■浙江省天臺中學(xué)高三(6)班 吳俊霖(指導(dǎo)教師:鄭秋蟬)

處理“切”問題的兩種方法

■浙江省天臺中學(xué)高三(6)班 吳俊霖(指導(dǎo)教師:鄭秋蟬)

解決圓錐曲線與切點(diǎn)、切線相關(guān)問題的方法有“方程法”和“導(dǎo)數(shù)法”兩種,在具體問題中應(yīng)該根據(jù)圓錐曲線方程的特征結(jié)合其他條件綜合判斷選擇哪種方法求解更合適。

一、方法概括

設(shè)圓錐曲線方程為f(x,y)=0,切線方程為y=k x+b。

方程法:如果題中給出的方程是橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(同時(shí)含有x2、y2),那么就應(yīng)該選用方程法。其主要思想是從方程組消去一個(gè)未知數(shù)(一般是消去y),剩下的是關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的方程,這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,那么由判別式Δ=0所確定的關(guān)于k、b的關(guān)系式,就是直線y=k x+b是切線所要滿足的條件,對應(yīng)的一元二次方程的解就是切點(diǎn)的坐標(biāo);切線的條數(shù)或切點(diǎn)的個(gè)數(shù)由判別式Δ=0來決定。

導(dǎo)數(shù)法:如果題中給出的方程是拋物線y=a x2或雙曲線y=a x+等,那么就應(yīng)該選用導(dǎo)數(shù)法。不管條件怎么復(fù)雜,這種方法的主要思想是先設(shè)好切點(diǎn)P(x0,y0),根據(jù)對曲線方程(實(shí)際是函數(shù)形式)的x進(jìn)行求導(dǎo),求出橫坐標(biāo)是x0時(shí)的導(dǎo)數(shù)值,這個(gè)導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率,寫出切線方程,方程又符合題目中給出的另外條件,得出一個(gè)關(guān)于x0、y0的方程;再根據(jù)切點(diǎn)P(x0,y0)在已知曲線上,來確定關(guān)于x0,y0的另一個(gè)方程;然后將這兩個(gè)方程組成方程組,解出切點(diǎn),切線的條數(shù)、切點(diǎn)的個(gè)數(shù)由這個(gè)關(guān)于x0,y0的方程組來決定。

圖1

二、兩種方法的應(yīng)用

(責(zé)任編輯 劉鐘華)