李紅
以“本”為本,“一將”統(tǒng)“三軍”
李紅
同學(xué)們在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時要熟練掌握基本定義、圖像性質(zhì),進而能靈活應(yīng)用,現(xiàn)在的中考題又多是課本例題、習(xí)題的變式或延伸,因而同學(xué)們尤其應(yīng)重視對課本的學(xué)習(xí).
原題呈現(xiàn)
蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第17頁例題:畫出二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像,并指出它的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸、最大值或最小值.
【分析】要畫二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c圖像,可先將函數(shù)表達式變成頂點式y(tǒng)=a(xh)2+k的形式,由a判斷開口方向,頂點為(h,k),對稱軸是直線x=h,當(dāng)x=h時y的最值是k.
解:y=-x2-4x-5=-(x+2)2-1,二次項系數(shù)-1<0,函數(shù)圖像開口向下,頂點坐標(biāo)是(-2,-1),對稱軸是直線x=-2,二次函數(shù)y=-x2-4x-5圖像如圖1.
圖1
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識,解題關(guān)鍵是二次函數(shù)形式的轉(zhuǎn)化.
延展一不畫圖像,判斷二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像與x軸是否有公共點.
【分析】當(dāng)y=0時,拋物線y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0,所以通過判斷Δ=b2-4ac與0的大小,可以確定拋物線與x軸的公共點個數(shù):(1)b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個公共點(一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根);(2)b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個公共點(一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根);(3)b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有公共點(一元二次方程沒有實數(shù)根).
解:b2-4ac=(-4)2-4×(-1)×(-5)<0,所以方程-x2-4x-5=0沒有實數(shù)根,二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像與x軸沒有公共點.
延展二拋物線y1=-x2-4x-5與直線y2=-x-5交于(x1,y1)、(x2,y2)兩點,求y1>y2時x的范圍.
【分析】求直線與拋物線交點的坐標(biāo),實質(zhì)是求兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立的方程組的解,畫出圖像,根據(jù)圖像可以直接寫出范圍.要求y1>y2時x的范圍,即為函數(shù)y1的圖像在y2圖像上方的部分的x的范圍,反之亦然.
兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖2,當(dāng)y1>y2時,x的范圍是-3<x<0.
圖2
延展三將二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像向上平移5個單位,向右平移3個單位后與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于C點,對稱軸上是否存在點P,使PA+PC最小.
【分析】求平移后函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo),首先要求平移后函數(shù)的解析式,一般先化成頂點式,再按上(+)下(-),左(+)右(-)方式寫出平移后的解析式,令x=0或y=0代入可求.線段和(或差)的最值問題,利用兩點之間線段最短,找對稱點解決.
解:因為平移后拋物線y=-(x-1)2+4,當(dāng)y=0時,x1=3,x2=-1;當(dāng)x=0時,y=3,所以A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).連接BC交對稱軸x=1于點P,因為A、B關(guān)于對稱軸對稱,則P為求作的點,所以PA+PC=PB+PC=BC=32.
圖3
延展四Q為直線BC上方的拋物線y=-(x-1)2+4上任意一點,求△BCQ面積的最大值及此時Q點的坐標(biāo).
【分析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形面積時,可采用割補法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個三角形計算.分割方法一般采用橫向或縱向比較容易計算.
圖4
解:過Q作x軸垂線交直線BC于點M.
(作者單位:江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)實驗中學(xué))