劉玉堂 辛祥鵬

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252059)

二次Riccati方程研究綜述①

劉玉堂 辛祥鵬

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252059)

本文首先介紹了Riccati方程的基本情況，包括研究的部分成果和重要意義. 然后按國內(nèi)和國際兩類文獻(xiàn)陳述了從2014年至今Riccaiti方程的研究進(jìn)展. 對(duì)這兩類文獻(xiàn)又從方程本身的性質(zhì)、可積性、精確解、數(shù)值解、定性理論和Riccati方程的應(yīng)用等角度分別介紹了國內(nèi)外的研究情況. 從中可以看出，求解仍是學(xué)者們研究Riccati方程工作的重點(diǎn)， 對(duì)它的應(yīng)用主要是尋求其他微分方程的精確解, 實(shí)際應(yīng)用方面的工作較少.

二次Riccati 方程，精確解，解的性質(zhì)，Riccati 方程的應(yīng)用

1 Riccati 方程的歷史發(fā)展

(1)

Riccati本人給出Riccati方程的求解方法，只要知道它的一個(gè)特解Y(x)，則引入z(x)=y(x)-Y(x)，可得Bernoulli方程

Riccati還給出，如果知道Riccati方程的兩個(gè)特解y1(x)，y2(x)，則由

及

可有

即通解可寫成

其中c是常數(shù)。注意到右方只與p及y1(x)、y2(x)有關(guān)，因此，如果還知第三個(gè)解y=y3(x)，

則立即可得通解形式為[2]

Liouville證明了Riccati方程一般沒有初等解法, 即由初等積分法不能得到由初等函數(shù)表示的解. 但是很多實(shí)際問題與理論問題又迫切需要這個(gè)方程的解,比如出現(xiàn)在共形變換和單復(fù)變函數(shù)理論中的三階施瓦茲微分方程, 描述淺水波運(yùn)動(dòng)的KdV方程, 科學(xué)與工程中的魯棒穩(wěn)定性、最優(yōu)控制、擴(kuò)散問題、隨機(jī)過程等. 可惜, 近三百年來都未能從根本上解決這個(gè)方程, 使它成為世界著名難題. 我國學(xué)者林文業(yè)在2010年出版的《現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子力學(xué)》中用獨(dú)創(chuàng)的多重積分迭代級(jí)數(shù)法徹底解決了這個(gè)難題.

對(duì)Riccati方程與二階線性微分方程之間的關(guān)系和它的解的研究一直是學(xué)者們關(guān)心的問題.E. 卡姆克指出Riccati方程的一些可積情況、解的個(gè)數(shù)、任意四個(gè)解的交比為任意常數(shù)等性質(zhì).一般Riccati方程的可積和已知一個(gè)特解的求法是M Kourensky(1929年), R.Lagrange(1938年), Chiellini(1939年), L. tchacaloff(1925年)等得到的結(jié)果. Riccati微分方程和各種重要類型的二階線性方程之間的密切關(guān)系, 整理的是M Kourensky(1926年)、D Mitrinovitch(1938年)、R Guigue(1938年)、E D Rainville(1936年)得到的結(jié)果。書中還列出了其他一些特殊形式的Riccati方程及其解[6]. 這些成果使人產(chǎn)生了它是藝術(shù)品之感，讓人眼花繚亂，但是實(shí)質(zhì)性的發(fā)展已經(jīng)很少[5].

國內(nèi)外對(duì)Riccati方程的推廣研究各有側(cè)重, 比如矩陣微分方程[7]、代數(shù)微分方程[8]、直至n階的高階微分方程[9]、分?jǐn)?shù)階微分方程[10,11]、隨機(jī)微分方程[12,13,14]、離散微分方程[15]、 模糊微分方程[16]、差分微分方程[17], 等等. 由于篇幅所限, 本文主要綜述2014年以來二次Riccati 微分方程的研究情況.

2 Riccati方程的研究現(xiàn)狀

本文按文獻(xiàn)來源分兩方面介紹二次Riccati 微分方程(為方便起見下文稱其為方程(1))的研究進(jìn)展.

2.1 國內(nèi)期刊作者對(duì)二次Riccati 方程的研究情況

國內(nèi)期刊作者對(duì)Riccati微分方程的研究有方程(1)的性質(zhì)、精確解、解的性質(zhì)、定性理論、相關(guān)應(yīng)用等, 下面分別介紹它們的研究現(xiàn)狀.

對(duì)方程(1)研究的第二個(gè)重要方面是尋求精確解.2014年, 李松樺等通過函數(shù)替換簡化了方程(1), 分析得到了一類特殊Riccati 方程的通解公式[25]. 2015年, 魏帥帥等通過齊次平衡原理和G′/G展開法對(duì)方程(1)進(jìn)行求解, 得到了滿足一定條件的G′/G解[26]. 何雨蔚依據(jù)幾種手段求得方程(1)特殊形式的若干解[27]. 張瑋瑋也研究了一類特殊的方程(1), 并給出它的通解[28].唐曉等利用積分因子法考察方程(1), 給出它有積分因子的充分必要條件[29]. 2016年, 王明建等研究復(fù)常數(shù)系數(shù)的方程(1), 給出了它存在通解和常數(shù)特解的充分必要條件[30]. 套格圖桑等通過研究孤子解的構(gòu)造特點(diǎn), 提出了復(fù)合型雙孤子解的構(gòu)造方法, 獲得常系數(shù)方程(1)的若干解、Backlund變換和非線性解的疊加公式[31].

有的學(xué)者研究了方程(1)解的性質(zhì). 2016年, 段峰求解方程(1)的三種特殊形式, 給出了這些解之間的三個(gè)關(guān)系式[32]. 2017年, 凌云等研究了一類不能用初等積分法求解的特殊方程(1)解的存在唯一性、解最大存在區(qū)間的有界性、積分曲線的單調(diào)性和凹凸性, 也求出了它的通解[33].

利用初等積分法求解常微分方程不奏效時(shí), 定性理論應(yīng)運(yùn)而生, 至今也不失為一種好方法. 2016年, 史正平考慮了二次項(xiàng)為1的方程(1),以臨界點(diǎn)為突破口通過Hill方程的特征值把Riccati 方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程, 解答了方程(1)周期解的分支問題[34].

根據(jù)輔助方程的解尋求其他方程的解是求解時(shí)常用的方法, 常稱為輔助方程(函數(shù))法. 此方法以Tanh函數(shù)展開法為代表, 輔助方程就是方程(1)或它的變形. 這是方程(1) 在數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要應(yīng)用. 1990年蘭慧彬、汪克林、樓森岳提出該方法, 后被Malfliet、Parkes和Duffy、范恩貴等學(xué)者推廣使用. 它在求數(shù)學(xué)物理方程的精確解方面發(fā)揮了重要作用, 豐富了微分方程的研究方法. 目前微分方程領(lǐng)域仍有學(xué)者在應(yīng)用方程(1)或其變形求解微分方程. 2012年，李曉琴利用方程(1)兩類特殊形式的求解公式給出了兩類二階非線性微分方程的通解[35].2014年, 伊麗娜等利用方程(1)解的非線性疊加公式獲得了帶強(qiáng)迫項(xiàng)變系數(shù)耦合KdV方程的無窮序列復(fù)合型類孤子解[36].2016年, 李迎娣利用方程(1)簡化形式的通積分給出了特定二階變系數(shù)常微分方程的通積分[37].

2.2 國際期刊作者對(duì)二次Riccati 方程的研究情況

從現(xiàn)有文獻(xiàn)看, 國際上對(duì)方程(1)的研究范圍更加廣泛：求方程(1)簡化形式的精確解、數(shù)值解、近似解、具有某些解的條件、研究解的性質(zhì)、研究解的物理意義、利用方程(1)(或其變形)的解求解其他方程、方程(1)的推廣、方程(1)在量子力學(xué)中的應(yīng)用.

2014年, 為求方程(1)的精確解, Lazhar Bougoffa提出了解決滿足特定條件方程(1)的直接方法：如果方程(1)的系數(shù)函數(shù)滿足一定關(guān)系, 使原方程成為變量分離方程, 就可以得到原方程的閉形式解[38]. 2015年, 樓森岳借助Riccati方程提出了求解非線性系統(tǒng)的相容Riccati展開法(CRE).文中將具有CRE的系統(tǒng)定義為可解CRE系統(tǒng). 文中的方法對(duì)于各種可積系統(tǒng), 包括KdV, KP, AKNS(還有非線性Schrondinger), sine-Gordon, Sawada-Kotera, Kaup-Kupershmidt, 修正非對(duì)稱性 Nizhnik-Novikov-Veselov, Broer-Kaup, 彌散水波方程和Burgers系統(tǒng)是普遍適用的[39].Ling Xu等重新研究了基于Riccati方程的映射法, 發(fā)現(xiàn)有些局域結(jié)構(gòu)的分離變量解沒有物理意義, 有些分離變量解是互相等價(jià)的[40].Zaid Odibat2017年也提出了一種以Riccati方程命名的方法以尋求非線性演化方程的行波解. 用此方法可獲得孤子解、扭結(jié)解和周期解, 解的形式有雙曲線函數(shù), 三角函數(shù)和有理函數(shù)[41]. Zaid Odibat在2016年還研究過分?jǐn)?shù)階的二次Riccati方程, 提出一種基于最優(yōu)同倫漸近法(OHAM).OHAM的優(yōu)點(diǎn)是可以通過只有一個(gè)輔助參數(shù)的同倫分析法(HAM)調(diào)整輔助參數(shù)、收斂速度和基數(shù)解的區(qū)域[42].Z.Navickas等提出了求解的逆平衡方法和直接平衡法, 可構(gòu)造n次多項(xiàng)式系數(shù)廣義Riccati方程的扭結(jié)孤立波解. 根據(jù)方程的參數(shù)和初始條件, 推出了方程存在扭結(jié)孤立波解的充分必要條件[43].

為求方程(1)的數(shù)值解,2016年,Gemechis File等為求二次Riccati方程的數(shù)值解引進(jìn)了四階Runge Kutta(RK4)法[45].2017年, Fateme Ghomanjani等介紹了一種求解帶初值的二次Riccati方程和Riccati差分微分方程的方法.在這種技術(shù)中用Bezier曲線方法被作為算法去尋找這兩個(gè)非線性方程的近似解[46]. Mehmet G. S. 2017年提出迭代再生核Hilbert空間法(IRKHSM)來獲得常系數(shù)和變系數(shù)Riccati方程的數(shù)值解.在內(nèi)積空間W2中通過再生核空間表示了Riccati方程的精確解,進(jìn)一步由截?cái)嗾归_得到了Riccati方程的數(shù)值解,并且數(shù)值解的誤差也單調(diào)減小,作者所提出的方法操作簡便而富有成效[47].

借助方程(1)及其推廣、變形尋求其他方程的精確解是Riccati方程應(yīng)用的一個(gè)重要方面.2016年, Boudoue Hubert Malwe等研究了非線性的傳輸線方程, 通過廣義Riccati方程映射法得到了方程的行波解、三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和有理函數(shù)解等[48].Hyunsoo Kim等首先建立了描述捕食者的時(shí)空擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)微分方程, 該方程由兩個(gè)耦合的非線性微分組成, 其中的獵物獸均增長率據(jù)Allee效應(yīng)而定.使用廣義Riccati方程法使作者得到了兩個(gè)具有不同波速的精確解[49]. A H. Arnous等也在2016年通過方程(1)簡化形式的Backlund變換等方法求解了Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程, 得到了它的孤子解、奇異周期解等[50]. 2017年, Yakada Salathiel等通過廣義Riccat方程映射法研究了描述離散電子晶格的Salerno方程, 在上、下禁制帶隙得到了它的超越函數(shù)解和三角函數(shù)解, 選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)時(shí)得到了扭結(jié)孤子解、反扭結(jié)孤解子、呼吸子解、暗孤子解和亮孤子解等[51].同年, Sirendaoreji 首先構(gòu)造了常系數(shù)Riccati方程的B?cklund變換獲得了解疊加公式, 從B?cklund變換得到了Riccati方程的兩分?jǐn)?shù)類解, 證明新舊解之間的等價(jià)關(guān)系, 提出了所謂的統(tǒng)一Riccati方程展開法, 由例子證實(shí)此方法可以得到非線性發(fā)展方程的無窮多精確行波解[52].Xiao-Jun Yang等提出了局部分?jǐn)?shù)階Riccati微分方程方法, 并用該方法求解了分?jǐn)?shù)階二維Burgers型方程(2DBE)得到了該方程的不可微精確行波解[53].

Riccati 微分方程在量子動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用, 很早就有學(xué)者研究. J. de Lucas等研究了有限維賦范分裂代數(shù)的Riccati方程, 證明有限維賦范分裂代數(shù)上的Riccati方程是歐幾里德空間上共形Riccati方程的特殊情況, 也可以認(rèn)為是與旋轉(zhuǎn)群同構(gòu)的矢量場李代數(shù)V的一條曲線. 將一種新Riccati方程, 即八元Riccati方程, 擴(kuò)展到八次投影線. 使用四元數(shù)Riccati方程研究1+1維下的四元數(shù)Schrodinger方程[55]. 2015年, Han Cruz等借助非線性復(fù)Riccati方程證明量子不確定性演化的敏感性是由初始條件的選擇造成的, 使得量子動(dòng)力學(xué)得以重新描述. 系統(tǒng)的敏感性是通過它高斯波包形式的精確解來證明的[56]. 2016年, Han Cruz等把以前處理敏感性的方法應(yīng)用于描述耗散量子系統(tǒng). 通過簡單的例子說明環(huán)境影響的效果：環(huán)境對(duì)量子不確定性的影響、相關(guān)函數(shù)、量子能貢獻(xiàn)和隧道效應(yīng)電流等[57]. 關(guān)于超對(duì)稱量子力學(xué)(SUSY QM),Witten 認(rèn)為研究量子力學(xué)因子分解法的兩個(gè)超對(duì)稱勢是耦合Riccati方程的解. 由此, SUSY QM 中超對(duì)稱的等譜勢問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)合Riccati方程解的復(fù)合問題. 2016年, Haret C. Rosu等研究了缺少線性項(xiàng)的耦合Riccati方程組. 薛定諤方程對(duì)應(yīng)的勢可以變換為Riccati方程. 單參數(shù)族等譜勢的研究中, 基態(tài)的積分因子對(duì)應(yīng)著Riccati方程的解. 利用一般Riccati方程的解, 通過定義Riccati方程解的復(fù)合公式得到了單參數(shù)等譜勢的廣義Mielnik結(jié)構(gòu). 用此方法研究了控制兩口井的勢參數(shù)時(shí)獲得了一個(gè)有趣的結(jié)果, 對(duì)取某些值的參數(shù)來說小井深度定位的概率高于大井的概率[58].

2.3 對(duì)二次Riccati方程研究的預(yù)測

國內(nèi)外學(xué)者用各種各樣的方法求解是對(duì)二次Riccati方程研究的主流，其中最多的是求它的精確解，但是實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展較少，其次是求它的數(shù)值解，求近似解的相當(dāng)少. 求數(shù)值解最常用方法是經(jīng)典的龍格庫塔法，其他學(xué)者以后再求二次Riccati方程的數(shù)值解時(shí)，可以針對(duì)它的特點(diǎn)用一些其他方法，精度可能也不會(huì)太差. 求二次Riccati方程的近似解也可以作為今后一個(gè)研究方向. 在微分方程發(fā)展早期，數(shù)學(xué)家龐加萊和李雅普諾夫分別提出了定性理論和穩(wěn)定性理論. 對(duì)二次Riccati方程的研究，學(xué)者們也可以嘗試這兩種理論. 有些物理學(xué)和工程學(xué)學(xué)者比較關(guān)心長時(shí)現(xiàn)象的研究，可以嘗試求解. 因?yàn)镽iccati方程與Schroding方程、Bessel方程等有聯(lián)系，可以研究Riccati方程的近似解或解釋解的物理意義.

3 結(jié)束語

綜上所述, 對(duì)方程(1)的求解仍然是學(xué)術(shù)界感興趣的問題, 國際期刊作者比國內(nèi)期刊作者研究的范圍更廣更深，把它作為輔助函數(shù)/方程求解其他微分方程是近代的主旋律. 在應(yīng)用方面, 國際期刊作者對(duì)Riccati方程研究較少, 國內(nèi)學(xué)者對(duì)Riccati方程應(yīng)用研究更少. 無論是國內(nèi)學(xué)者還是國際學(xué)者都需要加強(qiáng). 我國學(xué)者林文業(yè)關(guān)于Riccati方程所做的工作, 在國際學(xué)者的文獻(xiàn)中沒有引用, 說明并未引起足夠的重視.在二十世紀(jì)以前方程(1)的可積性和精確解已經(jīng)給出若干結(jié)果, 文中所引文獻(xiàn)少部分作品創(chuàng)新點(diǎn)較少.

2014年之前很多優(yōu)秀文獻(xiàn)沒有介紹，2014年以來的某些文獻(xiàn)也不了解, 使我們對(duì)進(jìn)展介紹不全面.限于篇幅, 本文對(duì)矩陣方程、代數(shù)方程等Riccati方程的推廣、對(duì)Riccati方程應(yīng)用中的最優(yōu)控制、穩(wěn)定性等討論較少.鑒于Riccati方程的重要性, 學(xué)者們一定會(huì)對(duì)它繼續(xù)研究、繼續(xù)關(guān)注.

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ReviewofQuadraticRiccatiEquation

LIU Yu-tang XIN Xiang-peng

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

A brief basic situation of the Riccati equation is introduced including some results and the significance of its research. The research progress of the Riccait equation is analyzed from domestic and international literatures from 2014 to the present. The research situation are expounded at home and abroad in the view of the nature of the equation itself, integrable properties, exact solutions, numerical solutions, the qualitative theory and the applications. It can be seen that the solutions is still the focus of the study of the quadratic Riccati equation, and its application is mainly to find exact solutions to the other differential equations, the practical application of the quadratic Riccati equation is rarely done.

the quadratic Riccati differential equation, exact solution, properties of solutions, applications of the Riccati equation

2017-04-20

國家青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11505090)；山東省自然科學(xué)基金中青年科學(xué)家獎(jiǎng)勵(lì)基金( BS2015SF009)資助

劉玉堂,E-mail：liuyutang2008@sina.com.

O175.2

A

1672-6634(2017)03-0021-05