劉從凱

二次函數(shù)與三角形的綜合性問題

劉從凱

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的一個樞紐，在中考中占舉足輕重的地位，二次函數(shù)綜合題更成了歷年來各省市中考試題中常見的重要題型.今天讓我們一起來領(lǐng)略二次函數(shù)與三角形的綜合題在中考中的風(fēng)采吧！

一、二次函數(shù)與直角三角形

例1（2017·徐州）已知二次函數(shù)y=x2-4的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，⊙C的半徑為5，P為⊙C上一動點(diǎn).

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）令y=0，則x=±3，令x=0，則y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.

（2）存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形.

①當(dāng)PB與⊙C相切時，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，

圖1

圖2

【點(diǎn)評】第（2）問要根據(jù)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時，PB與⊙C相切，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

二、二次函數(shù)與等腰三角形

例2（2017·南寧）如圖3，拋物線y=ax2-23ax-9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N.

（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；

（2）點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖3

【解析】（1）∵C（0，3），

令y=0可得：點(diǎn)A（-3，0），B（33，0）.

拋物線的對稱軸為x=3.

（2）∵OA=3，OC=3，∴∠CAO=60°.

∵AE為∠BAC的平分線，

∴∠DAO=30°，∴DO=1.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，a）.

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a-1）2.

當(dāng)AD=PA時，4=12+a2，方程無解；

當(dāng)AD=DP時，4=3+（a-1）2，解得a=2或a=0；

當(dāng)AP=DP時，12+a2=3+（a-1）2，解得a=-4.

【點(diǎn)評】在問題（1）中要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，分類討論是解答問題（2）的關(guān)鍵.

三、二次函數(shù)與相似三角形

例3（2017·海南）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）.

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式.

圖4

【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），

【點(diǎn)評】在（1）中我們要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用；在（2）中我們利用P、N點(diǎn)坐標(biāo)，可以分別表示出線段的長，利用相似三角形的性質(zhì)確定出相應(yīng)線段的比，從而列出方程求解即可.要注意當(dāng)兩相似三角形有一組角對應(yīng)相等的時候，需分兩種情況進(jìn)行討論.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學(xué)）