李曦霞

(昆明官渡區(qū)第二中學(xué),云南 昆明 650041)

由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的四種常見(jiàn)類(lèi)型研究

李曦霞

(昆明官渡區(qū)第二中學(xué),云南 昆明 650041)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而數(shù)列問(wèn)題中出現(xiàn)最頻繁的要數(shù)是求數(shù)列通項(xiàng)公式.本文結(jié)合高中新課改教材(人教A版)及最新高考大綱要求，談一談?dòng)蛇f推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的四種常見(jiàn)類(lèi)型方法，利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、觀察力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

遞推式 數(shù)列 通項(xiàng)公式

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，在歷年高考試題中占有一定的比例.而數(shù)列問(wèn)題中出現(xiàn)最頻繁的要數(shù)是求數(shù)列通項(xiàng)公式.如何求數(shù)列的通項(xiàng)公式成為解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵.但是求數(shù)列通項(xiàng)往往靈活性較強(qiáng)，特別是由數(shù)列的遞推式找數(shù)列的通項(xiàng)公式，直接求解有時(shí)比較困難，而在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，求解過(guò)程往往方法不一，技法較強(qiáng)，給初學(xué)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中帶來(lái)困惑.本文從這點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合高中新課改教材(人教A版)及最新高考大綱要求，談一談?dòng)蛇f推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的四種常見(jiàn)類(lèi)型，希望能對(duì)初學(xué)者有所幫助.

類(lèi)型一形如an+1=an+f(n)

遞推式形如an+1=an+f(n)，可轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，與等差數(shù)列的遞推式相似，可仿照等差數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法“累加法”來(lái)求其通項(xiàng)公式.

由an+1=an+f(n),

有an+1-an=f(n),

a2-a1=f(1),

a3-a2=f(2),

a4-a3=f(3),

…

an-an-1=f(n-1) (n≥2).

以上n-1個(gè)式子相加，

an-a1=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1),

類(lèi)型二形如an+1=f(n)·an(f(n)≠0,an≠0)

以上n-1個(gè)式子相乘，

故an=a1f(1)f(2)f(3)…f(n-1) (n≥2).再對(duì)a1進(jìn)行檢驗(yàn).

類(lèi)型三形如an+1=pan+q的遞推式

當(dāng)p=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)p≠0,q=0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.

當(dāng)p≠1,p≠0,q≠0時(shí)，令an+1-λ=p(an-λ)，展開(kāi)整理，

an+1=pan+(1-p)λ.

對(duì)比an+1=pan+q有(1-p)λ=q，

例1 已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=pan+q，且a2=3，a4=15，求p,q的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解得p=-3，q=6 或p=2，q=1.

由(2)中an+1=2an+1，有an+1+1=2(an+1)，所以an+1+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列， 故an=2n-1.

類(lèi)型四形如an+1=pan+f(n) (p≠0)的遞推式

將上式兩邊同時(shí)除以pn+1，得

例2 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an+1=2Sn+n2-n+1 (n≥1),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解由an+1=2Sn+n2-n+1, (1)

有an=2Sn-1+(n-1)2-(n-1)+1 (n≥2) (2).

(1)-(2)得：an+1-an=2an+2n-2 即an+1=3an+2n-2.

∴b2-b1=0,

…

以上n-1個(gè)式子相加，

經(jīng)檢驗(yàn)此式對(duì)b1也成立,

由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，尤其轉(zhuǎn)化思想，類(lèi)型三與類(lèi)型四就是通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列，把不熟悉的數(shù)列轉(zhuǎn)化為熟悉的等差或等比數(shù)列或常見(jiàn)類(lèi)型一或類(lèi)型二，特別是即非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的求通項(xiàng)問(wèn)題，除了采用不完全歸納法進(jìn)行歸納、猜想，然后借助于數(shù)學(xué)歸納法予以證明，還可以通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列轉(zhuǎn)化為上述四種類(lèi)型來(lái)處理，有助于初學(xué)者理解數(shù)列的概念以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的橫向聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)一步掌握，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、觀察力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

[1]王朝銀.高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義[M]，哈爾濱：黑龍江教育出版社,2015.

[2]周貞雄.百試百樂(lè)專(zhuān)題考王高中版[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2005.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

李曦霞(1971-)，女，漢族，湖南人，學(xué)士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

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