鄭黎明，杏建軍，陳子昂，王祎，于洋

Dryden型大氣紊流對平流層飛艇能量最優(yōu)軌跡影響

鄭黎明，杏建軍＊，陳子昂，王祎，于洋

中南大學(xué) 航空航天學(xué)院，長沙 410083

研究了常值風(fēng)場作用下平流層飛艇的上升段軌跡優(yōu)化和大氣紊流對最優(yōu)軌跡的影響問題。首先基于平流層飛艇的受力分析，建立了考慮常值風(fēng)場、地球自轉(zhuǎn)和飛艇質(zhì)量變化等諸多因素的三自由度動力學(xué)模型，處理參數(shù)得到歸一化的系統(tǒng)方程；其次采用直接配點法將平流層飛艇的最優(yōu)軌跡問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，以最小能量為目標(biāo)函數(shù)，給出非線性規(guī)劃問題的求解策略，優(yōu)化得出可行解后對飛艇的最優(yōu)上升軌跡及相應(yīng)的加速度項進行了分析，將優(yōu)化的控制量代入微分方程驗證了優(yōu)化軌跡的準(zhǔn)確性；最后加入Dryden型大氣紊流的干擾，選取多組大氣紊流干擾下的數(shù)據(jù)進行對比分析，仿真結(jié)果表明大氣紊流疊加風(fēng)場均值與飛艇終端位置誤差存在一定規(guī)律，分析并提出了平流層飛艇抵御大氣紊流干擾的策略。

平流層飛艇；軌跡優(yōu)化；直接配點法；非線性規(guī)劃；Dryden型大氣紊流

平流層飛艇作為一個承擔(dān)多元化任務(wù)的浮空器平臺，相比于其他航空器和航天器在某些領(lǐng)域具有巨大的優(yōu)勢［1］，低耗能和長航時的工作特性使其成為國內(nèi)外航空航天領(lǐng)域研究的熱點［2］。平流層飛艇的工作環(huán)境為大氣環(huán)境相對穩(wěn)定的平流層［3］，適合飛艇的定點駐留和低速飛行，但是對于巨型低速的飛艇而言，穿越對流層時必然要面對惡劣的空間環(huán)境，受到各種干擾帶來的負(fù)面影響［4］，為了讓飛艇迅速而穩(wěn)定到達平流層空間，開展平流層飛艇的軌跡優(yōu)化勢在必行。

目前，面向平流層飛艇軌跡優(yōu)化的研究文獻較少，Lee等［5－6］在韓國高空飛艇 VIA－200的基礎(chǔ)上進行平流層飛艇上升段最優(yōu)軌跡的研究，考慮湍流作用下根據(jù)三自由度模型求得最小時間和最小能量的最優(yōu)軌跡，并基于最優(yōu)軌跡研究非線性路徑跟蹤控制；Mueller等［7］針對最小時間和最小能量兩種情況評估了時間和能量的經(jīng)濟性，研究不同起飛位置對飛艇最優(yōu)軌跡的影響；Guo和Zhu［8］通過對飛艇熱力學(xué)模型的建立，綜合分析熱力學(xué)效應(yīng)對于飛艇最優(yōu)軌跡的影響，但是軌跡優(yōu)化問題中僅考慮常值風(fēng)場作用，并未考慮隨機風(fēng)場對于最優(yōu)軌跡有何影響。

實際飛行過程中，飛行器不僅受到常值風(fēng)的作用，更會因為大氣紊流的影響而導(dǎo)致飛行器飛行性能和品質(zhì)下降，甚至難以正常飛行。大氣紊流是指疊加在平均風(fēng)上的連續(xù)隨機脈動，趙震炎等［9］利用電子計算機產(chǎn)生復(fù)合Dryden模型的三維大氣紊流信號，并對飛行模擬器如何使用該數(shù)學(xué)模型提出一些看法；吉洪蕾等［10］發(fā)展了一種適用于直升機飛行力學(xué)分析的三維空間大氣紊流模型，并分析大氣紊流對直升機飛行品質(zhì)的影響；Dogan和Lewis［11］針對空中加油機綜合考慮了常值風(fēng)場，渦流風(fēng)場以及大氣紊流干擾等綜合因素，通過對多種大氣紊流干擾下飛機之間的相對位置、相對速度等相關(guān)飛行數(shù)據(jù)分析驗證風(fēng)場建模技術(shù)。飛艇作為巨型低速的浮空器，受到大氣紊流干擾的負(fù)面影響更為顯著，產(chǎn)生的擾動速度會使得飛艇無法按照預(yù)定軌跡到達目標(biāo)位置。在目前公開的文獻中，針對大氣紊流對飛艇最優(yōu)軌跡影響的文獻較少，找出大氣紊流對飛艇飛行軌跡的影響并給出飛艇抵御大氣紊流干擾的策略，對于平流層飛艇放飛后能夠精確地到達目標(biāo)位置具有重要意義。

本文基于平流層飛艇的三自由度模型，采用直接配點法將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃（NLP）問題，求解出飛艇上升段能量最優(yōu)軌跡；分析結(jié)果表明風(fēng)場對于能量最優(yōu)軌跡影響顯著，而綜合考慮常值風(fēng)場和Dryden型大氣紊流的復(fù)合作用，更接近于飛艇的真實飛行環(huán)境；最終基于優(yōu)化結(jié)果中的控制輸入，計算常值風(fēng)場與復(fù)合風(fēng)場作用下軌跡的終端誤差并對比分析，找出規(guī)律并提出平流層飛艇抵御大氣紊流干擾的策略。

1 平流層飛艇三自由度模型

1．1 基本假設(shè)

1．1．1 姿態(tài)穩(wěn)定可控假設(shè)

在現(xiàn)有的關(guān)于平流層飛艇研究中，假設(shè)平流層飛艇為具有縱向?qū)ΨQ平面的剛體，體積中心與浮力中心重合，體積中心與重心均在縱向面內(nèi)且重心位于體積中心的正下方［1］。

所研究的飛艇模型主要參考韓國高空飛艇VIA－200的模型參數(shù)［5］，該飛艇通過矢量發(fā)動機和三角形尾翼的舵面系統(tǒng)完成飛艇的質(zhì)心位置和姿態(tài)系統(tǒng)控制，推力和舵面系統(tǒng)如圖1所示，其中μmax和εmax分別為矢量發(fā)動機轉(zhuǎn)動過程中在艇身縱向面和橫向面允許轉(zhuǎn)動的最大角度。

研究內(nèi)容為飛艇的軌跡優(yōu)化問題，僅考慮質(zhì)心位置變化，故默認(rèn)飛艇的姿態(tài)穩(wěn)定可控且整個飛行動力系統(tǒng)可提供該優(yōu)化問題中的4個控制輸入量：矢量發(fā)動機推力T和轉(zhuǎn)角μ、迎角α、航向角ψ，有關(guān)航向角ψ作為控制量的解釋將在下文飛艇三自由度動力學(xué)模型建立后給出。

1．1．2 滾轉(zhuǎn)角為零假設(shè)

考慮飛艇的工作原理和任務(wù)特性，此處采用飛艇滾轉(zhuǎn)角為零的假設(shè)，原因如下：

1）傳統(tǒng)飛行器如飛機在實現(xiàn)橫側(cè)向的機動時需要傾斜機身產(chǎn)生一定的滾轉(zhuǎn)角，而巨型低速的飛艇氣動升力較小，通過改變滾轉(zhuǎn)角完成橫側(cè)向機動收益過小。同時，飛艇可通過矢量發(fā)動機的推力T和橫向面轉(zhuǎn)角ε實現(xiàn)側(cè)向力FL的控制，能夠更有效地實現(xiàn)橫側(cè)向機動。

2）飛艇的優(yōu)勢在于能夠?qū)崿F(xiàn)低耗能長航時的對地定點觀測任務(wù)，一般攜帶載荷為高分辨率觀測器件，滾轉(zhuǎn)角過大變化會影響飛艇對地觀測任務(wù)的執(zhí)行。

3）在文獻［5］的軌跡優(yōu)化研究中，并未采取滾轉(zhuǎn)角為零的假設(shè)而是作為一個優(yōu)化問題狀態(tài)量處理，最終優(yōu)化結(jié)果中滾轉(zhuǎn)角幾乎全程處于0°附近變化且最大值未超過5°。

1．1．3 靜浮力假設(shè)

不同于傳統(tǒng)的飛行器，飛艇在低速飛行中產(chǎn)生的氣動升力遠(yuǎn)小于飛艇的重力，主要依靠巨大體積獲得的浮力來平衡重力。在飛艇的初步設(shè)計階段應(yīng)該考慮飛艇受到的浮力能夠通過壓力調(diào)節(jié)系統(tǒng)調(diào)節(jié)而大于、等于或者小于重力，定義系數(shù)ζ為飛艇浮力B與重力G之差與飛艇的重力之比，即

系數(shù)ζ在較小范圍內(nèi)變化，本文選取ζ＝0，認(rèn)為飛艇上升過程中浮力與重力始終平衡，即靜浮力假設(shè)。將飛艇浮力與重力的方程代入式（1），可得到飛艇質(zhì)量m（t）與質(zhì)量變化率m（t）的表達式為

式中： 為飛艇體積；ρ（h（t））為飛行過程的大氣密度；h（t）為飛艇的高度。

1．2 運動學(xué)模型

建立3個坐標(biāo)系（見圖2和圖3）描述飛艇的運動：地心慣性坐標(biāo)系OIJK［12］、北天東坐標(biāo)系Onenu和速度坐標(biāo)系Owxwywzw，在地心慣性坐標(biāo)系中用飛艇距離地面的高度h，經(jīng)度l和緯度λ來描述飛艇的質(zhì)心位置，地球自轉(zhuǎn)角速度為we，則飛艇的慣性速度VI可以表示為

式中：向量VL為北天東坐標(biāo)系下的當(dāng)?shù)厮俣龋籚、W和E分別為飛艇空速、風(fēng)速和地球自轉(zhuǎn)速度。

飛艇在慣性坐標(biāo)系的位置矢量r在Onenu中為

則慣性速度為

式中：R為地球半徑；Ω為北天東坐標(biāo)系Onenu相對于地心慣性坐標(biāo)系OIJK的轉(zhuǎn)動角速度，即

由圖3可知，飛艇的航跡角γ和航向角ψ可描述北天東坐標(biāo)系和速度坐標(biāo)系之間的關(guān)系，其轉(zhuǎn)置矩陣R滿足

式中：x、y和z分別為速度坐標(biāo)系x方向、y方向和z方向的矢量；e、n和u分別為北天東坐標(biāo)系東西方向、南北方向和高度方向的矢量。

將式（4）中所有速度矢量轉(zhuǎn)置于Onenu系中得到飛艇空速、風(fēng)速以及地球轉(zhuǎn)速的表達式并代入式（4）中，即可得到飛艇的運動學(xué)方程為

式中：WE為東西向風(fēng)場速度；WN為南北向風(fēng)場速度。

1．3 動力學(xué)方程

由牛頓第二定律知飛艇的動力學(xué)方程為

質(zhì)量M為飛艇質(zhì)量與附加慣性質(zhì)量和，其表達式為

式中：mair為飛艇排開周圍空氣的質(zhì)量；k1、k2和k3為附加慣性質(zhì)量系數(shù)，可通過飛艇的外形尺寸確定［13］

通過對慣性速度VI的導(dǎo)數(shù)展開并整理得到其表達式為［7］

1．4 受力分析

飛艇所受到的力有重力G、浮力B、矢量發(fā)動機推力T和側(cè)向力FL、氣動升力L和阻力D。考慮飛艇在上升過程中重心位置隨著質(zhì)量變化而改變，此處選取浮心為受力作用點，其中重力、發(fā)動機推力和側(cè)向力相對于浮心均有一定的力矩作用，會影響飛艇的姿態(tài)，但在該軌跡優(yōu)化問題采用的是飛艇的質(zhì)點模型，默認(rèn)飛艇的姿態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定可控，即上述力矩產(chǎn)生的影響可通過飛艇的舵面系統(tǒng)消除。

最終選取浮心為受力作用點，得到飛艇在縱向平面的受力如圖4所示，各力均表示于速度坐標(biāo)系中，即

式中：向量F為飛艇所受外力；向量L、D、T、G和B分別為速度坐標(biāo)系中升力、阻力、推力、重力和浮力的表達式。

飛艇在橫側(cè)向平面僅有側(cè)向力的作用，其大小的控制可以通過矢量發(fā)動機推力與橫向面轉(zhuǎn)角ε獲得，其表達式為

飛艇上升過程中隨著高度的增加，大氣密度ρ（h（t））變化較大，必須考慮飛艇的質(zhì)量變化率m（t）對飛艇的影響，此處引入反作用力FA描述飛艇質(zhì)量變化產(chǎn)生的影響［14］，假設(shè)從飛艇氣囊放出的氣體速度與飛艇空速大小相等，方向相反。如圖5所示，取飛艇質(zhì)量變化間隔時間dt，氣體質(zhì)量為－dm，速度為－V，則飛艇質(zhì)量為m（t）＋dm，速度為V＋dV，由動量守恒可知：

忽略二階小項dmdV，則作用于x方向的合力∑Fx滿足

綜合考慮式（10），根據(jù)之前假設(shè)放出的氣體速度與飛艇空速大小相等，方向相反且飛艇質(zhì)量變化率為負(fù)值，故反作用力FA的方向指向x正方向，大小為FA＝m（t）V。為了便于計算飛艇的質(zhì)量變化率，采用多項式擬合的方法來表示大氣密度，其表達式為

式中：珔h＝h／hc，hc為高度的歸一化常數(shù)。

聯(lián)立式（10）、式（12）、式（13）和式（16）即可得到飛艇的三自由度動力學(xué)模型：

其中航向角變化率ψ表達式中包含可控側(cè)向力FL，故將航向角ψ由狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的可控輸入，其上下界和變化速率受到系統(tǒng)約束。

1．5 氣動力與風(fēng)場模型

飛艇飛行過程中的氣動升力和阻力的表達式為

式中：S＝2／3為參考面積；CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)。這3個參數(shù)可通過風(fēng)洞試驗、CFD仿真［15］和半經(jīng)驗公式［16］獲取，此處系數(shù)采用韓國VIA－200飛艇風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)擬合而成，其大小僅隨飛艇迎角α變化［5］，即

風(fēng)場的模型采用多項式擬合得到的HWM93常值風(fēng)場模型［7］，表示為東西方向和南北方向，其大小僅隨高度h變化，便于描述風(fēng)的強度與梯度對飛艇上升軌跡的影響。

1．6 歸一化處理

為了提高優(yōu)化問題中的計算精度和運行效率，需對變量進行歸一化處理。給出歸一化常數(shù)k＝20，針對速度、時間、高度、加速度、力和密度定義歸一化常數(shù)為

歸一化常數(shù)數(shù)值和飛艇參數(shù)在附錄B的表B1中給出，基于飛艇的運動學(xué)方程式（9）和動力學(xué)方程式（18）得到歸一化的系統(tǒng)方程，包含4個控制輸入和5個狀態(tài)變量：

2 最優(yōu)軌跡問題的轉(zhuǎn)換與求解策略

2．1 基于直接配點法的問題轉(zhuǎn)換

求解平流層飛艇上升段最優(yōu)軌跡，即尋找控制變量u（t）使在時間［t0，tf］上目標(biāo)函數(shù)J（x（t），u（t），t）取極小值。本文采用直接配點法［17］，在時間域［t0，tf］上離散狀態(tài)變量x（t）與控制輸入u（t），將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為NLP問題。

現(xiàn)于時間域［t0，tf］選取 N 個節(jié)點，即有tk＝t0＋τktf，需要優(yōu)化的變量數(shù)目為9 N＋1，表示為

通過直接配置法，將求解目標(biāo)函數(shù)J（x（t），u（t），t）取得極小值的問題轉(zhuǎn)換為J［X］取極小值的NLP問題。

2．2 目標(biāo)函數(shù)選取

平流層飛艇的理想工作環(huán)境為高度h＝18～50km的廣大平流層區(qū)域，在上升過程更少的能源消耗有助于延長飛艇的駐空時間，故選取能量最小性能指標(biāo)為

考慮飛艇的迎角α、發(fā)動機轉(zhuǎn)角μ和航向角ψ這3個控制輸入所消耗能量屬于姿態(tài)控制系統(tǒng)，此處選取矢量發(fā)動機推力T作為能量最優(yōu)軌跡參考量。

2．3 系統(tǒng)約束條件

系統(tǒng)約束條件包含初值和終端約束，過程約束，控制變化率約束和變量上下界約束。

1）初值和終端約束。飛艇從起始位置放飛，最終到達目標(biāo)位置，詳細(xì)數(shù)值在仿真中給出，同時要求飛艇到達終端位置的當(dāng)?shù)厮剿俣萔Lf＝10m／s，滿足表達式

2）過程約束。飛艇飛行過程中通過壓力調(diào)節(jié)系統(tǒng)從氣囊充放空氣保持浮力與重力平衡，其系統(tǒng)調(diào)節(jié)能力受到一定限制，因此飛艇高度變化率受到壓力調(diào)節(jié)系統(tǒng)的約束；同時飛艇正常飛行時總功率不能超過總體系統(tǒng)最大功率

3）控制變化率約束。控制輸入的變化速率不能過大，需滿足一定約束條件

4）變量上下界約束。所有變量的上下界約束如表1所示。

表1 變量上下界Table 1 Bounds of variables

2．4 NLP問題的求解策略

采用直接配點法求解最優(yōu)軌跡時，為了提高計算的精度，需要選取更多的節(jié)點，而節(jié)點數(shù)目的增加勢必會造成決策變量數(shù)目迅速增加［18］。本文采用序列二次規(guī)劃（SQP）算法對NLP問題進行求解，需要給出優(yōu)化問題的猜測初值，當(dāng)節(jié)點數(shù)目過多且猜測初值選取不好時，很難甚至無法得到可行解，針對該問題提出以下3種求解策略：

1）對優(yōu)化變量進行歸一化處理，使得所有待優(yōu)化變量集中于相近數(shù)量級，可以提高求解精度和運行效率。

2）采用較少的節(jié)點數(shù)目（N＝10）進行預(yù)優(yōu)化，再得到初步可行解后通過插值處理得到多節(jié)點數(shù)（N＝20，40，60）情況下的迭代初值，重復(fù)此過程直至獲得較多節(jié)點數(shù)目（N＝60）情況下的猜測初值。

3）設(shè)置低精度的截斷誤差獲得初步可行解，然后逐步提高截斷誤差的精度，將獲得的可行解作為初值代入，直至獲得較高精度的猜測初值。

3 優(yōu)化求解與模型驗證

3．1 優(yōu)化初值猜測

本文使用的SQP算法是一種局部優(yōu)化算法，其優(yōu)化結(jié)果依賴于初值的猜測，因此無法避免的收斂到局部最優(yōu)解。目前解決該問題的方法一般有兩個，一是根據(jù)工程經(jīng)驗直接判斷該可行解是否為全局最優(yōu)解；二是通過全局優(yōu)化算法進行檢驗。

在使用全局優(yōu)化算法（遺傳算法）進行初值搜索時，僅選取節(jié)點數(shù)N＝10仍較難獲得有效初值，且時效性很低；因此在該優(yōu)化問題的初值猜測中，除了考慮2．4節(jié)中提到的NLP問題求解策略，仍需針對不同目標(biāo)函數(shù)場景綜合飛艇的動力學(xué)方程在理論上選取出較恰當(dāng)?shù)某踔?。例如在該最小能量問題的優(yōu)化過程中，需考慮以下因素：

1）關(guān)注飛艇的總飛行時間tf變化，因為對于該優(yōu)化問題只能確定飛行時間下限為2 133．4s（由高度變化率限制）且在系統(tǒng)約束條件中大部分方程均包含此項，因此必須密切關(guān)注tf變化，嘗試較大范圍的初值選取。

2）最小能量問題中以推力為參考量且假設(shè)飛艇浮力始終等于重力，故對于推力和飛艇空速的初值估計不宜過大；對于飛艇的放飛起點與目標(biāo)位置，存在較大范圍的經(jīng)度差和高度差，緯度不變，綜合考慮此情況中風(fēng)場作用可能強于推力的作用，故預(yù)估整個飛行過程中緯度不變，經(jīng)度和高度數(shù)值用簡單的線性插值作為初值；飛艇的高度變化率h＝Vsinγ且飛行過程中高度應(yīng)遞增，故航跡角應(yīng)選取正值才能實現(xiàn)升空。

通過采用2．4節(jié)提到的NLP問題的求解策略以及針對最小能量場景理論初值的猜測，較好地解決了該優(yōu)化問題的初值猜測問題。

3．2 仿真場景選取

飛艇的放飛場景中存在自西向東的較強風(fēng)場，為使飛艇消耗更少能量到達目標(biāo)位置，選取距離終點正西方向250km的位置作為放飛地點，飛行過程中飛艇始終順風(fēng)而行，其初值和終值如表2所示，具體飛艇尺寸參數(shù)見附錄B的表B1。

表2 仿真初值與終值Table 2Initial and final values of simulation

3．3 優(yōu)化數(shù)據(jù)分析

3．3．1 仿真時效性分析

仿真計算在PC機上進行，CPU為Inter?2．90GHz，基于MATLAB環(huán)境的Fmincon函數(shù)對該NLP問題進行求解。該優(yōu)化問題由于采用N＝10時獲得的可行解并插值得到N＝20的初值，然后依次增加節(jié)點數(shù)并將前一次可行解插值作為更多節(jié)點數(shù)的初值，保證了仿真的時效性。如表3所示即為不同節(jié)點數(shù)優(yōu)化所需時間。

在最小能量場景下，選取節(jié)點數(shù)N＝20時已經(jīng)能夠獲得較高精度的可行解，與N＝40，60對比，3條狀態(tài)曲線趨勢和節(jié)點數(shù)值誤差很小，通過一定插值處理后得到的初值已經(jīng)很接近于可行解，所以能夠快速的收斂，所用時間更少，雖然此時4個輸入量的曲線仍有較大范圍波動，但整體數(shù)值偏小，對狀態(tài)量幾乎無影響。

表3 不同節(jié)點所需時間Table 3 Running time for different numbers of nodes

3．3．2 能量最優(yōu)軌跡

仿真選取節(jié)點數(shù)N＝20，40，60進行對比分析，結(jié)果如圖6和圖7所示。由表2中給出的仿真初值可知，飛艇在放飛后到達目標(biāo)位置要完成高度方向約20km的高度差以及東西方向250km的經(jīng)度差（南北方向初值與終值相同且受到較弱的風(fēng)場影響），現(xiàn)就2個方面分析飛艇能量最優(yōu)軌跡的可行解：

1）高度方向。由圖6可知，整個飛行過程中飛艇的空速V 較小，最大值僅為5．06m／s，遠(yuǎn)低于優(yōu)化中設(shè)置的上界30m／s，這是由于在能量最優(yōu)軌跡中發(fā)動機推力T極?。ㄈ鐖D7所示），以較長的飛行時間為代價節(jié)省了能量，用時4．47h；但是航跡角γ卻幾乎全程為最大值30°，保證了飛艇的高度上升（h＝Vsinγ），整個飛行過程中高度變化率h雖然數(shù)值較?。ㄈ鐖D8所示），但是通過較長時間的積累作用完成了約20km的高度差。

2）東西方向。飛艇東西方向速度為VE＝Vcosγsinψ＋WE，其組成分別為空速分量Vcosγsinψ和東西風(fēng)場項WE，其數(shù)值大小如圖9所示，可以發(fā)現(xiàn)東西風(fēng)場項占有較大比重，飛艇在靜浮力的情況下主要借助于自西向東的常值風(fēng)場完成250km的經(jīng)度差。綜上所述，在靜浮力的條件下，飛艇在高度方向主要依靠較長時間的速度積累，在東西方向主要依靠東西向常值風(fēng)場，最終從放飛點到達目標(biāo)位置。同時由圖7可知能量最優(yōu)軌跡中發(fā)動機推力極小，風(fēng)場對于飛行軌跡的影響顯著，在實際飛行過程中由于風(fēng)場的復(fù)雜性和隨機性，會使得飛艇偏離預(yù)定的飛行軌跡而無法到達目標(biāo)位置，這也是后文研究大氣紊流對能量最優(yōu)軌跡影響的意義所在。

3．3．3 加速度項分析

3．4 模型驗證

為了驗證優(yōu)化結(jié)果的可行性，選取節(jié)點數(shù)目N＝60時控制輸入代入三自由度模型積分得到對應(yīng)的狀態(tài)參數(shù)曲線，與優(yōu)化所得最優(yōu)軌跡狀態(tài)參數(shù)曲線進行對比驗證，兩條曲線幾乎完全一致。

4 大氣紊流對飛艇最優(yōu)軌跡的影響

4．1 Dryden大氣紊流模型

作為巨型低速的浮空器，飛艇在飛行過程中受到風(fēng)的干擾作用較大。在實際放飛過程中，不僅會受到常值風(fēng)場的影響，更會因為大氣紊流的干擾嚴(yán)重影響飛行品質(zhì)。在飛行力學(xué)領(lǐng)域中研究飛行器對于大氣紊流的響應(yīng)時通常采用Dryden大氣紊流模型［19］，本文采用 MATLAB／Simulink中Dryden大氣紊流模塊［20］進行仿真試驗，其輸入?yún)?shù)為飛艇的空速V，高度h以及轉(zhuǎn)置矩陣R，輸出參數(shù)為3個方向的線速度和角速度擾動。根據(jù)之前的基本假設(shè)，飛艇的姿態(tài)系統(tǒng)可通過矢量發(fā)動機和舵面系統(tǒng)控制，即飛艇姿態(tài)穩(wěn)定可控，故只考慮大氣紊流產(chǎn)生的3個線速度擾動對于飛艇質(zhì)心位置的影響。

4．2 仿真分析

在3．4節(jié)的模型驗證中，可知能量最優(yōu)軌跡與數(shù)值積分曲線幾乎完全一致，故基于能量最優(yōu)軌跡分析飛艇對大氣紊流的響應(yīng)。

為便于數(shù)據(jù)對比分析，統(tǒng)計數(shù)據(jù)均選取最終高度h＝21 334m處數(shù)據(jù)進行采集（若最終時間未到達指定高度，則以當(dāng)前高度記錄），最終得到飛艇在無大氣紊流和受到不同大氣紊流干擾下的數(shù)據(jù)，詳細(xì)統(tǒng)計數(shù)據(jù)見附錄C。由于數(shù)據(jù)重合部分過多，故選取典型的4組場景與無大氣紊流干擾場景繪制圖形，如圖11所示。統(tǒng)計飛艇飛行過程中受到3個方向常值風(fēng)和大氣紊流疊加風(fēng)場的均值珚E、珡N和珡U，以及終端位置誤差Δl、Δλ和Δh，如附錄C中表C1所示。

假設(shè)飛艇在東西向飛行速度與風(fēng)速相同，則可用東西向風(fēng)場的均值來計算飛艇在時間t內(nèi)沿東西向飛行的距離，得出經(jīng)度計算誤差Δl ，同理可得緯度計算誤差Δ珓λ，均表示于附錄C的表C2中。

將東西向計算誤差與仿真誤差進行對比，幾乎每一組計算誤差Δ珓l都比仿真誤差Δl大0．1°數(shù)量級，這是由于飛艇在東西方向除了受到風(fēng)的影響，還有地球自轉(zhuǎn)項與反作用力項的綜合作用。其中大氣紊流3的情況下誤差較大，原因是該情況下7 000s之前大氣紊流產(chǎn)生高度方向的較大負(fù)值的線速度擾動，飛艇高度h幾乎不變，故受到的東西向常值風(fēng)較小，在7 000～16 000s內(nèi)由于航跡角γ急劇增加，高度h和東西向均值風(fēng)也隨之增大，但是飛行的時間t較短，因此計算誤差會相差較多。

由于南北方向的風(fēng)場較弱，飛行過程中緯度幾乎不變，但是能量最優(yōu)情況下仿真時間偏長，會有累計誤差。在未受到大氣紊流的影響時，主要通過航向角ψ控制使其回到緯度35°的位置。此處計算誤差Δ珘λ和仿真誤差Δλ之間的差異主要是由于以下兩個原因：

1）實際飛行過程不僅受到南北風(fēng)的影響，還有推力和反作用力項的作用。

2）仿真過程的誤差，驗證過程按照給定的控制輸入代入模型中，但是由于大氣紊流的干擾，各狀態(tài)量與理想情況均有差異，這種差異對風(fēng)速較小的南北向影響尤為顯著。

飛艇上升的高度項中含有飛艇空速分項Vsinγ和高度方向線速度擾動的疊加，因此對于高度h的分析較為復(fù)雜。一般情況下，若高度方向線速度擾動均值珡U為正值，則飛艇的高度變化劇烈，速率V會明顯增大，二者的結(jié)合使得飛艇在較短時間內(nèi)上升至高度h＝21 334m的位置，此時珡U起到正面主導(dǎo)作用（如大氣紊流2）；若珡U為較大負(fù)值，則飛艇的升空難以實現(xiàn)，因為飛艇的高度h增加主要依靠飛艇空速分項Vsinγ長時間的累計作用到達目標(biāo)點高度，較大負(fù)值的珡U與Vsinγ的疊加使飛艇上升困難甚至降落至地面，此時珡U起到負(fù)面主導(dǎo)作用（如大氣紊流1）；若珡U為負(fù)值但數(shù)值較小時，仍會對飛艇的高度h有一定的影響，且空速分項Vsinγ會因為3個方向的線速度擾動而變化，使得飛艇最終高度h由這3項共同決定，有可能提前到達目標(biāo)高度，也有可能低于目標(biāo)高度（如大氣紊流3和6）。

為了驗證以上分析結(jié)果，另選取10組大氣紊流干擾下的數(shù)據(jù)進行對比，如附錄C中表C3和表C4所示，驗證數(shù)據(jù)與分析結(jié)果體現(xiàn)了良好的一致性。

4．3 抵御大氣紊流干擾的策略

根據(jù)以上分析，大氣紊流對于飛艇的上升過程影響較大，為使飛艇能夠抵御大氣紊流干擾到達目標(biāo)位置，需要對飛艇3個方向的實時位置誤差進行控制。當(dāng)終端時刻的位置誤差趨近于0時，即認(rèn)為飛艇可有效抵御大氣紊流干擾?，F(xiàn)通過終端時刻的位置誤差控制闡述飛艇抵御大氣紊流干擾的策略：

1）東西向 誤差產(chǎn)生的主要原因是由于風(fēng)場隨機性，故需要在放飛飛艇之前對風(fēng)場進行實時觀測或者選擇風(fēng)場數(shù)據(jù)庫較大的場地進行放飛，當(dāng)風(fēng)場的數(shù)據(jù)足夠準(zhǔn)確時，可以通過控制飛艇飛行時間t減小位置誤差。

2）南北向 當(dāng)飛艇自西向東飛行可通過控制側(cè)向力FL（航向角ψ）來減小位置誤差。

3）高度向 飛艇的高度項h會受到空速V，航跡角γ，紊流干擾ΔU的高度耦合作用，可通過改變飛艇浮力大小控制高度h的誤差。

5 結(jié) 論

1）在求解非線性規(guī)劃問題中，通過采用NLP問題求解策略以及在具體優(yōu)化問題中的初值猜測方法，較好地解決了優(yōu)化中對于猜測初值敏感的問題。

2）在飛艇的能量最優(yōu)軌跡中，控制輸入推力T極小，在高度方向主要依靠長時間的速度積累，在東西方向主要依靠常值風(fēng)場的作用，以飛行較長時間為代價節(jié)省了能量，同時也說明了風(fēng)場對于飛艇軌跡的影響顯著，對加速度項的分析結(jié)果驗證了上述結(jié)論。

3）根據(jù)常值風(fēng)與大氣紊流疊加風(fēng)場均值計算飛艇終端誤差并與仿真誤差進行對比，找出兩者之間規(guī)律并分析存在差異的原因，給出了飛艇抵御大氣紊流的策略。

［1］ 李智斌，吳雷，張景瑞，等．平流層飛艇動力學(xué)與控制研究進展［J］．力學(xué)進展，2012，42（4）：483－493．LI Z B，WU L，ZHANG J R，et al．Review of dynamic and control of stratospheric airships［J］．Advances in Mechanics，2012，42（4）：483－493（in Chinese）．

［2］ LI Y W，NAHON M，SHARF I．Airship dynamics modeling：A literature review［J］．Progress in Aerospace Sciences，2011，47（3）：217－239．

［3］ 張禮學(xué)，王中偉．平流層飛艇環(huán)境適應(yīng)性評價模型［J］．航空學(xué)報，2013，34（4）：719－726．ZHANG L X，WANG Z W．Environmental adaptabiity evaluation model for stratospheric airships［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2013，34（4）：719－726（in Chinese）．

［4］ 郭建國，周軍．臨近空間低動態(tài)飛行器控制研究綜述［J］．航空學(xué)報，2014，35（2）：320－331．GUO J G，ZHOU J．Review of the control of low dynamic vehicles in near space［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（2）：320－331（in Chinese）．

［5］ LEE S，BANG H．Three－dimensional ascent trajectory optimization for stratospheric airship platforms in the jet stream［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30（5）：1341－1352．

［6］ LEE S，JANG J，RYU H，et al．Matching trajectory optimization and nonlinear tracking control for HALE［J］．Advances in Space Research，2014，54（9）：1870－1887．

［7］ MUELLER J B，ZHAO Y J，GARRARD W L．Optimal ascent trajectories for stratospheric airships using wind energy［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32（4）：1232－1245．

［8］ GUO X，ZHU M．Ascent trajectory optimization for stratospheric airships with thermal effects［J］．Advances in Space Research，2013，52（6）：1097－1110．

［9］ 趙震炎，肖業(yè)倫，施毅堅．Dryden大氣紊流模型的數(shù)字仿真技術(shù)［J］．航空學(xué)報，1986，7（5）：432－443．ZHAO Z Y，XIAO Y L，SHI Y J．A digital simulation technique for Dryden atmospheric turbulence model［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1986，7（5）：432－443（in Chinese）．

［10］ 吉洪蕾，陳仁良，李攀．適用于直升機飛行力學(xué)分析的三維空間大氣紊流模型［J］．航空學(xué)報，2014，35（7）：1825－1835．JI H L，CHEN R L，LI P．A model of three－dimensionalfield atmospheric turbulence for helicopter flight dynamics analysis［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（7）：1825－1835（in Chinese）．

［11］ DOGAN A，LEWIS T A．Flight data analysis and simulation of wind effects during aerial refueling［J］．Journal of Aircraft，2008，45（6）：2036－2048．

［12］ XING J J，TANG G J，CHENG W K，et al．Robust nonlinear control of spacecraft formation flying using constraint forces［J］．Science China Technological Sciences，2011，54（9）：2276－2282．

［13］ TUCKERMAN L B．Inertia factors of ellopsoids for use in airship design：NACA report No．210［R］．Washington，D．C．：NACA，1925．

［14］ MUELLER J B．Design and analysis of optimal ascent trajectories for stratospheric airships［D］．Minnesota：The University of Minnesota，2013．

［15］ 糜攀攀，孟軍輝，呂明云．浮升混合飛艇氣動性能及總體參數(shù)分析［J］．北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2015，41（6）：1108－1116．MI P P，MENG J H，LYU M Y．Aerodynamic and overall parameters analysis of buoyancy－lifting hybrid air－ship［J］．Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2015，41（6）：1108－1116（in Chinese）．

［16］ MUELLER J B，PALUSZEK M A，ZHAO Y J．Development of an aerodynamic model and control law design for a high altitude airship： AIAA－2004－6479［R］． Reston：AIAA，2004．

［17］ 雍恩米，陳磊，唐國金．飛行器軌跡優(yōu)化數(shù)值方法綜述［J］．宇航學(xué)報，2008，29（2）：397－406．YONG E M，CHEN L，TANG G J．A survey of numerical Methods for trajectory optimization of spacecraft［J］．Journal of Astronautics，2008，29（2）：397－406 （in Chinese）．

［18］ 張煜，張萬鵬，陳璟，等．基于Gauss偽譜法的UCAV對地攻擊武器投放軌跡規(guī)劃［J］．航空學(xué)報，2011，32（7）：1240－1251．ZHANG Y，ZHANG W P，CHEN J，et al．Air－to－ground weapon delivery trajectory planning for UCAVs using Gauss pseudospectral method［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32（7）：1240－1251（in Chinese）．

［19］ 肖業(yè)倫．Dryden大氣紊流頻譜的等價確定性函數(shù)及其在飛機相應(yīng)問題中的應(yīng)用［J］．航空學(xué)報，1986，7（2）：198－204．XIAO Y L．The equivalent deterministic function of the Dryden’s spectra of atmospheric turbulence and its application to the aircraft response problem［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1986，7（2）：198－204（in Chinese）．

［20］ CAMPBELL C W．A spatial model of wind shear and turbulence for flight simulation：NASA－TR－TP－2313［R］．Washington，D．C．：NASA，1984．

附錄A：

風(fēng)場梯度項和地球自轉(zhuǎn)項的具體表達式為

附錄B：

表B1 飛艇參數(shù)表Table B1 Parameters of airship

附錄C：

表C1 疊加風(fēng)場均值與終端位置誤差Table C1 Mean of complex wind and final position error

表C2 計算誤差與仿真誤差Table C2 Errors from calculation and simulation

表C3 驗證數(shù)據(jù) （1）Table C3 Examination data（1）

表C4 驗證數(shù)據(jù)（2）Table C4 Examination data（2）

Effect of Dryden atmospheric turbulence on minimum－energy trajectory of stratospheric airships

ZHENG Liming，XING Jianjun＊，CHEN Ziang，WANG Yi，YU Yang
School of Aeronautics and Astronautics，Central South University，Changsha 410083，China

This paper investigates the ascent optimal trajectory of stratospheric airship with constant wind and the effect of atmospheric turbulence on optimal trajectory．First，three－degree－of－freedom dynamics model of stratospheric airship was completed by forces analysis，considering the constant wind，earth rotation，mass rate and other factors，and then the variables were scaled to obtain a normalized system equation．Second，this problem of optimal trajectory was transformed into a problem of nonlinear programming by using the direct collocation method．Considering the minimum energy scenario，an appropriate solution for nonlinear programming problem was determined，and the feasible solution was obtained．Then the control history of solution was taken into the system equation to examine the feasibility and the acceleration components were analyzed．Finally，the Dryden atmospheric turbulence was introduced to the minimum energy scene，and then the data of computation and comparison analysis were obtained．By discussing the error between calculation and simulation，the relation of the error of final position and the mean of complex wind was found，and a strategy for resisting the interference of Dryden atmospheric turbulence for stratospheric airships was raised．

stratospheric airship；trajectory optimization；direct collocation method；nonlinear programming；Dryden atmospheric turbulence

2016－03－02；Revised：2016－04－13；Accepted：2016－05－22；Published online：2016－05－26 11：37

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160526．1137．004．html

s：China Postdoctoral Science Foundation（20080440217，200902666）

V19；V274

A

1000－6893（2017）01－120180－15

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0157

2016－03－02；退修日期：2016－04－13；錄用日期：2016－05－22；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016－05－26 11：37

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160526．1137．004．html

中國博士后科學(xué)基金 （20080440217，200902666）

＊通訊作者 ．E－mail：xjj＠csu．edu．cn

鄭黎明，杏建軍，陳子昂，等．Dryden型大氣紊流對平流層飛艇能量最優(yōu)軌跡影響［J］．航空學(xué)報，2017，38（1）：120180．ZHENG L M，XING J J，CHEN Z A，et al．Effect of Dryden atmospheric turbulence on minimum－energy trajectory of stratospheric airships［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：120180．

（責(zé)任編輯：鮑亞平）

＊Corresponding author．E－mail：xjj＠csu．edu．cn