontal,rigid,thin plates with hinged connection.The RAOs of motion are discussed.Numerical results show that pFFT method is very accurate and can be used in the hydrodynamic analysis of complex multi-bodies with arbitrary shape and constraints.The changing of interval space between plates is critical for heave and roll of hinged points.

precorrected Fast Fourier Transform(pFFT)method;wave radiation and diffraction;multi-bodies;RAOs of motion;heave and roll

U661.4

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.006

1007-7294（2017）11-1365-09

2017-08-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51379037）；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助（2013CB036101）

王 科（1970-），男，副教授，E-mail：kwang@dlut.edu.cn；

張志強(qiáng)（1984-），男，博士研究生。