趙勇勝，趙擁軍，趙闖

利用重要性采樣的時差－頻差聯(lián)合估計(jì)算法

趙勇勝，趙擁軍＊，趙闖

解放軍信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，鄭州 450001

針對無源定位中參考信號真實(shí)值未知的時差（TDOA）－頻差（FDOA）聯(lián)合估計(jì)問題，構(gòu)建了一種新的時差－頻差最大似然（ML）估計(jì)模型，并采用重要性采樣（IS）方法求解似然函數(shù)極大值，得到時差－頻差聯(lián)合估計(jì)。算法通過生成時差－頻差樣本，并統(tǒng)計(jì)樣本加權(quán)均值得到估計(jì)值，克服了傳統(tǒng)互模糊函數(shù)（CAF）算法只能得到時域和頻域采樣間隔整數(shù)倍估計(jì)值的問題，且不存在期望最大化（EM）等迭代算法的初值依賴和收斂問題。推導(dǎo)了時差－頻差聯(lián)合估計(jì)的克拉美羅下界（CRLB），并通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，算法的計(jì)算復(fù)雜度適中，估計(jì)精度優(yōu)于CAF算法和EM算法，在不同信噪比條件下估計(jì)誤差接近CRLB。

時差；頻差；聯(lián)合估計(jì)；最大似然；重要性采樣

無源定位是近年來備受關(guān)注的問題，在雷達(dá)［1］、聲吶［2］、無線通信［3］以及傳感器網(wǎng)絡(luò)［4］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。而時差（Time Difference of Arrival，TDOA）和頻差（Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA）作為定位所需的基本參數(shù)［5］，其估計(jì)精度將直接決定對目標(biāo)的定位精度。因此，研究高精度的時差－頻差估計(jì)算法具有重要意義。

互 模 糊 函 數(shù) （Cross Ambiguity Function，CAF）是處理時差－頻差聯(lián)合估計(jì)的經(jīng)典算法［6］，本質(zhì)是時差－頻差的二維相關(guān)。在高信噪比和高采樣率條件下，互模糊函數(shù)方法可以得到時差－頻差的精確估計(jì)，但其需要在參數(shù)空間上進(jìn)行網(wǎng)格搜索求解，效率較低，且只能得到時域和頻域采樣間隔整數(shù)倍的時差－頻差估計(jì)值。為此，一些針對互模糊函數(shù)計(jì)算的快速算法被提出，如基于快速傅里葉變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、兩步估計(jì)等的改進(jìn)算法［7－10］。這些算法一定程度上減小了互模糊函數(shù)的計(jì)算量。此外，基于高階累積量［11］、小波變換［12］以及自適應(yīng)算法也被提出，在一些特定情況得到了優(yōu)于傳統(tǒng)CAF算法的估計(jì)效果。但本質(zhì)上，這些改進(jìn)算法仍然是時差－頻差的二維相關(guān)，其估計(jì)精度仍受到時域和頻域采樣間隔的限制。為此，文獻(xiàn)［13］提出了基于期望最大化（Expection Maximum，EM）的時差－頻差估計(jì)算法。EM算法不受采樣間隔的限制，但由于其求解過程中需多次對矩陣求逆，其計(jì)算量過大，限制了信號的實(shí)時處理，且作為一種迭代算法，EM算法存在初值依賴和局部收斂問題。

近年來，信號處理領(lǐng)域的一些新算法為解決時差－頻差聯(lián)合估計(jì)問題提供了新思路。重要性采樣（Importance Sampling，IS）算法作為一種重要的Monte Carlo方法，是以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的，用隨機(jī)數(shù)抽樣來解決參數(shù)估計(jì)問題的一類數(shù)值計(jì)算方法，其基本思想是通過一個相對簡單的分布函數(shù)的隨機(jī)加權(quán)平均來近似計(jì)算目標(biāo)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)期望［14］。文獻(xiàn)［15］采用IS算法估計(jì)均勻線陣中信號到達(dá)角度，得到了優(yōu)于MUSIC算法和最小范數(shù)算法的估計(jì)精度。文獻(xiàn)［16］考慮均勻線陣中信號到達(dá)角度和多普勒頻率估計(jì)問題，利用IS方法實(shí)現(xiàn)了角度－多普勒頻率的聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)［17－18］將IS算法應(yīng)用到參考信號已知條件下的主動時延估計(jì)問題中。這類算法的思想是建立待估參數(shù)的概率模型或隨機(jī)過程，然后利用IS算法對概率模型或隨機(jī)過程抽樣，通過對樣本的統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的估計(jì)，對于解決非線性的參數(shù)估計(jì)問題具有很好的實(shí)踐意義。

本文針對無源定位中參考信號真實(shí)值未知的時差－頻差聯(lián)合估計(jì)問題，構(gòu)建了一種新的最大似然估計(jì)模型，并采用IS算法求解似然函數(shù)極大值，得到時差－頻差估計(jì)。IS算法通過生成時差－頻差樣本，并對樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到估計(jì)值，可以突破采樣間隔整數(shù)倍的限制，具有較高的估計(jì)精度，且計(jì)算復(fù)雜度適中。

1 信號模型和似然函數(shù)

考慮如圖1所示的無源雙基地雷達(dá)系統(tǒng)。參考天線用于接收來自外輻射源的直達(dá)信號，監(jiān)視天線用于接收目標(biāo)回波信號［1］。

假設(shè)參考天線接收到的信號真實(shí)值為s（t），則兩路接收機(jī)接收到的信號可建模為［10］

式中：w1（t）、w2（t）為零均值的高斯白噪聲；a 和φ為冗余參數(shù)，分別為增益系數(shù)和相移；τ和ν為待估參數(shù)，分別為兩路信號的時差和頻差。本文的主要工作是要通過對x1（t）、x2（t）的觀測來估計(jì)兩路信號的時差和頻差。

對x1（t）、x2（t）以間隔Ts采樣，得到信號的離散形式為

由于估計(jì)過程中參考信號的真實(shí)值s（n）是未知的，因此難以直接根據(jù)式（2）得到時差和頻差的似然函數(shù)。為此，從頻域出發(fā)，推導(dǎo)時差和頻差的似然函數(shù)。首先對x1（t）、x2（t）做離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT），得到信號的頻域形式為

式中：k＝0，1，…，N－1。

式（4）可以表示為

式中：

由于DFT變換具有周期性，因此m的范圍仍為0，1，…，N－1。

將式（3）代入式（5），并整理化簡，可以消去未知量S（k），得到僅含有觀測量和待估參量的表達(dá)式為

式中：

那么，令Xν＝［Xν（0） Xν（1） … Xν（N－1）］T，Xτ＝［Xτ（0） Xτ（1） … Xτ（N－1）］T，W＝［W（0） W（1） … W（N－1）］T，式（7）可以表示為

由于w1（n）、w2（n）為高斯白噪聲，經(jīng)過 DFT等一系列線性變換后，向量W仍滿足高斯性。那么根據(jù)W 的概率統(tǒng)計(jì)特性，給定參數(shù)（b，τ，ν）條件下X1、X2的概率密度函數(shù)為

式中：σ2為噪聲W（k）的方差。

對式（10）中的概率密度函數(shù)取對數(shù)并去掉與（b，τ，ν）無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)，得到對數(shù)似然函數(shù)為

對數(shù)似然函數(shù)L（b，τ，ν）關(guān)于τ、ν高度非線性，但卻是關(guān)于冗余參數(shù)b的二次函數(shù)。因此可以通過對L（b，τ，ν）關(guān)于b求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)為零，來消除冗余參數(shù)b。

對式（12）求解，得到b關(guān)于（τ，ν）的表達(dá)式為

將式（13）代入式（11），得到僅含有（τ，ν）的對數(shù)似然函數(shù)為

式中：θ＝［τ ν］T為時差和頻差構(gòu)成的待估向量。

2 時差－頻差聯(lián)合估計(jì)算法

Lc（θ）是關(guān)于θ的非線性函數(shù)，無法利用解析方法得到時差－頻差的估計(jì)值。常用方法是通過多維網(wǎng)格搜索或利用迭代方法求解。但網(wǎng)格搜索方法效率低，且其只能得到時域和頻域采樣間隔整數(shù)倍的時差和頻差。而迭代方法往往需要一個較為準(zhǔn)確的初始解，否則難以收斂至全局最優(yōu)解。為此，本文采用重要性采樣的方法估計(jì)時差和頻差。

2．1 重要性采樣方法

根據(jù)Pincus的理論［19］，使得代價函數(shù)Lc（θ）取得全局最大值的變量θ可以通過式（15）得到

式中：θi為向量θ 中 的 第i 個 變 量；＾θi為 其 估計(jì)值。

定義exp［ρLc（θ）］的歸一化函數(shù)為

式（17）中的積分難以直接通過解析方法計(jì)算。但是如果能夠得到足夠多服從L′c，ρ0（θ）分布的θ樣本，則可以通過數(shù)值計(jì)算方法估計(jì)式（17）中的積分。假設(shè)已經(jīng)得到了R個θ的樣本，那么式（17）中積分可通過統(tǒng)計(jì)樣本均值近似得到

IS方法是處理復(fù)雜多維積分的有效方法。對于式（17）中的積分，有

式中：g′（θ）為一個容易采樣的概率密度函數(shù)，稱為歸一化重要性函數(shù)。通過生成服從g′（θ）分布的樣本，式（19）中的積分可以利用如下加權(quán)平均計(jì)算得到：

顯然，式（20）的估計(jì)效果受樣本數(shù)量R和選取的歸一化重要性函數(shù)g′（θ）的影響。增加樣本數(shù)量R可以提高估計(jì)精度，但同時意味著更大的計(jì)算量。而實(shí)際上，R同時也受到g′（θ）的影響。選取的g′（θ）與L′c，ρ0（θ）越相似，則式（20）的估計(jì)方差越小，但同時g′（θ）還應(yīng)考慮易于采樣。因此，重要性函數(shù)的選取是利用IS方法估計(jì)時差－頻差的關(guān)鍵。

2．2 重要性函數(shù)選取

首先，根據(jù)Lc（θ）初步構(gòu)建重要性函數(shù)為

式中：ρ1為常數(shù)，用于調(diào)整重要性函數(shù)的形狀。ρ1的不同取值對應(yīng)重要性函數(shù)形狀如圖2所示。從圖2可以看出，ρ1越大，重要性函數(shù)形狀越尖銳，反之則越平緩。選擇較大的ρ1可以消除重要性函數(shù)峰值附近的旁瓣，從而減少采樣過程中對參數(shù)估計(jì)無益的樣本數(shù)，使得樣本集中于峰值附近，提高估計(jì)精度。但ρ1并非越大越好，過大的ρ1會使得構(gòu)造的重要性函數(shù)丟失一些有用信息，同時過于尖銳的函數(shù)形狀也會造成采樣困難。ρ1的不同選取參見文獻(xiàn)［19］。

歸一化重要性函數(shù)構(gòu)建為

但在實(shí)際應(yīng)用中，式（22）中的歸一化重要性函數(shù)只能采用離散形式

式中：L和K分別為時差和頻差取值區(qū)間劃分的總點(diǎn)數(shù)。

2．3 利用重要性采樣估計(jì)時差－頻差

由于選取的g′ρ′1（θ）與L′c，ρ0（θ）存在偏差，因此生成的θ樣本的統(tǒng)計(jì)特性也是有偏差的，但是這種偏差可以通過 加權(quán)因 子 L′c，ρ0（θ）／g′ρ′1（θ）消除。按照g′ρ′1（θ）生成θ的樣本，則IS方法得到的時差和頻差的估計(jì)為

由于時差和頻差存在取值范圍［θmin，θmax］，因此對于式（26）中的加權(quán)平均，采用角度平均［16］方法可以減小計(jì)算量，并改善算法在低信噪比和信號快拍數(shù)較少條件下的估計(jì)效果［20］。首先，將時差和頻差歸一化至［0，1］內(nèi)

那么珔θ的角度加權(quán)均值為

式中：∠表示取弧度角；珋θ（t）i表示按照g′ρ′1（珔θ）生成的第t個珋θi樣本；F（珔θ（t））為加權(quán)因子，其表達(dá)式為

對于式（28）中的角度均值計(jì)算，只需要確定一個復(fù)數(shù)的相位角，而L′c，ρ0（珔θ）和g′ρ′1（珔θ）中的歸一于相位角并無影響，且難以計(jì)算，因此將其省略。同時，為了使計(jì)算F（珔θ（t））過程中指數(shù)運(yùn)算不至于過大而溢出，將其歸一化為

式中：I（珔θ（t））＝I（珋τ（t），珋ν（t））。

綜上，利用IS方法估計(jì)時差－頻差的步驟總結(jié)如下：

步驟1 根據(jù)接收信號x1（n）、x2（n），按照式（25）構(gòu)建離散形式的歸一化重要性函數(shù)

步驟2 按照g′ρ′1（珔θ）生成R個珔θ樣本。

步驟3 利用式（30）計(jì)算樣本的權(quán)重，并按照式（28）計(jì)算珔θ的角度加權(quán)均值。

3 克拉美羅下限（CRLB）分析

假設(shè)兩路接收機(jī)接收到的噪聲方差相同，記為var［W1（k）］＝var［W2（k）］＝，那么參考接收機(jī)接收到的信號x1（n）的信噪比為

式中：S為參考信號真實(shí)值s（n）的DFT變換構(gòu)成的向量。由式（32）可得

根據(jù)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，W（k）的均值為零，即

對于時差－頻差聯(lián)合估計(jì)問題，F(xiàn)isher信息矩陣為2×2的方陣。根據(jù)Fisher信息矩陣的定義，對式（10）中的概率密度函數(shù)p（Xν，Xτ；b，θ）取對數(shù)，并關(guān)于θ求偏導(dǎo)：

式中：

那么，F(xiàn)isher信息矩陣為

CRLB是無偏算法估計(jì)誤差的理論下限，其等于Fisher信息矩陣的逆。那么時差和頻差的估計(jì)誤差方差滿足：

式中：（J－1）ii為矩陣J－1主對角線上的第i個元素。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

選取一段二進(jìn)制相移鍵控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）信號作為輻射源信號，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。BPSK信號參數(shù)設(shè)置為：碼元速率RB＝1MHz，信號載頻fc＝50MHz。采樣頻率Fs＝1／Ts＝128MHz，信號快拍數(shù) N＝2 048，兩路信號之間的時差τ＝150．4Ts，頻差ν＝100．6Fs／N。IS方法的參數(shù)設(shè)置為ρ0＝20，ρ1＝15，歸一化重要性函數(shù)在時差和頻差取值區(qū)間劃分的總點(diǎn)數(shù)為L＝K＝2 048。

為了分析樣本數(shù)量對算法估計(jì)精度的影響，利用不同數(shù)量的樣本進(jìn)行蒙特卡羅仿真。信號信噪比設(shè)置為10dB，仿真結(jié)果如圖3所示。圖3給出了不同樣本數(shù)量下算法估計(jì)的均方誤差（Mean Square Error，MSE）?？梢钥闯?，隨著樣本數(shù)量的增加，時差和頻差的估計(jì)精度均不斷提高，但提高的速度變慢，在樣本數(shù)量增加至4 000后，基本不再提高。且樣本數(shù)量的增加意味著計(jì)算復(fù)雜度的增加，因此，作為折中，在后續(xù)仿真中樣本數(shù)量設(shè)置為R＝4 000。

為評估算法的估計(jì)性能，在不同信噪比條件下的利用算法進(jìn)行蒙特卡羅仿真。為了突出算法的性能，將算法的MSE與基于FFT的CAF算法［10］、EM 算 法［13］和 CRLB 對 比。 仿 真 結(jié) 果 如圖4所示。從圖4（a）可以看出，隨著信噪比的增加，幾種算法的時差估計(jì)精度均有提高。但CAF算法在信噪比增加至5dB后，估計(jì)精度基本保持不變，不再隨信噪比的增加而提高。原因在于CAF只能得到時域和頻域采樣間隔整數(shù)倍的時差－頻差估計(jì)，估計(jì)精度受到限制。EM算法和IS算法均可得到頻域和時域采樣間隔非整數(shù)倍的時差－頻差估計(jì)，因此在－5～20dB信噪比范圍內(nèi)，估計(jì)精度可隨著信噪比的增加而不斷提高，但EM算法的估計(jì)精度對初值依賴嚴(yán)重。初值較差時，EM算法的估計(jì)精度低于CAF算法。而在給定較為準(zhǔn)確的初值時，EM算法的估計(jì)精度高于CAF算法，較高信噪比條件下估計(jì)精度與IS算法相近，但在信噪比較低時估計(jì)精度低于本文IS算法。圖4（b）表明，IS算法在頻差估計(jì)中性能同樣優(yōu)于CAF算法和EM算法，但與時差估計(jì)相比不同的是，幾種算法對頻差估計(jì)的精度均相對較高，這主要由信號的互模糊特性決定。

此外，圖4（b）中，在低信噪比時，算法的估計(jì)誤差逼近CRLB，而隨著信噪比的增加，算法的估計(jì)誤差雖然降低，但偏離CRLB的程度反而有增大的趨勢。原因在于本文IS算法通過生成樣本并統(tǒng)計(jì)樣本加權(quán)均值的方式來近似參數(shù)的最大似然解。在低信噪比條件下，算法估計(jì)誤差主要受噪聲影響，這種近似引起的誤差相比之下很小，可以忽略，而在高信噪比條件下，噪聲對算法估計(jì)誤差的影響較小，這種近似引起的誤差相比之下變大，導(dǎo)致算法的估計(jì)誤差偏離CRLB。

算法的計(jì)算復(fù)雜度也是衡量算法優(yōu)劣的重要指標(biāo)。為此，這里比較基于網(wǎng)格搜索的 ML算法、基于FFT的CAF算法、EM算法及本文算法的計(jì)算復(fù)雜度。由于實(shí)際運(yùn)算過程中運(yùn)算量主要由乘法運(yùn)算決定，因此將算法實(shí)數(shù)乘法的次數(shù)作為衡量算法計(jì)算復(fù)雜度的指標(biāo)。為便于統(tǒng)計(jì)，這里將共軛運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算均作為乘法運(yùn)算參與統(tǒng)計(jì)。結(jié)果如表1所示。表中：Niter為EM算法的迭代次數(shù)。

表1 不同算法的計(jì)算復(fù)雜度對比Table 1 Computational complexity comparison among different algorithms

從表1可以看出，4種算法中，基于FFT的CAF快速計(jì)算算法計(jì)算復(fù)雜度最低。文獻(xiàn)［13］中的EM算法計(jì)算復(fù)雜度最高，原因在于文獻(xiàn)［13］在期望最大化的迭代過程中需多次對N×N的矩陣求逆，造成算法計(jì)算復(fù)雜度的急劇增加。而基于網(wǎng)格搜索的ML算法的計(jì)算效率同樣較低，難以滿足實(shí)時處理的要求。從計(jì)算復(fù)雜度的表達(dá)式可以看出，本文IS算法的計(jì)算復(fù)雜度主要由構(gòu)建式（25）中歸一化重要性函數(shù)的計(jì)算量決定，同時會隨著生成樣本數(shù)的增加而有所增加，對于仿真BPSK信號情況，IS算法的計(jì)算復(fù)雜度略高于基于FFT的CAF快速計(jì)算算法，可以滿足信號實(shí)時處理的要求。

5 結(jié) 論

針對無源雙基地定位中參考信號真實(shí)值未知的時差－頻差聯(lián)合估計(jì)問題，提出了一種基于重要性采樣的最大似然估計(jì)算法。該算法具有如下優(yōu)勢：

1）算法的計(jì)算復(fù)雜度與利用FFT的CAF快速計(jì)算算法基本相同，但是克服了CAF算法只能得到時域和頻域采樣間隔整數(shù)的時差－頻差估計(jì)問題，可以得到采樣間隔非整數(shù)倍的時差－頻差估計(jì)。

2）與EM算法相比，本文算法不存在迭代的初值依賴和收斂問題，且計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于EM算法。

3）推導(dǎo)了時差－頻差聯(lián)合估計(jì)的CRLB，并通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，算法的估計(jì)精度優(yōu)于CAF算法和EM算法，在不同信噪比條件下估計(jì)誤差接近CRLB。

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TDOA－FDOA joint estimation using importance sampling method

ZHAO Yongsheng，ZHAO Yongjun＊，ZHAO Chuang
School of Navigation and Aerospace Engineering，PLA Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China

To solve the joint estimation of time difference of arrival（TDOA）and frequency difference of arrival（FDOA）in passive location system，where the true value of the reference signal is unknown，a novel maximum likelihood（ML）estimator of TDOA and FDOA is constructed．Then importance sampling（IS）method is applied to find the maximum of likelihood function by generating the samples of TDOA and FDOA．Unlike the cross ambiguity function（CAF）algorithm or the expectation maximization（EM）algorithm，the proposed algorithm can estimate the TDOA and FDOA of non－integer multiple of the sampling interval and has no dependence on the initial estimate．The Cramer Rao lower bound（CRLB）is also derived．Simulation results show that the proposed algorithm outperforms the CAF and EM algorithm with higher accuracy and moderate computational complexity，and approaches the CRLB for different SNR conditions．

time difference of arrival；frequency difference of arrival；joint estimation；maximum likelihood；importance sampling

2015－12－31；Revised：2016－03－04；Accepted：2016－03－15；Published online：2016－03－21 13：27

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160321．1327．008．html

s：National Natural Science Foundation of China（61401469，61501513）；National High Technology Research and Development Program of China（2012AA7031015）

V247；TN971

A

1000－6893（2017）01－319994－08

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0085

2015－12－31；退修日期：2016－03－04；錄用日期：2016－03－15；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016－03－21 13：27

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160321．1327．008．html

國家自然科學(xué)基金 （61401469，61501513）；國家“863”計(jì)劃 （2012AA7031015）

＊通訊作者 ．E－mail：zhaoyongjuntg＠126．com

趙勇勝，趙擁軍，趙闖．利用重要性采樣的時差－頻差聯(lián)合估計(jì)算法［J］．航空學(xué)報(bào)，2017，38（1）：319994．ZHAO Y S，ZHAO Y J，ZHAO C．TDOA and FDOA joint estimation using importance sampling method［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：319994．

（責(zé)任編輯：蘇磊）

＊Corresponding author．E－mail：zhaoyongjuntg＠126．com