■江蘇省高港中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 楊美琴

分類(lèi)解析導(dǎo)數(shù)知識(shí)中的易錯(cuò)點(diǎn)

■江蘇省高港中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 楊美琴

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具,特別是在求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程、研究函數(shù)的單調(diào)性與極(最)值等問(wèn)題中,凸顯導(dǎo)數(shù)卓越的解題功效,因此,與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的高考試題備受青睞。由于同學(xué)們對(duì)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念理解不透徹,辨析不清楚,致使解題過(guò)程中易出現(xiàn)一些錯(cuò)解。本文對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)歸類(lèi)剖析,給出警示,希望能助同學(xué)們一臂之力。

易錯(cuò)點(diǎn)1——忽略導(dǎo)數(shù)定義中的整體增量

易錯(cuò)點(diǎn)2——混淆過(guò)曲線(xiàn)某點(diǎn)的切線(xiàn)與在某點(diǎn)處的切線(xiàn)

例2 求過(guò)點(diǎn)A2,8( ),且與曲線(xiàn)f x()=x3相切的直線(xiàn)方程。

錯(cuò)解:f'x()=3x2,所以f'2()=1 2,則切線(xiàn)方程為y-8=1 2x-2( ),所以y=1 2x-1 6。

剖析:錯(cuò)解混淆了“過(guò)某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)”處的切線(xiàn)的概念,因此應(yīng)考慮A2,8( )為切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況。

(1)當(dāng)A2,8( )為切點(diǎn)時(shí),由錯(cuò)解可得到切線(xiàn)方程為y=1 2x-1 6。

綜上所述,所求切線(xiàn)方程為y=1 2x-1 6或y=3x+2。

警示:(1)曲線(xiàn)的切線(xiàn)不一定和曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)。(2)“在”某一點(diǎn)的切線(xiàn)和“過(guò)”某一點(diǎn)的切線(xiàn)是兩個(gè)不同的概念。(3)在某一點(diǎn)的切線(xiàn)若有則只有一條,而過(guò)某一點(diǎn)的切線(xiàn)往往不只是一條。(4)用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率時(shí),必須要設(shè)出切點(diǎn),采取“待定切點(diǎn)法”求解。如本題當(dāng)A不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為切線(xiàn)斜率為k,三個(gè)未知量需用三個(gè)條件求解:①y0=f (x0),②k=f'(x0),解得切點(diǎn)坐標(biāo),得到其切線(xiàn)方程。

易錯(cuò)點(diǎn)3——混淆“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖像升降”的關(guān)系

例3 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像如圖1所示,則y=f(x)的圖像最有可能是圖2中的____。

圖1

錯(cuò)解:選A,B,D。

剖析:概念不清,憑空亂猜結(jié)論。由于f'(0)=f'(2)=0,且兩邊值符號(hào)相反,故0和2為極值點(diǎn);又當(dāng)x＜0和x＞2時(shí),f'(x)＞0,當(dāng)0＜x＜2時(shí),f'(x)＜0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù)。正確答案:C。

警示:函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)是:①導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系——極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0;②導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系——原函數(shù)看增減,導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)。

圖2

跟蹤演練3 (山西省運(yùn)城市2 0 1 7屆高三上學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)=x2+c o sx,f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(x)的圖像大致是圖3中的( )。

圖3

易錯(cuò)點(diǎn)4——忽視“有極值”的條件和極值的意義

例4 已知f(x)=x3+a x2+(a+6)x+1在R上有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解:由題意知,f'(x)=3x2+2a x+(a+6)=0在R上有實(shí)數(shù)解,所以Δ≥0,即4a2-1 2(a+6)≥0?a≤-3或a≥6。

剖析:錯(cuò)解中將有極值的必要條件f'(x)=0當(dāng)作充要條件使用了。由題意知,f'(x)=3x2+2a x+(a+6)=0在R上有實(shí)數(shù)解,所以Δ≥0,即4a2-1 2(a+6)≥0?a≤-3或a≥6。顯然,當(dāng)a=-3時(shí),f'(x)=3x2+2a x+(a+6)=3(x-1)2≥0,1不是極值點(diǎn),f(x)在R上沒(méi)有極值;當(dāng)a=6時(shí),f'(x)=3(x+2)2≥0,-2不是極值點(diǎn)。綜上,所求a的取值范圍為(-∞,-3)∪(6,+∞)。

警示:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),f'(x0)=0是在x0處取得極值的必要而非充分條件,解題時(shí)還要驗(yàn)證在x0附近f'(x0)是否異號(hào)。一元三次函數(shù)有極值的充要條件是其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于零。

跟蹤演練4 (2 0 1 7年第三次全國(guó)大聯(lián)考新課標(biāo)卷Ⅰ)已知函數(shù)f x()=a x-x2-l nx存在極值,若這些極值的和大于5+l n2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

A.(-∞,4) B.(4,+∞)

C.(-∞,2) D.(2,+∞)

易錯(cuò)點(diǎn)5——混淆f(x)在D上是增函數(shù)(減函數(shù))與f'(x)≥0(f'(x)≤0)在D上恒成立

例5 已知函數(shù)f(x)=-x3+a x+2(a∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),求a的取值范圍。

錯(cuò)解:由函數(shù)f(x)=-x3+a x+2在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),得f'x()=-3x2+a≥0的解集是[-1,1],則x=±1是方程-3x2+a=0的根,故a=3。

剖析:“函數(shù)f(x)=-x3+a x+2(a∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)”與“函數(shù)f(x)=-x3+a x+2(a∈R)的增區(qū)間是[-1,1]”是有區(qū)別的,前者的區(qū)間為后者區(qū)間的子集。

由函數(shù)f(x)=-x3+a x+2在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),得f'x()=-3x2+a≥0在[-1,1]上恒成立,即a≥3x2在[-1,1]上恒成立,故a≥3。

警示:函數(shù)f(x)的增(減)區(qū)間是區(qū)間D,實(shí)質(zhì)是指f(x)僅有一個(gè)增(減)區(qū)間D;函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù),實(shí)質(zhì)是指區(qū)間D是f(x)的增(減)區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間。可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是:對(duì)任意的x∈(a,b),都有f'(x)≥0或f'(x)≤0,且f'(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零。特別要注意:已知函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)取值范圍時(shí),一定要考慮“等號(hào)”是否可以取到。

易錯(cuò)點(diǎn)6——利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性忽視分類(lèi)討論

例6 求函數(shù)f (x)=x+2(x∈x(0 ,t] ,t為大于0的常數(shù))的單調(diào)區(qū)間和最值。

剖析:t為大于零的常數(shù),f'(x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)是否在所給的區(qū)間0,t( ]內(nèi),取決于t的取值,本題誤認(rèn)為t＞ 2,忽視了對(duì)常數(shù)t的分類(lèi)討論。

(1)當(dāng)t＞2時(shí),就是上述答案;

(2)當(dāng)t=2時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是0,2( ],f2()=2 2是最小值,無(wú)最大值;

警示:利用導(dǎo)數(shù)法求解單調(diào)區(qū)間,只需求導(dǎo)判斷零點(diǎn),用區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系就可得到函數(shù)的增減性,也就得到單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而找到函數(shù)的極值點(diǎn),從而求得最值。要注意導(dǎo)函數(shù)值的零點(diǎn)和所給區(qū)間的位置關(guān)系,常常要分類(lèi)討論求解。

跟蹤演練6 (四川省宜賓市2 0 1 7屆高三第二次診斷檢測(cè))函數(shù)f(x)=a x3+3x2+3x(a≠0)。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),求a的取值范圍。

正解:(1)f'(x)=3a x2+6x+3,=0的判別式Δ=3 6(1-a)。

①若a≥1,則f'(x)≥0,故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)。

若0＜a＜1,則當(dāng)x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)時(shí),f'(x)＞0,故f(x)分別在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)x∈(x2,x1)時(shí),f'(x)＜0,故f(x)在(x2,x1)上是減函數(shù)。

若a＜0,則當(dāng)x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)時(shí),f'(x)＜0,故f(x)分別在(-∞,x1),(x2,+∞)上是減函數(shù);當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)＞0,故f(x)在(x1,x2)上是增函數(shù)。

(2)當(dāng)a＞0,x＞0時(shí),f'(x)=3a x2+6x+3＞0,故當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)。

當(dāng)a＜0時(shí),f(x)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-≤a＜0。

易錯(cuò)點(diǎn)7——混淆極值與最值的概念致錯(cuò)

例7 求函數(shù)f(x)=x3-2x2+x在-3,3[ ]上的最值。

錯(cuò)解:f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)·(x-1),所以極值點(diǎn)為x=1或x=

剖析:需注意在閉區(qū)間上的最值應(yīng)是區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的值與閉區(qū)間端點(diǎn)的值進(jìn)行比較而得,而不能簡(jiǎn)單地把極值等同于最值。f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),所以極值點(diǎn)為x=1或x=-

警示:函數(shù)的極值和最值是不同的概念,在一個(gè)區(qū)間上可能有幾個(gè)極大值和極小值,極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系,即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,因此,求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值需要將函數(shù)的一切極值和其端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定。由于高考只對(duì)單峰函數(shù)有要求,故在求解閉區(qū)間上的函數(shù)的最值時(shí),只需求解極值點(diǎn)和其端點(diǎn)值即可獲解。

跟蹤演練7 (2 0 1 7年內(nèi)蒙古包頭十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f (x)=x3-3x+1,x∈[- 2,2]的最大值為M,最小值為m,則M+m=____。

正解:由已知條件可知f'(x)=3x2-3=3(x +1)(x -1),令f'(x)=0,解得x=-1或x=1,當(dāng)x∈ [- 2,-1]時(shí),f'(x)＞0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈ (- 1,1)時(shí),f'(x)＜0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈ (1 ,2]時(shí),f'(x)＞0,函數(shù)單調(diào)遞增,經(jīng)過(guò)計(jì)算f(- 2)=-8+6+1=-1,f(-1)=-1+3+1=3,f(1)=1-3+1=-1,f(2)=8-6+1=3,所以函數(shù)的最大值是3,最小值是-1,則M+m=2。

易錯(cuò)點(diǎn)8——認(rèn)為分段函數(shù)極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取得

剖析:在確定極值時(shí),只討論滿(mǎn)足f'x()=0的點(diǎn)x0附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況是不全面的,在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能存在極值。在上述解法中,補(bǔ)充在x=-2和x=3處函數(shù)取得極小值0。

警示:分段函數(shù)的極值可能存在于導(dǎo)數(shù)為零處,也可能存在于函數(shù)的分段點(diǎn)處。作出其圖像,數(shù)形結(jié)合是最保險(xiǎn)的方法。

易錯(cuò)點(diǎn)9——用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列性質(zhì)時(shí)忽略定義域

例9 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=n·an(a＞0),且an＞an+1對(duì)所有正整數(shù)n均成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解:令f(x)=x·ax(a＞0),由an＞an+1可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,故f'(x)=ax(1+x·l na)≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立。

剖析:錯(cuò)解錯(cuò)在將f(n)＞f(n+1)看作是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,事實(shí)上,(n,an)只是該函數(shù)的圖像上一系列的點(diǎn),因此要使a1＞a2不一定有函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減。

警示:用函數(shù)的單調(diào)性解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題時(shí),不能直接求導(dǎo),也不能將數(shù)列的單調(diào)性等同于函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需要增加比較第一、二兩項(xiàng)的大小。

(責(zé)任編輯 王福華)