郭建國， 韓拓， 周軍， 王國慶

1.西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所， 西安 710072 2.中國運載火箭技術(shù)研究院 研發(fā)中心， 北京 100076

基于終端角度約束的二階滑模制導(dǎo)律設(shè)計

郭建國1,*， 韓拓1， 周軍1， 王國慶2

1.西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所， 西安 710072 2.中國運載火箭技術(shù)研究院 研發(fā)中心， 北京 100076

針對空地導(dǎo)彈具有終端角度約束條件的制導(dǎo)律設(shè)計問題，提出了一種在有限時間內(nèi)穩(wěn)定的新型二階滑模制導(dǎo)律。首先，在彈目相對運動學(xué)模型基礎(chǔ)上，將終端彈道傾角約束轉(zhuǎn)化為終端視線(LOS)角度約束，作為制導(dǎo)系統(tǒng)的終端控制目標(biāo)。其次，通過選取一種新型二階滑模面，結(jié)合螺旋控制算法的思想，設(shè)計了一種二階滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，來抑制系統(tǒng)中的不確定性因素，從而滿足零化視線角速率和制導(dǎo)系統(tǒng)的終端角度約束條件的要求。采用一種新的Lyapunov函數(shù)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，嚴(yán)格證明了制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的穩(wěn)定性。最后，對空地導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字仿真，通過和一階傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律以及基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)律進(jìn)行對比分析，驗證了所設(shè)計的制導(dǎo)律在保證制導(dǎo)精度的同時，更能在有限時間內(nèi)提高終端約束角度的精度，并且避免了超螺旋算法中參數(shù)選取較多的問題。

二階滑模； 制導(dǎo)律； 螺旋控制； 角度約束； 有限時間穩(wěn)定

制導(dǎo)律設(shè)計是空地導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的重要技術(shù)環(huán)節(jié)，除了要達(dá)到一定的制導(dǎo)精度，所設(shè)計的制導(dǎo)律還要滿足視線角速率和角度約束在有限時間內(nèi)收斂的要求。由于傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律往往不能達(dá)到令人滿意的效果，并且已經(jīng)不能適應(yīng)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)展的要求，因此采用先進(jìn)控制理論設(shè)計具有終端角度約束制導(dǎo)律的方法得到了迅速發(fā)展。文獻(xiàn)[1]基于線性二次型次優(yōu)控制方法，針對地面機動目標(biāo)設(shè)計了終端角度約束制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[2]提出了偏置比例導(dǎo)引律，但是會帶來較大的角度約束誤差。文獻(xiàn)[3-4]針對無機動的目標(biāo)設(shè)計了具有終端角度約束的比例制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[5-9]設(shè)計了基于最優(yōu)控制方法的終端角度約束制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[10]針對機動目標(biāo)設(shè)計了具有終端角度約束的幾何制導(dǎo)律，但是需要準(zhǔn)確已知目標(biāo)加速度。此外，文獻(xiàn)[11-13]基于變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計了終端角度約束制導(dǎo)律，在保證角度約束在有限時間內(nèi)收斂的同時，能夠準(zhǔn)確命中靜止目標(biāo)或機動目標(biāo)，但是由于非線性切換函數(shù)的存在，使這些制導(dǎo)律都存在抖振問題。為此，文獻(xiàn)[14]在設(shè)計相應(yīng)的滑模制導(dǎo)律時，采用飽和函數(shù)替代非線性切換函數(shù)，以達(dá)到削弱抖振的目的。文獻(xiàn)[15-16]提出了具有終端角度約束的二階滑模制導(dǎo)律，保證了制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂，并消除了抖振問題；文獻(xiàn)[17]設(shè)計了基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)律，但是參數(shù)選取較多，并且未給出收斂時間公式。

由于二階滑模變結(jié)構(gòu)控制理論具有算法簡單、易于設(shè)計與實現(xiàn)、避免抖振、魯棒性強、有限時間收斂等優(yōu)點[18-19]，文獻(xiàn)[19-20]分別提出了基于超螺旋算法和螺旋算法的二階滑模控制方法。其中，兩種算法主要存在以下幾點不同之處[21]：① 表達(dá)形式不同，螺旋算法中同時含有滑模變量和滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)，而超螺旋算法中并不含有滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)；② 使用條件不同，螺旋算法是應(yīng)用在相對階等于1或者2的系統(tǒng)，而超螺旋算法只能應(yīng)用在相對階等于1的系統(tǒng)；③ 穩(wěn)定性證明方法不同，針對螺旋算法和超螺旋算法的穩(wěn)定性問題，文獻(xiàn)[22-23]基于Lyapunov函數(shù)證明了超螺旋算法的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[24]進(jìn)一步給出了超螺旋算法的有限收斂時間。由于超螺旋算法的穩(wěn)定性證明是在系統(tǒng)相對階為1的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的，這使得超螺旋算法的Lyapunov穩(wěn)定性分析方法無法應(yīng)用在螺旋算法的穩(wěn)定性證明之中。因此，針對螺旋算法的穩(wěn)定性問題，文獻(xiàn)[19]基于齊次理論證明了螺旋算法的有限時間穩(wěn)定性，但是證明過程較為復(fù)雜。

基于以上不同之處，本文在結(jié)合螺旋算法的思想[25]、基于PID滑模面[26]設(shè)計二階滑模制導(dǎo)律時，利用Lyapunov函數(shù)的方法證明了螺旋算法的有限時間穩(wěn)定性，證明方法較為簡單，并給出了有限收斂時間表達(dá)式，同時解決了終端角度約束的有限時間收斂問題。該方法不僅避免了二階滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計中對視線角三次求導(dǎo)的問題，還提高了滑模收斂速度，也實現(xiàn)了制導(dǎo)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，同時克服了制導(dǎo)系統(tǒng)的不確定性和外部干擾等因素的影響。

在研究該問題時，基于彈目相對運動學(xué)關(guān)系，將終端彈道傾角約束轉(zhuǎn)化為終端視線(LOS)角度約束，作為制導(dǎo)系統(tǒng)的控制目標(biāo)。選取一種新型二階滑模面，結(jié)合螺旋算法的思想，設(shè)計了空地導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的末制導(dǎo)律。然后，利用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的穩(wěn)定性，并給出了收斂時間公式。最后，通過數(shù)字仿真對所設(shè)計方案進(jìn)行了驗證，并與一階傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律和基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)律進(jìn)行了仿真對比。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的制導(dǎo)律能夠迅速命中目標(biāo)，滿足約束條件，具有較強的魯棒特性和良好的動態(tài)性能品質(zhì)。

本文的研究工作具有以下幾個創(chuàng)新點：

1) 提出了一種基于PID滑模面的新型二階滑模制導(dǎo)律，避免了二階滑模制導(dǎo)律求解過程中對視線角進(jìn)行三次求導(dǎo)的問題。

2) 針對螺旋算法的穩(wěn)定性問題，利用Lyapunov函數(shù)的方法證明了系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性。

3) 給出了收斂時間的求解方法，解決了終端角度約束在有限時間內(nèi)收斂的問題。

1 彈目相對運動數(shù)學(xué)模型

考慮在末制導(dǎo)過程中，空地導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運動學(xué)關(guān)系如圖1所示。圖中：OXYZ為慣性坐標(biāo)系，OXTYTZT為導(dǎo)彈末制導(dǎo)過程的視線坐標(biāo)系，M表示導(dǎo)彈，T表示目標(biāo)。參考文獻(xiàn)[27]的內(nèi)容，可以得到彈目相對運動模型為

(1)

(2)

(3)

式中：amx、amy、amz與atx、aty、atz分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)在視線坐標(biāo)系OXTYTZT上的加速度分量；R為彈目相對距離；q和θ分別為彈目視線角和導(dǎo)彈彈道傾角。

為了簡化制導(dǎo)律設(shè)計，可以將三維相對運動數(shù)學(xué)模型分解為縱向平面模型和側(cè)向平面模型，即式(2)和式(3)。本文研究的是變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，不失一般性，選取縱向平面進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計。根據(jù)式(2)可得到如下數(shù)學(xué)模型：

(4)

式中：

圖1 彈目相對運動示意圖
Fig.1 Sketch diagram of missile-target relative motion

由于導(dǎo)彈測量所得的角度和角速度等數(shù)值的有界性，可以將d看作有界干擾項，即|d|≤σ，σ為大于零的常數(shù)。

在導(dǎo)彈精確打擊地面目標(biāo)時，要求導(dǎo)彈在命中點的彈道傾角達(dá)到期望的角度θf。設(shè)命中點處期望的視線角為qf，在目標(biāo)不機動情況下，有[28]

Vtsin(θt-qf)-Vmsin(θm-qf)=0

(5)

式中：Vt和Vm分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈的速度；θt和θm分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈的彈道傾角，并且滿足|θt-qf|<π/2。當(dāng)忽略地面目標(biāo)速度，即Vt=0 m/s時，由式(5)可知，

sin(θm-qf)=0

因此，終端角度約束為：當(dāng)qf=θf時，θm=θf。

2 二階滑模制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 二階滑模制導(dǎo)律

(6)

式中：kp、ki、kd和β均為正常數(shù)，β表示s(t)的衰減速率；e(t)=q-qf。s(t)的表達(dá)式為

s=R(q-qf)

(7)

為了得到二階滑模面的表達(dá)式，將式(6)兩端分別對時間求一次導(dǎo)數(shù)，可以得到

(8)

結(jié)合式(4)，并展開式(8)右邊可得到

kdax2+bu(t)+d

(9)

選取等效制導(dǎo)律為

(10)

(11)

式中：kdd≤ ， 為大于零的常數(shù)。

如果式(11)中的kdd=0，則可以得到理想的誤差模型為

(12)

然而，實際制導(dǎo)系統(tǒng)中總是存在不確定性和外部干擾，使誤差e(t)無法為零。為了抵消干擾，采用扭曲制導(dǎo)律如式(13)所示[25]：

(13)

式中：k1和k2均為大于零的常數(shù)，且k1、k2滿足：

(14)

綜合式(10)的等效制導(dǎo)律和式(13)的扭曲制導(dǎo)律，可以得到二階滑模制導(dǎo)律為

u(t)=ueq(t)+usw(t)=

(15)

2.2 有限時間穩(wěn)定性證明

將式(15)代入式(9)，得到

(16)

為了證明穩(wěn)定性，令

則式(16)可以轉(zhuǎn)化為

(17)

選取Lyapunov函數(shù)[31]為

V(z,y)=

(18)

式中：m>0；γ的表達(dá)式為

γ=k1+k2sgn(zy)- sgn(zy)

(19)

根據(jù)式(18)中V(0,y)和V(z,0)的表達(dá)式可知

(20)

則根據(jù)式(20)進(jìn)一步可以得到

(21)

引理1當(dāng)k1和k2滿足式(14)的條件，且m滿足式(21)的關(guān)系式時，有

(22)

證明根據(jù)式(18)可以得到

(23)

(24)

結(jié)合式(21)和式(24)可得

(25)

當(dāng)zy>0時，有γ1=k1+k2- ，可以得到

(26)

當(dāng)zy<0時，有γ2=k1-k2+ ，可以得到

(27)

結(jié)合式(26)和式(27)，可得

(28)

將γ1和γ2代入式(28)，則有

由式(21)可知，當(dāng)zy>0時，有

(29)

當(dāng)zy<0時，有

(30)

顯然，通過式(28)～式(30)，以及γ>0恒成立，可以得到l0>0,zy>0;l0>0,zy<0，即

l0>0,zy≠0

k1+k2sgn(zy)-ηsgn(z)

(31)

且k1和k2滿足式(14)的條件時，則有式(32)所示的不等式恒成立。

(32)

證明分別討論zy>0和zy<0的情況：

1) 當(dāng)zy>0時，分為兩種情況進(jìn)行討論，即

a) 當(dāng)z>0,y>0時，有

b) 當(dāng)z<0,y<0時，有

2) 當(dāng)zy<0時，分為兩種情況進(jìn)行討論，即

a) 當(dāng)z>0,y<0時，有

由于|η|≤ ，則可以得到

b) 當(dāng)z<0,y>0時，有

由于|η|≤ ，同樣可以得到

定理1當(dāng)k1和k2滿足式(14)的條件時，選取如式(18)所示的Lyapunov函數(shù)，γ、l、l0和m分別滿足式(19)～式(22)，則系統(tǒng)方程式(17)是有限時間內(nèi)穩(wěn)定的，即滿足

且有限到達(dá)時間為

證明當(dāng)zy≠0時，易知V(z,y)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，因此，對V(z,y)進(jìn)行求導(dǎo)，得到

(33)

(34)

根據(jù)式(32)所示的不等式關(guān)系，容易得到：

當(dāng)zy>0時，有

(35)

當(dāng)zy<0時，有

(36)

由于

(37)

則根據(jù)式(34)～式(37)，可以得到

(38)

將式(38)改寫為

(39)

求解后可以得出

(40)

式中：V(z(0),y(0))為Lyapunov函數(shù)在系統(tǒng)初始狀態(tài)下的取值。

注1由于系統(tǒng)延遲因素，式(13)所提出的扭曲制導(dǎo)律會導(dǎo)致小幅高頻震顫，從而影響制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，將式(13)替換為式(41)，即

usw(t)=-(kdb)-1(k1tanh(s(t))+

(41)

式中：tanh(·)表示雙曲正切函數(shù)。

注2對于實際制導(dǎo)系統(tǒng)，只要末制導(dǎo)的剩余時間能夠滿足式(40)所示的有限時間，就可保證導(dǎo)彈末制導(dǎo)系統(tǒng)的有效性。

注3文獻(xiàn)[17]所提出的基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)律，參數(shù)選取繁多(15個參數(shù))，而本文只需要選取6個參數(shù)。

注4在設(shè)計二階滑模制導(dǎo)律時，也可以去掉PID滑模面中的積分補償項，基于PD滑模面來設(shè)計二階滑模面，則得到的二階滑模面和制導(dǎo)律形式更為簡單，相應(yīng)的式(6)和式(15)可以改寫為

(42)

u(t)=ueq(t)+usw(t)=

(43)

3 仿真分析

以某型空地導(dǎo)彈為研究對象進(jìn)行制導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)仿真研究，通過和一階傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[32]、基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)律[17]進(jìn)行仿真對比，驗證本文所提出的二階滑模制導(dǎo)律的有效性。

考慮初始末制導(dǎo)的彈目相對距離為2 500 m，導(dǎo)彈飛行馬赫數(shù)Ma=0.7；目標(biāo)為地面固定目標(biāo)；導(dǎo)彈初始彈道傾角為0°，期望的命中點時刻彈道傾角為-30°，導(dǎo)彈最大過載為5g；本文所設(shè)計的二階滑模制導(dǎo)律仿真參數(shù)選取為

kp=2，kd=0.2，ki=5

k1=0.01，k2=0.001，β=0.32

通過MATLAB仿真軟件進(jìn)行數(shù)值計算，經(jīng)過500次蒙特卡羅法仿真，得到3種制導(dǎo)律仿真結(jié)果對比如圖2所示，圖2(a)～圖2(c)分別為視線角速率、視線角以及彈道傾角的變化對比曲線。圖中：CSM表示一階傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律；ST-2SM表示基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)律；N-2SM表示本文所設(shè)計的新型二階滑模制導(dǎo)律。

圖2 3種制導(dǎo)方法的仿真結(jié)果對比
Fig.2 Comparison of simulation results of three different guidance methods

由圖2(a)可知，本文設(shè)計的新型二階滑模制導(dǎo)方法所得的視線角速率能夠快速收斂到零，收斂速度最快，收斂時間約為2.32 s，基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)方法所得的收斂時間約為4.98 s，而一階傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)方法所得到的收斂速度最慢，收斂時間約為5.95 s。由此可以看出，采用本文設(shè)計的新型二階滑模制導(dǎo)方法所得的結(jié)果最好，收斂速度較其他兩種方法有較大的提升。

由圖2(b)和圖2(c)可知，采用本文設(shè)計的新型二階滑模制導(dǎo)方法所得的彈目視線角和彈道傾角均能夠快速趨近于-30°，并且穩(wěn)態(tài)誤差基本為零；基于超螺旋算法的二階滑模制導(dǎo)方法所得的視線角和彈道傾角收斂速度較慢，穩(wěn)態(tài)誤差較大，視線角和彈道傾角分別與終端角度期望值誤差約為0.32°和1.43°；而一階傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)方法所得視線角和彈道傾角收斂速度最慢，穩(wěn)態(tài)誤差也最大，視線角和彈道傾角分別與終端角度期望值誤差約為0.74°和1.96°。可以看出，新型二階滑模制導(dǎo)方法較其他兩種方法來說，能夠更好地滿足終端角度約束。

圖3 滑模面s(t)及其一階導(dǎo)數(shù)的變化曲線Fig.3 Variation curves of sliding-mode surface s(t) and its first-order derivative (t)

圖4 導(dǎo)彈制導(dǎo)律變化曲線
Fig.4 Variation curve of missile guidance law

圖5 PID與PD滑模面所得制導(dǎo)效果對比
Fig.5 Comparison of guidance performances under PID/PD sliding-mode surfaces

由圖5可以看出，兩種滑模面所得制導(dǎo)律的制導(dǎo)效果差別并不大，視線角均能夠快速收斂并穩(wěn)定在期望的終端約束角度，但是PD滑模面所得視線角出現(xiàn)了一定的超調(diào)量(約0.84°)，顯然，這是由于滑模面式(42)中缺少對誤差的積分補償項所導(dǎo)致的。因此，PID型滑模面中的積分項在滿足落角控制精度的同時，還能夠起到減小超調(diào)量的作用。

為了說明本文制導(dǎo)律的魯棒性，下面針對具有機動加速度的目標(biāo)進(jìn)行仿真驗證。除此之外，還考慮了導(dǎo)彈的視線轉(zhuǎn)率測量誤差給制導(dǎo)系統(tǒng)帶來的不確定性，這里視其為一正態(tài)分布的隨機干擾量。具體的目標(biāo)機動加速度和視線轉(zhuǎn)率隨機干擾量如下：

仿真得出隨機干擾量、彈目運動軌跡和視線角的變化曲線如圖6～圖9所示。

通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，在考慮制導(dǎo)系統(tǒng)不確定性和目標(biāo)機動加速度時，所設(shè)計的二階滑模制導(dǎo)律能夠較好地滿足制導(dǎo)要求，使導(dǎo)彈有效命中目標(biāo)，視線角也能快速收斂到期望的終端約束角度。

圖6 隨機干擾量變化特性
Fig.6 Various characteristics of random disturbance

圖7 彈目運動軌跡
Fig.7 Moving trajectories of missile and target

圖8 有無隨機干擾時的視線角變化曲線對比
Fig.8 Comparison of variation curves of LOS angle with or without random disturbance

圖9 有隨機干擾時PID與PD滑模面所得視線角對比
Fig.9 Comparison of LOS angle under PID/PD sliding-mode surfaces with random disturbance

圖8給出了未考慮隨機干擾和考慮隨機干擾下的視線角對比特性。從圖中可以看出，兩者的變化特性差別不大，其中，考慮隨機干擾量的視線角曲線，最終以小幅振蕩的形式穩(wěn)定在期望的約束角度附近。圖9為在考慮隨機干擾時，分別采用PID和PD滑模制導(dǎo)律得到的視線角變化特性。仿真結(jié)果進(jìn)一步驗證了PID型滑模面在滿足落角控制精度的同時，還能夠起到減小超調(diào)量的作用。

4 結(jié) 論

1) 本文提出了一種新的具有終端角度約束的二階滑模制導(dǎo)律，能夠保證制導(dǎo)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性和終端角度約束的要求，并具有較強的魯棒性。

2) 結(jié)合PID滑模面與螺旋算法設(shè)計制導(dǎo)律時，需要選擇合適的Lyapunov函數(shù)，以證明二階滑模制導(dǎo)律的有限時間穩(wěn)定性。

3) 由于制導(dǎo)系統(tǒng)存在模型不確定性和外界干擾，會造成終端角度約束的控制精度降低，這就需要具有強魯棒性的螺旋算法來消除干擾帶來的影響。同時，螺旋算法的快速收斂特性和避免抖振的優(yōu)點，使得制導(dǎo)系統(tǒng)在保證命中精度的同時，提高了終端角度約束的控制精度。

[1] KIM M, KELLY V G. Terminal guidance for impact attitude angle constrained flight trajectories[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1973, 9(6): 852-859.

[2] BYUNG S K, JANG G L, HYUNG S K. Biased PNG law for impact with angular constraint[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1998, 34(1): 277-288.

[3] RATNOO A, GHOSE D. Impact angle constrained interception of stationary targets[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008, 31(6): 1816-1821.

[4] RATNOO A, GHOSE D. Impact angle constrained interception of nonstationary nonmaneuvering targets[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010, 33(1): 269-275.

[5] CHERRY G. A general explicit optimizing guidance law for rocket-propelled spacecraft[C]//ION Astrodynamics, Guidance and Control Conference. Reston: AIAA, 1964: 638.

[6] RYOO C K, CHO H, TAHK M J. Optimal guidance laws with terminal impact angle constraint[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(4): 724-732.

[7] RATNOO A, GHOSE D. State dependent riccati equation based guidance law for impact angle constrained trajectories[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2009, 32(1): 320-326.

[8] 張友安, 黃詰, 孫陽平. 帶有落角約束的一般加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律[J]. 航空學(xué)報, 2014, 35(3): 848-856.

ZHANG Y A, HUANG J, SUN Y P. Generalized weighted optimal guidance laws with impact angle constraints[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(3): 848-856 (in Chinese).

[9] ZHANG Q Z, WANG Z B, TAO F. Optimal guidance law design for impact with terminal angle of attack constraint[J]. Optik—International Journal for Light and Electron Optics, 2014, 125(1): 243-251.

[10] IAN R M, ANDREY V S. Circular navigation guidance law for precision missile/target engagements[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(2): 314-320.

[11] ZHANG Z X, LI S H, LUO S. Terminal guidance laws of missile based on ISMC and NDOB with impact angle constraint[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 31(1): 30-41.

[12] ZHAO Y, SHENG Y Z, LIU X D. Sliding mode control based guidance law with impact angle constraint[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(1): 145-152.

[13] KUMAR S R, RAO S, GHOSE D. Nonsingular terminal sliding mode guidance with impact angle constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(4): 214-223.

[14] WANG X H, WANG J Z. Partial integrated guidance and control with impact angle constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 38(5): 925-936.

[15] YURI B S, IIYA A S, ARIE L. Smooth second-order sliding mdoes: Missile guidance application[J]. Automatica, 2007, 43(8): 1470-1476.

[16] HE S M, LIN D F, WANG J. Continuous second-order sliding mode based impact angle guidance law[J]. Aerospace Science and Technology, 2015, 41: 199-208.

[17] 竇榮斌, 張科. 基于二階滑模的再入飛行器末制導(dǎo)律研究[J]. 宇航學(xué)報, 2011, 32(10): 2109-2114.

DOU R B, ZHANG K. Research on terminal guidance for reentry vehicle based on second-order sliding mode control[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(10): 2109-2114 (in Chinese).

[18] ARIE L. Homogeneity approach to high-order sliding mode design[J]. Automatica, 2005, 41(5): 823-830.

[19] ARIE L. Principles of 2-sliding mode design[J]. Automatica, 2007, 43(4): 576-586.

[20] EMELYANOV S V, KOROVIN S K, LEVANTOYSKY L V. Second order sliding modes in controlling uncertain systems[J]. Soviet Journal of Computer and System Science, 1986, 24(4): 63-68.

[21] YURI O, CHRISTOPHER E, LEONID F, et al. Advances in variable structure and sliding mode control[M]. Berlin: Springer, 2006: 127-130.

[22] JAIME A M, OSORIO M. Strict Lyapunov functions for the supertwisting algorithm[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012, 57(4): 1035-1040.

[23] JESUS P, ENRIC P M, ALEJANDRO V, et al. Stability preserving maps for finite-time convergence: Super-twisting sliding-mode algorithm[J]. Automatica, 2013, 49(2): 534-539.

[24] VADIM U. On convergence time and disturbance rejection of supertwisting control[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2013, 58(8): 2013-2017.

[25] ARIE L. Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control[J]. International Journal of Control, 1993, 58(6): 1247-1263.

[27] MEHDI G, IMAN M, AHMAD R V. Finite-time convergent guidance law based on integral backstepping control[J]. Aerospace Science and Technology, 2014, 39: 370-376.

[28] TYAN F. Adaptive PPN guidance law with impact angle constraint[C]//Proceedings of American Control Conference. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2013: 19-24.

[29] CHEN H, SUN W J, SUN Z D, et al. Second-order sliding mode control of a 2D torsional MEMS micromirror with sidewall electrodes[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2012, 23(1): 234-239.

[30] JOE H, KIM M, YU S. Second-order sliding-mode controller for autonomous underwater vehicle in the presence of unknown disturbances[J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 78(1): 183-196.

[31] ANDIRE P, ALEX P. Lyapunov function design for finite-time convergence analysis: “Twisting” controller for second-order sliding mode realization[J]. Automatica, 2009, 45(2): 444-448.

[32] 熊少鋒, 王衛(wèi)紅, 劉曉東, 等. 考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的帶攻擊角度約束制導(dǎo)律[J]. 控制與決策, 2015, 30(4): 585-592.

XIONG S F, WANG W H, LIU X D, et al. Impact angle guidance law considering missile’s dynamics of autopilot[J]. Control and Decision, 2015, 30(4): 585-592 (in Chinese).

(責(zé)任編輯： 張玉)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160602.1013.006.html

Second-ordersliding-modeguidancelawwithimpactangleconstraint

GUOJianguo1,*,HANTuo1,ZHOUJun1,WANGGuoqing2

1.InstituteforPreciseGuidanceandControl,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China2.ResearchandDevelopmentCenter,ChinaAcademyofLaunchVehicleTechnology,Beijing100076,China

Anewsecond-ordersliding-modeguidancelawwithfinitetimestabilityisproposedforthedesignoftheguidancelawfortheair-surfacemissilewithimpactangleconstraint.Basedontherelativemotionmodelofthemissileandthetarget,theterminaltrajectoryinclinationangleconstraintistransformedtotheterminallineofsight(LOS)angleconstraint,whichistakenastheterminalcontrolgoaloftheguidancesystem.InordertosatisfytheannihilationofLOSrateandtheterminalangleconstraint,asecond-orderslidingmodeguidancelawisdesignedbyusinganewsecond-orderslidingmodesurfacewithtwistingcontrolalgorithm,whichisusedtosuppresstheuncertaintyofguidingsystem.BasedontheLyapunovstabilitytheory,anewLyapunovfunctionisadoptedtoverifythestrictstabilityoftheguidancesysteminfinitetime.Theair-surfacemissileguidancesystemissimulatednumerically.Acomparisonwiththeconventionalslidingmodeguidancelawandasecond-orderslidingmodeguidancelawusingsupertwistingalgorithmshowsthatthemethodproposedinthispapercanimprovetheaccuracyofterminalangleconstraintinfinitetimeandavoidtheproblemoftoomanyparametersinthesupertwistingalgorithm,andcanguaranteetheguidanceaccuracyatthesametime.

second-ordersliding-mode;guidancelaw;twistingcontrol;angleconstraint;finitetimestability

2016-03-09；Revised2016-04-06；Accepted2016-05-26；Publishedonline2016-06-021013

NationalNaturalScienceFoundationofChina(61473226)

.E-mailguojianguo@nwpu.edu.cn

2016-03-09；退修日期2016-04-06；錄用日期2016-05-26； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2016-06-021013

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160602.1013.006.html

國家自然科學(xué)基金 (61473226)

.E-mailguojianguo@nwpu.edu.cn

郭建國， 韓拓， 周軍， 等． 基于終端角度約束的二階滑模制導(dǎo)律設(shè)計J． 航空學(xué)報,2017,38(2):320208.GUOJG,HANT,ZHOUJ,etal.Second-ordersliding-modeguidancelawwithimpactangleconstraintJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(2):320208.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0162

V488.133

A

1000-6893(2017)02-320208-10