■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 廖慶偉

小議創(chuàng)新題的“三新”

■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 廖慶偉

編者的話:“創(chuàng)新題追根溯源”欄目里的例、習(xí)題都非常新穎,有的是原創(chuàng)題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當(dāng)然,在注重?cái)?shù)學(xué)閱讀的高考大背景下,同學(xué)們還要把握核心考點(diǎn),擴(kuò)大知識(shí)視野,用扎實(shí)的基本功應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)試題的萬千變化。

數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新題型的特點(diǎn)是:通過給出一個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈活解題的目的。

一、新定義

首先分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵所在。

例1 設(shè)S,T是R的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:①T={f(x)|x∈S};②對(duì)任意x1,x2∈S,當(dāng)x1＜x2時(shí),恒有f(x1)＜f(x2),那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”。以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是( )。

A.A=N*,B=N

B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0＜x≤1 0}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

解析:對(duì)于選項(xiàng)A,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-1,x∈N*,驗(yàn)證成立;對(duì)于選項(xiàng)B,可構(gòu)造函數(shù)驗(yàn)證成立;對(duì)于選項(xiàng)C,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=,驗(yàn)證成立;選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的。

點(diǎn)評(píng):本題以集合為媒介,通過新定義考查集合間的關(guān)系,考查同學(xué)們的理解能力,學(xué)習(xí)新知識(shí)、運(yùn)用新知識(shí)的能力。

例2 設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”。若f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則m的取值范圍為____。

解析:由題意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=m與y=x2-5x+4(x∈[0,3])的圖像,如圖1所示,結(jié)合圖像可知,當(dāng)x∈[2,3]時(shí),y=x2-5x+數(shù)y=m與y=x2-5x+4(x∈[0,3])的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。

圖1

點(diǎn)評(píng):本題通過新定義的關(guān)聯(lián)函數(shù),考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)?？疾閷W(xué)習(xí)新知識(shí)、運(yùn)用新知識(shí)求解問題的能力。

例3 給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f'(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f'(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f'(x))'。若f″(x)＜0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù)。以下四個(gè)函數(shù)在上為凸函數(shù)的是____(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)。

①f(x)=s i nx+c o sx;

②f(x)=l nx-2x;

③f(x)=-x3+2x-1;

④f(x)=xex。

解析:①中,f'(x)=c o sx-s i nx,f″(x)=-s i nx-c o sx=-2 ·上恒成立;②中,在區(qū)間上恒成立;③中,f'(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x＜0在區(qū)間上恒成立。故①②③為凸函數(shù)。④中,f'(x)=ex+xex,f″(x)=2 ex+xex=ex(x+2)＞0在區(qū)間上恒成立,故④不是凸函數(shù)。故四個(gè)函數(shù)在上為凸函數(shù)的是①②③。

點(diǎn)評(píng):本題通過新定義的凸函數(shù),考查閱讀理解能力以及用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解問題的能力。

二、新運(yùn)算

通過題目引入的新符號(hào),定義運(yùn)算法則,把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識(shí),再求解,這個(gè)新的運(yùn)算法則不能用于其他問題的求解。

例4 對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m,n,定義運(yùn)算(用⊕表示運(yùn)算符號(hào)):當(dāng)m,n都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時(shí),m⊕n=m+n;當(dāng)m,n中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),m⊕n=m×n。例如4⊕6=4+6=1 0,3⊕7=3+7=1 0,3⊕4=3×4=1 2。在上述定義中,集合M={(a,b)|a⊕b=1 2,a,b∈N*}的元素有______個(gè)。

解析:m,n同奇同偶時(shí)有1 1組:(1,1 1),(2,1 0),…,(1 1,1);m,n一奇一偶時(shí)有4組:(1,1 2),(1 2,1),(3,4),(4,3),所以集合M的元素共有1 5個(gè)。

點(diǎn)評(píng):集合M的元素個(gè)數(shù)要根據(jù)定義的運(yùn)算法則,分別求m,n同奇同偶或一奇一偶時(shí)的元素個(gè)數(shù),考查分類討論思想。

例5 定義新運(yùn)算⊕:當(dāng)a≥b時(shí),a⊕b=a;當(dāng)a＜b時(shí),a⊕b=b2,則函數(shù)f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )。

A.-1 B.1 C.6 D.1 2

點(diǎn)評(píng):本題通過定義新運(yùn)算⊕:當(dāng)a≥b時(shí),a⊕b=a;當(dāng)a＜b時(shí),a⊕b=b2,求函數(shù)f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)的最大值,考查分段函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性。

三、新背景

通過一個(gè)新的背景建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,提煉數(shù)學(xué)規(guī)律。

例6 如圖2所示的V e n n圖中,A,B是非空集合,定義集合A#B為陰影部分表示的集合。若=3x,x＞0},則A#B為( )。

圖2

A.{x|0＜x＜2}

B.{x|1＜x≤2}

C.{x|0≤x≤1或x≥2}

D.{x|0≤x≤1或x＞2}

解析:因?yàn)锳={x|0≤x≤2},B={y|y＞1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1＜x≤2},所以A#B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x＞2},故選D。

點(diǎn)評(píng):集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算可以借助韋恩圖來表示運(yùn)算對(duì)象與運(yùn)算結(jié)果,這種表示方法稱為集合基本運(yùn)算的V e n n圖法。

例7 四位好朋友在一次聚會(huì)上,他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯,如圖3所示。盛滿酒后他們約定:先各自飲杯中酒的一半。設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1,h2,h3,h4,則它們的大小關(guān)系正確的是( )。

A.h2＞h1＞h3＞h4B.h1＞h2＞h3＞h4

C.h3＞h2＞h4＞h1D.h2＞h4＞h1＞h3解析:觀察圖形可知,體積減少一半后,下部越細(xì)剩余酒的高度越高,最高為h2,最低為h4,應(yīng)有h2＞h1＞h3＞h4。故選A。

圖3

點(diǎn)評(píng):酒杯在我們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見,2 0 0 7年江西高考題就以酒杯為背景考查分析探究能力。

(責(zé)任編輯 王福華)