孟韓， 黃海,*, 黃舟

1.北京航空航天大學 宇航學院， 北京 100083 2.中國工程物理研究院 總體工程研究所， 綿陽 621900

多自由度非高斯隨機振動控制

孟韓1， 黃海1,*, 黃舟2

1.北京航空航天大學 宇航學院， 北京 100083 2.中國工程物理研究院 總體工程研究所， 綿陽 621900

在振動試驗臺上進行多自由度(MDOF)隨機振動激勵時，傳統(tǒng)的控制方法生成的驅動信號及試驗臺的響應信號都是高斯信號。但真實的振動干擾信號多是超高斯的；而相比于高斯激勵，亞高斯激勵可降低驅動信號的最大幅值。為實現(xiàn)多自由度亞高斯和超高斯振動控制，提出一種多自由度非高斯隨機振動控制方法，該方法采用系統(tǒng)辨識解決系統(tǒng)耦合問題，而后通過選擇特殊的相位生成非高斯偽隨機驅動信號，再經過時域隨機化得到真隨機非高斯驅動信號?；贖exapod平臺的多自由度微振動試驗臺的亞高斯和超高斯實驗表明，在試驗臺的響應功率譜(PSD)滿足工程中常用的±3 dB 精度的同時，亞高斯驅動信號的最大幅值相比于高斯驅動信號的最大幅值降低了20%以上；超高斯響應信號的峭度與參考峭度的誤差在0.2之內。實驗結果驗證了所提方法的有效性。

非高斯隨機振動控制； 多自由度； 功率譜密度； 峭度； 相位選擇

.

振動試驗臺常被用于復現(xiàn)與振動干擾信號功率譜相同的振動信號，且傳統(tǒng)的隨機振動控制方法得到的試驗臺響應信號都服從高斯分布[1]。但實際環(huán)境的振動干擾信號往往呈現(xiàn)出超高斯分布的特性，如車輛運輸[2]、機載設備和風載[3-4]等振動環(huán)境。有計算結果表明，在同等量級下，超高斯振動環(huán)境中結構的應力大于高斯振動環(huán)境的[5]，因此采用高斯信號模擬實際振動干擾環(huán)境，將會導致較大的誤差[6]。所以在模擬隨機振動環(huán)境實驗時，試驗臺在復現(xiàn)功率譜的同時，還應能模擬干擾信號的超高斯分布特性。

在寬帶隨機模態(tài)測試實驗中，當驅動信號的最大值超過驅動設備的上限時，為保證設備的安全，傳統(tǒng)的處理方式是限制驅動信號幅值，即超過驅動設備上限的部分用上限值代替，但這種處理方法會影響驅動譜。為克服這個缺點，采用亞高斯信號作為驅動信號，在降低驅動信號的最大值的同時，不會改變驅動譜。與限制驅動信號幅值相比，采用亞高斯激勵更具優(yōu)越性[7]。

為實現(xiàn)非高斯控制，國內外的學者進行了一些研究。在國外，Winterstein[8]采用Hermit多項式函數(shù)將高斯信號轉換成非高斯信號。在1997年，Smallwood對Hermit多項式函數(shù)進行擴展，提出零記憶(Zero Memory Nonlinear，ZMNL)轉換函數(shù)[9]，并給出若干形式的函數(shù)[10]。這些轉換函數(shù)功能類似，都能夠將高斯信號轉換成具有指定峭度的非高斯信號，但該方法生成的非高斯信號的峭度有一定的限制。Hsueh和Hamernik[11]提出在選擇隨機信號的相位時，采用將-π～π間均勻分布的隨機相位的某段置零或將隨機相位的分布空間縮小的方法，該方法能夠得到具有單個峰的超高斯信號。Steinwolf[12-14]通過選擇特殊相位生成非高斯隨機信號，該方法只改變相位信息，不會改變信號功率譜特性，并將該方法應用于單自由度振動臺的亞高斯和超高斯控制。在國內，Xu等[4]提出了一種均方根(RMS)隨時間變化的非高斯信號生成方法，蔣瑜等[15]提出了一種幅值調制和相位重構的非高斯的數(shù)值模擬方法，陳家焱等[16]提出了基于泊松過程的超高斯隨機振動控制方法。國內外研究學者提出的這些方法主要針對單自由度非高斯隨機振動控制，對多自由度非高斯振動控制的研究還較少見。

陳懷海等[17]通過逆系統(tǒng)生成多輸入多輸出非高斯隨機驅動信號，并通過懸臂梁模型進行仿真驗證，但是該方法依賴于控制對象的理論逆模型，對于復雜的振動試驗臺，系統(tǒng)的理論逆模型很難得到，因此采用該方法進行多自由度振動臺的控制有一定的困難。2014版的美國標準MIL-STD-810G(w/Change-1)指出[18]，具有多軸同步振動測試的能力和非高斯的偏度和峭度的控制方法將推動實驗室振動測試的發(fā)展?；诖?，本文提出一種基于相位選擇的多自由度非高斯隨機振動控制方法，該方法在不改變試驗臺響應功率譜(PSD)的同時，還能夠使響應信號呈現(xiàn)出亞高斯和超高斯特性。最后，在基于Hexapod平臺的多自由度微振動試驗臺上進行多自由度亞高斯和超高斯隨機振動實驗，驗證該方法的有效性。

1 具有特定功率譜非高斯信號的生成

對于平穩(wěn)、各態(tài)遍歷的隨機信號x，其偏度Sx與峭度Kx分別定義為

(1)

式中：M3和M4分別為信號x的3階中心矩與4階中心矩；σx為x的標準差，且

(2)

其中：μx和P(x)分別為x的均值和概率密度。

對于均值為μ、標準差為σ的高斯信號xG，將其概率密度函數(shù)代入式(1)中，可得高斯信號xG的偏度SxG=0、峭度KxG=3。

當隨機信號不服從高斯分布時，就稱該信號為非高斯信號。在實際工程應用中，為方便計算，將偏度不為0或峭度不為3的隨機信號都稱為非高斯信號，并將峭度大于3的信號稱為超高斯信號，峭度小于3的信號稱為亞高斯信號。

考慮到實際的隨機振動干擾信號大多為0均值信號，且峭度能夠描述干擾信號的峰值特性，所以本文主要研究均值為0且峭度不為3的非高斯隨機振動控制。

在生成具有特定功率譜的高斯隨機信號時，先設定隨機信號x的功率譜Ux，然后取頻率間隔為Δf，將功率譜離散成Ux(nΔf)，再添加在-π～π間均勻分布的隨機相位φn，最后通過逆傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transform，IFFT)得到功率譜為Ux的時域偽隨機信號x。根據(jù)正弦信號的幅值與功率譜的關系，設將功率譜離散成N條譜線，第n條譜線在經過IFFT計算后，得到頻率為nΔf的正弦信號，因此信號x可以看成N個頻率間隔為Δf的正弦信號的和，即

(3)

將式(3)代入式(2)中后，并將得到的結果代入式(1)中，可求得[7]

(4)

文獻[7]對式(4)進行了詳細的分析，第1項為數(shù)值3；第2項為1/N的同階小量，當N取值很大時，該項可近似為0。在傳統(tǒng)的隨機信號生成方法中，式(4)中的相角φn在-π～π間均勻分布，因此式(4)中后5項的余弦函數(shù)值分布在-1～1之間，所以式(4)中的后5項求和的結果接近0，最終得到信號的峭度值Kx≈3，即選擇均勻分布的相位生成的隨機信號為高斯信號。

從以上分析可知，在隨機信號生成過程中，因相角φn的選取是隨機的，導致式(4)中的后5項相加接近0，但當相位φn按照一定的規(guī)則選擇后，得到的結果將大有不同。以式(4)第3項為例，在滿足條件j=k+2h,k≠h時，若φj-φk-2φh=0，余弦函數(shù)值為1，相反，若φj-φk-2φh=π，余弦函數(shù)值為-1。顯然，滿足φj-φk-2φh=0的相角對數(shù)越多，式(4)的結果越大，即得到的峭度Kx也越大；滿足φj-φk-2φh=π的相角對數(shù)越多，式(4)的結果越小，得到的峭度Kx也越小。因此通過選擇相位φn，可實現(xiàn)信號x的峭度Kx>3或Kx<3。

2 多自由度非高斯隨機控制策略

2.1 傳統(tǒng)多自由度隨機控制

因多輸入多輸出系統(tǒng)具有耦合性，往往難以控制，一般通過在驅動信號前乘上逆頻響矩陣的方法，實現(xiàn)解耦控制。Smallwood[19]從20世紀80年代開始逐漸建立起多自由度隨機振動控制理論，圖 1為傳統(tǒng)的多輸入多輸出控制流程圖。

對于m輸入m輸出隨機控制系統(tǒng)，首先根據(jù)實驗要求，設定參考譜矩陣R，然后將參考譜矩陣R進行Cholesky分解，得到下三角矩陣L，將矩陣L與系統(tǒng)逆頻響矩陣Q和單位隨機信號C相乘，得到頻域驅動信號D，即

圖1 傳統(tǒng)多自由度隨機控制流程
Fig.1 Flow chart of traditional multi-degree-of-freedom random control

D=QLC

(5)

式中：單位隨機信號C通過隨機相位生成，即

(6)

其中：i為虛數(shù)單位。在傳統(tǒng)的高斯隨機振動控制中，相位θ1,θ2,…,θm均在-π～π上均勻分布，且互不相關。

將式(5)進行逆傅里葉變換，然后再經過時域隨機化即可生成振動臺的時域驅動信號d。用d驅動試驗臺即可得到高斯響應信號y。在計算響應信號y的功率譜Syy后，與參考譜矩陣R進行對比，并通過差分修正方法修改相干矩陣L從而修正驅動信號D，實現(xiàn)功率譜的閉環(huán)控制。

2.2 多自由度非高斯隨機控制的實現(xiàn)

為實現(xiàn)多自由度非高斯隨機振動控制，先分析式(6)中的相位θ1,θ2,…,θm與響應信號的關系。

頻域驅動信號D經過振動臺后，可得頻域響應信號Y為

Y=PQLC

(7)

在滿足Q=P-1的條件下，可得

(8)

若實驗中的控制目標是響應信號Y1,Y2,…,Ym間的互譜為0，此時參考譜矩陣R為對角陣，由矩陣R分解得到的矩陣L也為對角陣，即Lpq=0(p≠q,p,q≤m)，式(8)可簡化為

(9)

式(9)給出響應信號的幅值譜信息，將式(9)代入式(4)中，可分別求得Y1,Y2,…,Ym對應的峭度KY1,KY2,…,KYm。根據(jù)1.2節(jié)中的分析，在傳統(tǒng)的隨機振動控制方法中，因θ1,θ2,…,θm在-π～π上均勻分布，所以傳統(tǒng)的多自由度隨機控制得到的響應信號都是高斯信號。

從式(9)還可看出，響應信號Y1,Y2,…,Ym只與對應的相位θ1,θ2,…,θm有關。因此可在傳統(tǒng)隨機振動控制方法的基礎之上，采用第1節(jié)中的相位選擇方法分別選擇相位θ1,θ2,…,θm實現(xiàn)響應信號Y1,Y2,…,Ym的峭度控制。

(10)

根據(jù)式(10)和式(4)，依次選擇特殊的相位θ1,θ2,…,θm，使Y1,Y2,…,Ym的峭度與參考峭度相同，即可實現(xiàn)多自由度非高斯控制。

2.3 峭度修正控制

考慮到偽隨機非高斯驅動信號在通過時域隨機化生成真隨機驅動信號時，信號的峭度會發(fā)生變化[20]，且在實際工程應用中，系統(tǒng)頻響矩陣P是通過系統(tǒng)辨識得到，由于辨識誤差的存在，求得的逆矩陣Q并不能完全滿足條件Q=P-1。因此在實際控制過程中，在得到非高斯響應信號y后，需要根據(jù)響應信號的峭度K1,K2,…,Km修正峭度KY1,KY2,…,KYm，以實現(xiàn)精確的峭度控制。

(11)

圖2給出了多自由度非高斯隨機控制的流程圖，與圖1相比，在生成單位隨機信號C時，先根據(jù)參考峭度選擇相位θ1,θ2,…,θm，再根據(jù)響應信號的峭度進行修正，并重新進行相位選擇。

圖2 多自由度非高斯隨機控制流程
Fig.2 Flow chart of multi-degree-of-freedom
non-Gaussian random control

3 基于Hexapod微振動試驗臺的多自由度非高斯控制實驗

3.1 實驗系統(tǒng)介紹

為驗證本文所提方法的有效性，在Hexapod微振動試驗臺[21]上進行多自由度振動實驗。實驗裝置如圖 3所示，實驗系統(tǒng)由上下臺面、音圈電機作動器、工業(yè)控制計算機和功率放大器等組成。

圖3 Hexapod微振動試驗系統(tǒng)
Fig.3 Hexapod-based micro vibration test system

實驗采用的實時控制軟件為基于Linux的RTAI實時操作系統(tǒng)，控制系統(tǒng)硬件回路包括工業(yè)控制計算機、D/A輸出板卡、功率放大器、音圈電機、加速度計和A/D輸入板卡。其中加速度計布置在上平臺上，通過剛體運動學關系，將線加速度信號轉換為振動臺的各個自由度的加速度信號。

3.2 實驗結果及分析

為證明方法的有效性，共進行3組實驗，分別為x向與y向(水平方向)的亞高斯、超高斯和高斯隨機實驗。3組實驗中試驗臺的參考功率譜相同，其中高斯隨機實驗作為亞高斯控制的對照實驗，在此不再詳細描述。實驗中采用順次激勵法進行系統(tǒng)辨識，并采用H1法處理辨識數(shù)據(jù)，最后通過組裝得到辨識系統(tǒng)的頻響矩陣。

3.2.1x向與y向的亞高斯隨機實驗

亞高斯隨機振動實驗參數(shù)如表1所示，表中x1PSD為x向的響應信號，x2PSD為y向的響應信號。

根據(jù)線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞關系可推測，當響應信號的峭度最小時，驅動信號的峭度達到最小值。因此為使驅動信號的峭度值最小，實驗中不對響應信號的峭度的下限進行約束，即響應信號的峭度越低越好。實驗得到的信號x1與x2的時域響應如圖 4所示，且響應信號的峭度分別為Kx1=2.24和Kx2=2.23，因此兩個響應信號都為亞高斯信號。

表1 亞高斯隨機實驗參數(shù)Table 1 Parameters of sub-Gaussian random test

計算兩個信號的功率譜如圖5所示，圖中紅色虛線為表1給出的參考譜曲線，藍色實線為實驗得到的響應功率譜，紅色實線為±3 dB的誤差帶。從圖中可看出，響應信號x1和x2的功率譜在參考譜的±3 dB的誤差帶內。

分別進行30 s的高斯和亞高斯控制實驗，并記錄實驗中6個音圈電機作動器的驅動信號用于分析和比較。表2給出了兩組實驗中驅動信號的RMS及驅動信號的最大值Max與RMS的比值。因亞高斯和超高斯實驗中的參考譜相同，采用的頻響矩陣也相同，因此驅動信號的功率譜也相同，由此得出兩組實驗的RMS值也相同。從表2中可以看出，亞高斯驅動信號的Max/RMS值明顯小于高斯驅動信號。

圖4 亞高斯響應信號x和x
Fig.4 Sub-Gaussian response signals x and x

圖5 亞高斯響應信號x和x的功率譜
Fig.5 PSD of sub-Gaussian response signals x and x

Table2RMSandMaxvaluesofeachactuator’sdrivesignalinsub-Gaussianexperiment

作動器編號123456RMS0．2420．2680．2450．2300．2310．188高斯Max/RMS4．144．434．644．254．614．13亞高斯Max/RMS2．873．293．413．373．172．83

從圖 4、圖5和表 2分析可知，在響應信號功率譜滿足工程中常用的±3 dB精度的條件下，相比于高斯隨機實驗，亞高斯各作動器的驅動信號的最大值減小20%以上。當高斯驅動信號的最大值超出驅動設備的上限時，采用亞高斯隨機激勵能夠在降低驅動信號最大值的同時，還能夠實現(xiàn)精確的功率譜控制。

3.2.2x向與y向的超高斯隨機實驗

第1次實驗得到的信號x1和x2如圖6所示，兩個信號的峭度分別為Kx1=5.01，Kx2=4.28。

為實現(xiàn)更精確的峭度控制，實驗中根據(jù)式(11)進行峭度迭代修正。迭代修正過程中，隨著迭代次數(shù)的增加，響應信號x1和x2的峭度變化如圖7所示，圖中第0次迭代為第1次實驗。隨著迭代次數(shù)的增加，響應信號的峭度逐漸與參考峭度值接近。在經過第4次迭代后，信號x1和x2的峭度與參考峭度值的誤差在0.2以內。

經過第4次峭度修正后，響應信號x1和x2的功率譜如圖8所示，圖中虛線為表3給出的參考譜曲線，藍色實線為實驗得到的系統(tǒng)響應功率譜，紅色實線為參考功率譜±3 dB的誤差帶。從圖8中可看出，響應信號功率譜在參考功率譜的±3 dB的誤差帶內。

表3 超高斯隨機實驗參數(shù)Table 3 Parameters of super-Gaussian random test

圖6 第1次實驗的超高斯響應信號x和x
Fig.6 Super-Gaussian response signals x and x of the first time experiment

圖7 迭代實驗中響應信號x和x的峭度
Fig.7 Kurtosis of response signals x and x in iteration experiment

圖8 超高斯響應信號x和x的功率譜
Fig.8 PSD of super-Gaussian response signals x and x

分析圖6～圖8可知，在響應信號功率譜滿足精度的條件下，超高斯隨機振動可以實現(xiàn)較為精確的多自由度峭度控制。

4 結 論

1) 在傳統(tǒng)解耦控制策略的基礎上，從理論上闡述了采用相位選擇法進行多自由度非高斯振動控制的可行性，并給出多自由度非高斯隨機控制策略及閉環(huán)峭度的修正公式。

2) 在Hexapod微振動試驗臺上進行了多自由度亞高斯和超高斯隨機振動控制實驗，在響應信號功率譜保持在參考譜±3 dB誤差帶內的同時，相比于高斯實驗，亞高斯驅動信號的最大幅值降低了20%以上；超高斯隨機響應信號的峭度與參考峭度值的誤差在0.2內，可更好地模擬實際的振動環(huán)境。實驗結果表明，文中所提方法具有一定的工程應用價值。

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(責任編輯： 徐曉)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161009.0936.002.html

Multi-degree-of-freedomnon-Gaussianrandomvibrationcontrol

MENGHan1,HUANGHai1,*,HUANGZhou2

1.SchoolofAstronautics,BeihangUniversity,Beijing100083,China2.InstituteofSystemsEngineering,ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621900,China

Thedrivesignalandtheresponsesignalgeneratedbytraditionalmulti-degree-of-freedom(MDOF)randomvibrationcontrolmethodarebothGaussiansignal.However,therealvibrationinterferencesignalisalwayssuper-Gaussian,whilesub-Gaussianrandomexcitationismainlyusedtoreducethemaximumamplitudeofthedrivesignal.ToachieveMDOFsub-Gaussianandsuper-Gaussianvibrationcontrol,anMDOFnon-Gaussianrandomvibrationcontrolmethodisproposed,whichsolvethecouplingproblemthroughsystemidentification,andselectspecialphasetogeneratenon-Gaussianpseudo-randomdrivesignal,andthenthepseudo-randomdrivesignalistransformedtorealrandomnon-Gaussiandrivesignalthroughtimedomainrandomization.Thesub-Gaussianandsuper-GaussianexperimentsbasedonaHexapod-basedMDOFmicrovibrationtestbedshowthattheresponsepowerspectraldensity(PSD)ofresponsesignalsobtainedbytheproposedmethodarelimitedto±3dBerrorbandofreferencePSD.ComparedtothatintheGaussianexperiment,thedrivesignalinthesub-Gaussianexperimentdecreasesbymorethan20%.Inthesuper-Gaussianexperiment,theerrorbetweenthekurtosisofresponsesignalandthereferencevalueiswithin0.2.Effectivenessoftheproposedmethodcanbevalidatedbytheexperimentresults.

non-Gaussianrandomvibrationcontrol;multi-degree-of-freedom;powerspectrumdensity;kurtosis;phaseselection

2016-05-20；Revised2016-07-06；Accepted2016-09-07；Publishedonline2016-10-090936

.E-mailhhuang@buaa.edu.cn

2016-05-20；退修日期2016-07-06；錄用日期2016-09-07； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-10-090936

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161009.0936.002.html

.E-mailhhuang@buaa.edu.cn

孟韓， 黃海， 黃舟． 多自由度非高斯隨機振動控制J． 航空學報,2017,38(2):220458.MENGH,HUANGH,HUANGZ.Multi-degree-of-freedomnon-GaussianrandomvibrationcontrolJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(2):220458.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0253

V416.5; TB533

A

1000-6893(2017)02-220458-08