儲(chǔ)開(kāi)根

樂(lè)學(xué)善思勇于探究
——一道課本習(xí)題的變式與延伸

儲(chǔ)開(kāi)根

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第72頁(yè)有這樣一道習(xí)題：

如圖1，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，QM在BC上.設(shè)BC=48，AD=16，PQ∶PN=5∶9，求矩形PQMN的面積.

圖1

解：設(shè)PQ=5x，則PN=9x，AE=16-5x.

∵四邊形PQMN是矩形，

∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC.

∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，

解得：x=2，則PQ=5x=10，PN=9x=18.

∴矩形PQMN的面積為180.

探究一：求△ABC中矩形PQMN面積的最大值.

如圖2，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為（.用含a，h的代數(shù)式表示）

圖2

探究二：求“缺角矩形”中剪出的矩形PQMN面積的最大值.

如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

【分析】小明從一塊“缺角矩形”ABCDE中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），結(jié)合題設(shè)和探究一，可將缺角矩形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題加以解決.

圖3

解：如圖4，延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H，取BF中點(diǎn)I，F(xiàn)G的中點(diǎn)K.

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20，DH=16，∴AE=EH，CD=DH，

在△AEF和△HED中，

圖4

∵BI=24＜32，BI=24＞16，∴中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，

答：該矩形的面積為720.

探究三：求木板余料中剪出的矩形PQMN面積的最大值.

如圖5，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測(cè)量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且∠B=∠C，AG⊥BC，AG∶BG=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積.

圖5

【分析】由題設(shè)中的∠B=∠C，只要延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，便可將探究三中不規(guī)則四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形問(wèn)題解決，再利用探究一結(jié)論解答即可.

解：如圖6，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠B=∠C，∴EB=EC，

圖6

答：該矩形的面積為1944cm2.

同學(xué)們，問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái).我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中要多注意課本中的“源頭活水”——課本例題、習(xí)題，要樂(lè)學(xué)善思，勇于探究，注重題目的本質(zhì)，尋求一題多變，豐富題目的內(nèi)涵，拓展題目的外延，實(shí)現(xiàn)舉一反三，觸類(lèi)旁通，從而不斷提高自己的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市唐洋鎮(zhèn)中學(xué)）