余潤澤

摘 要 本文針對(duì)直桿的太陽影子的變化定位該直桿所處的地點(diǎn)和日期問題運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何關(guān)系，采用了最小二乘法、擬合、余弦定理、空間視角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等處理方法，求出物體所在地的經(jīng)緯度進(jìn)而得到物體所在的地點(diǎn)，并且判斷出拍攝物體的時(shí)間。

關(guān)鍵詞 太陽影子定位 最小二乘法 擬合 余弦定理 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

中圖分類號(hào)：0242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.10.019

The Study of Solar Shadow Location

YU Runze

（Northwestern Polytechnical University， Xian， Shaanxi 710072）

Abstract The change of positioning for straight bar sun shadow the straight pole location and date of the use of mathematical geometry， using the method of least squares fitting， and cosine theorem， space angle coordinate conversion method， calculate the object location of the longitude and the location of the object， and determine whether the object is captured the time.

Keywords solar shadow positioning； least square method； fitting； cosine theorem； coordinate transformation

1 數(shù)據(jù)的獲取

本文中物體太陽影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)以及視頻數(shù)據(jù)均來自2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題。

2 影子長度關(guān)于時(shí)間、經(jīng)緯度、時(shí)刻的變化規(guī)律

2.1 問題的研究

對(duì)于該問題，我們經(jīng)過查閱資料[1]了解到，影子長度與直桿自身長度、太陽高度角有關(guān)，而太陽高度角與太陽赤緯、直桿自身位置、時(shí)角有關(guān)，設(shè)太陽赤緯為，設(shè)直桿自身緯度為，太陽時(shí)角為，即從觀測點(diǎn)天球子午圈沿天赤道量至太陽所在時(shí)圈的角距離，與所處經(jīng)度有關(guān)。然后，我們確定，，這三個(gè)角度。

（1）直桿自身緯度 ：直桿自身緯度由自身位置決定，數(shù)值為所處位置與地心連線和赤道平面的夾角范圍為-90

（2）太陽赤緯：赤緯角以年為周期，范圍為-23 6'≤ ≤23 6'，因?yàn)槌嗑曋等兆兓苄。殚嗁Y料[2]得知，一年內(nèi)任何一天的赤緯角可以表示為

（3）太陽時(shí)角：從參考資料[3]中可知，某地正午12點(diǎn)的時(shí)候當(dāng)?shù)氐臅r(shí)角為0

假設(shè)直桿所在地區(qū)的時(shí)間為時(shí)對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間為，所在的經(jīng)度為，查閱知，北京經(jīng)度為東經(jīng)120

同時(shí)我們規(guī)定，東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)，因此時(shí)角為

然后，我們根據(jù)兩個(gè)向量來求太陽高度角，如圖1所示。

圖1中，為某地固定點(diǎn)所在的切平面的單位法向量，為入射太陽光所對(duì)應(yīng)的向量。設(shè)地球半徑為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為

我們通過高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可知

某一時(shí)刻的太陽光入射單位向量為

所以太陽高度角可以用如下式子表示

因此，設(shè)直桿的實(shí)際長度為，投影長度為，

2.2 問題的求解

我們以2015年10月22日北京時(shí)間9：00-15：00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒，東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子為例進(jìn)行分析（見圖2）。

從圖2中可以看出，北京時(shí)間12：15左右的時(shí)候，天安門的地方時(shí)為正午12：00，此時(shí)影子最短，所以會(huì)有北京時(shí)間9：00的影子長于北京時(shí)間15：00的影子。

影子長度隨直桿緯度的變化（見圖3）。同理影子長度隨直桿經(jīng)度的變化以及隨日期的變化和隨直桿長度的變化可以一并畫出，此處不再重復(fù)。根據(jù)式（8），很顯然，影子長度與直桿長度為正比關(guān)系，因此不再畫圖。

3 直桿位置與影子頂點(diǎn)坐標(biāo)、時(shí)間的關(guān)系研究

3.1 問題的研究

該問題要求根據(jù)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)的變化來確定直桿所處地點(diǎn)，并且在附件1中*，測量時(shí)間已知，所以，我們需要確定經(jīng)度和緯度來確定所處位置。對(duì)于經(jīng)度的定位，我們需要根據(jù)直桿所在地的地方時(shí)與北京時(shí)間的時(shí)差，利用太陽時(shí)角計(jì)算公式，確定物體所處地點(diǎn)的經(jīng)度值，計(jì)算時(shí)差，我們將影長數(shù)據(jù)和對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，推算出影子長度達(dá)到最小也就是當(dāng)?shù)貢r(shí)間為正午十二點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間；對(duì)于緯度的定位，我們使用太陽方位角來計(jì)算緯度。

查閱參考資料[4]可知，太陽方位角的計(jì)算公式為：

其中為當(dāng)日太陽直射點(diǎn)的緯度（太陽赤緯），我們可以通過日期求得太陽赤緯，結(jié)合太陽高度角得到該地的緯度。我們通過對(duì)影子的橫縱坐標(biāo)進(jìn)行曲線擬合以及對(duì)影長和北京時(shí)間進(jìn)行曲線擬合。

3.2 問題的求解

首先，對(duì)影子頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)進(jìn)行曲線擬合。其次，再對(duì)影子長度和北京時(shí)間進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)而我們得到最短的影子的北京時(shí)間為，即12：36時(shí)影子最短，北京時(shí)間12：36分時(shí)該地時(shí)間為12：00，影子最短為。根據(jù)式（3），我們可以得出經(jīng)度€啊H范？2：36分時(shí)的影子坐標(biāo)，我們有如下方程組成立

4 基于影子頂點(diǎn)坐標(biāo)條件下的定時(shí)定位

在這個(gè)問題中，經(jīng)度和日期是沒有關(guān)系的，所以我們?cè)俅问褂脝栴}二的模型，使用最小二乘法對(duì)影子頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)以及影子長度和時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行曲線擬合。

進(jìn)而我們得到最短的影子的北京時(shí)間為，即15：12時(shí)影子最短，北京時(shí)間15：12分時(shí)該地時(shí)間為12：00，影子最短為。根據(jù)式（3），我們可以得出經(jīng)度。

對(duì)于求的值，我們選取間隔一小時(shí)的兩組數(shù)據(jù)，那么太陽光角度轉(zhuǎn)15€埃莞郊？給出的坐標(biāo)值（-1.2352，173）和（-0.7227，0.4484），我們可以求得

將式（8）（9）（10）合并得到求解影子理論長度的公式為

帶入數(shù)據(jù)可得，即該數(shù)據(jù)取自7月18日，所以太陽直射點(diǎn)緯度為北緯21€？1'。利用該點(diǎn)的日期和經(jīng)度，我們求得該點(diǎn)的緯度為北緯64€？8'和南緯31€？1'。進(jìn)而求得直桿所在的位置。

*附件不在本文中列出。

參考文獻(xiàn)

[1] 李宗偉，肖興華.天體物理學(xué).北京：高等教育出版社，2000.

[2] 太陽赤緯，百度百科. http：//baike.baidu.com/view/213620.htm 7月15日.

[3] 時(shí)角，百度百科.http：//baike.baidu.com/view/823827.htm 7月15日.

[4] 太陽高度角，百度百科. http：//baike.baidu.com/view/86609.htm 7月15日.endprint