胡啟國, 王澤霖*, 胡豁然

(1. 重慶交通大學(xué)機電與車輛工程學(xué)院, 重慶 400074; 2. 國網(wǎng)重慶市電力公司信息通信分公司, 重慶 401120)

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM) 較其他電機具有體積小、效率高、功率密度大等優(yōu)點[1],且隨著高級永磁材料的快速發(fā)展,其已被普遍應(yīng)用于新能源汽車、工業(yè)制造等領(lǐng)域。在PMSM矢量控制系統(tǒng)中,轉(zhuǎn)速外環(huán)控制是較為關(guān)鍵的控制環(huán)節(jié),傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)速外環(huán)控制一般采用比例積分(proportional integral,PI)控制,但該方法不僅動態(tài)響應(yīng)能力弱,且對系統(tǒng)內(nèi)外擾動的自適應(yīng)性較差。為此,取代PI轉(zhuǎn)速控制,設(shè)計一種擁有強魯棒性與收斂性的轉(zhuǎn)速控制方法變得至關(guān)重要。

滑?？刂萍夹g(shù)憑借其結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)快、魯棒性強[2]等特點,已逐步取代PI控制技術(shù),并在PMSM轉(zhuǎn)速控制領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,但滑模控制容易使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振,也成為其一大缺點。為了削弱滑模抖振,改善滑模運動的動態(tài)品質(zhì),通常采用趨近律方法[3]設(shè)計滑模轉(zhuǎn)速控制器。然而,趨近律參數(shù)的設(shè)定較為嚴(yán)謹,一旦參數(shù)值選擇不當(dāng),依然會引起較大的信號抖動,因而該方法不能夠從根本上解決抖振問題。近些年來,高階滑模控制技術(shù)不斷吸引著眾多學(xué)者的目光,此技術(shù)與趨近律滑模等一階滑?？刂葡啾?進一步加強了系統(tǒng)魯棒性且能夠很好地抑制抖振,從而在滑?？刂浦兄饾u占據(jù)主導(dǎo)地位。超螺旋算法[4]由于不需引入新控制變量,輸出連續(xù)且可大幅度減小抖振,因此在高階滑模中被普遍采用。王朕等[5]向超螺旋算法中引入自適應(yīng)律,設(shè)計了自適應(yīng)超螺旋轉(zhuǎn)速滑?？刂破?更好地抑制了PMSM轉(zhuǎn)速超調(diào)。金愛娟等[6]基于原有超螺旋算法,引入自適應(yīng)比例項和積分項,搭建了改進的超螺旋滑模轉(zhuǎn)速控制器,更進一步提高了PMSM系統(tǒng)的收斂速度。程濤等[7]采用飽和函數(shù)代替原超螺旋算法中的開關(guān)函數(shù),設(shè)計了改進的超螺旋滑模轉(zhuǎn)速控制器,進一步抑制了PMSM轉(zhuǎn)矩抖振。

文獻[5-7]在原有超螺旋算法基礎(chǔ)上做了相關(guān)改進,并用于PMSM轉(zhuǎn)速控制,取得了較好地控制效果,但針對超螺旋算法的改進均偏于局限,未能全面的考慮超螺旋算法的不足。鑒于此,為更好地改善超螺旋算法,從收斂速率、控制精度及抖振等多方面考慮,對傳統(tǒng)超螺旋算法做出進一步改進,提出一種新型超螺旋算法,包括設(shè)計了變指數(shù)取代原算法中非線性項的常指數(shù)以改善算法收斂性能,引入分數(shù)階微積分取代整數(shù)階以提高算法計算精度,設(shè)計變邊界層非線性指數(shù)函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)以削弱系統(tǒng)抖振。最后,結(jié)合新型超螺旋算法,設(shè)計PMSM新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器,并進行仿真對比分析,過程中采用鯨魚算法優(yōu)化控制參數(shù),結(jié)果證實了所提方案的可行性。通過此項設(shè)計研究可為PMSM控制系統(tǒng)的動穩(wěn)態(tài)性能改善提供一份參考。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

相較于內(nèi)置式PMSM,表貼式PMSM制造成本低、電流響應(yīng)快且轉(zhuǎn)動慣量小。因此,以表貼式PMSM為研究對象,忽略定子鐵芯飽和及其他各種損耗等,建立電機定子電壓方程、電磁轉(zhuǎn)矩方程與運動方程[8]分別如式(1)、式(2)與式(3)所示。

(1)

式(1)中:ud、uq與id、iq分別為d-q軸坐標(biāo)系,即兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的定子電壓與電流;Rs為定子相電阻;Ld、Lq分別為d-q軸坐標(biāo)系下的電感,且Ld=Lq=Ls,其中Ls為定子等效電感;ωr為轉(zhuǎn)子角速度;ψf為永磁體磁鏈;t為時間。

Te=pnψfiq

(2)

式(2)中:Te為電磁轉(zhuǎn)矩;pn為電機的極對數(shù)。

(3)

式(3)中:J為轉(zhuǎn)動慣量;TL為負載轉(zhuǎn)矩;B為黏滯摩擦系數(shù)。

2 新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器設(shè)計

2.1 超螺旋算法理論

超螺旋算法的最大特點即為系統(tǒng)狀態(tài)是在有限時間內(nèi)以螺旋式地運動軌跡圍繞著原點向其收斂。該算法的基本結(jié)構(gòu)[9]可表示為

(4)

式(4)中:s為滑模變量;y為中間變量;sgn為開關(guān)函數(shù);KP、KI為滑模增益,且KP> 0,KI> 0;ρ1、ρ2為干擾項。

2.2 超螺旋算法改進

(5)

由式(5)可知,函數(shù)g(s)的值域為(0,1),指數(shù)值將在此范圍內(nèi)進行調(diào)整。將式(5)代入式(4),可得改進后的非線性項變?yōu)閨s|g(s)。當(dāng)|s| > 1時,系統(tǒng)狀態(tài)離滑模面較遠,此時|s|g(s)值較大,可有效地加快系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速率,較大地縮短趨近時間;當(dāng)|s| ≤ 1時,系統(tǒng)狀態(tài)離滑模面較近,此時|s|g(s)值較小,能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)較為平滑地切入滑模面,增強其穩(wěn)定性。

為能更好地提高超螺旋算法的控制精度,采用分數(shù)階控制法代替?zhèn)鹘y(tǒng)超螺旋算法中的整數(shù)階控制。分數(shù)階理論自誕生起在各工程領(lǐng)域均得到了實際應(yīng)用,并已通過實驗證明了該理論的有效性和實用性,它可準(zhǔn)確地描述問題的基本現(xiàn)象[10],解得的結(jié)果與實際情況更相符,從而贏得了越來越多的關(guān)注。常見的分數(shù)階主要有Riemann-Liouville式、Grunwald-Letnikov式與Caputo式,其中,針對本文情況,選用Caputo式分數(shù)階[11],其通用表達式為

(6)

為更進一步地減小系統(tǒng)抖振,增強系統(tǒng)運行時的平穩(wěn)性,設(shè)計一種邊界層可變的非線性指數(shù)函數(shù),以取代傳統(tǒng)超螺旋算法中的開關(guān)函數(shù)。所設(shè)計函數(shù)可表示為

(7)

式(7)中:γ為常數(shù), 0<γ< 1;δ為常數(shù),δ> 0;|δtanh(s)|為邊界層。

綜上所述,將式(5)、式(6)與式(7)代入式(4)中,可得新型超螺旋算法為

(8)

式(8)整理后也可變成式(9)所示形式。

(9)

式(9)中:ρ為干擾項。

2.3 有限時間收斂驗證

現(xiàn)對新型超螺旋算法的有限時間收斂性進行證明。對于式(8),忽略擾動量,取向量

(10)

對式(10)求α階導(dǎo),得

(11)

Δ2+γβKPΔ+γβKI=0

(12)

因KP、KI> 0且通過證明可得γβ> 0,則對于任意的正定矩陣Q,必定存在一正定矩陣P,滿足于方程ATP+PA= -Q,據(jù)此可取Lyapunov函數(shù)為

V=ζTPζ

(13)

對式(13)求α階導(dǎo),得

(14)

由于函數(shù)V為二次型正定函數(shù),則有

(15)

由式(15)可得

(16)

同樣可得

(17)

結(jié)合式(14)可推得

≤-λmin(Q)‖ζ‖2

(18)

綜合式(17)與式(18),最終可得

(19)

2.4 超螺旋算法驗證

為更進一步驗證所提新型超螺旋算法的可行性,現(xiàn)引入典型的帶有建模不確定和外部干擾信號的二階非線性系統(tǒng)為被控對象,該系統(tǒng)表示為

(20)

式(20)中:x1和x2為系統(tǒng)狀態(tài)變量;x= [x1,x2]T;f(x,t)為連續(xù)函數(shù);Δf(x)為系統(tǒng)的建模不確定項;d(t)為外部的干擾信號;u(t)為控制輸入,通過控制器u(t),對二階非線性系統(tǒng)進行平衡控制,狀態(tài)變量漸進收斂到零。

分別用傳統(tǒng)超螺旋算法和新型超螺旋算法設(shè)計控制器u(t)。

令s為

s=x2+cx1

(21)

結(jié)合式(4)、式(21),得采用傳統(tǒng)超螺旋算法設(shè)計的控制器u1(t)可表示為

cx2-f(x,t)-Δf(x)-d(t)

煤礦機電自動化技術(shù)的廣泛應(yīng)用是提高煤礦開發(fā)利用效率的重要保障，也是減少機械故障，提高煤礦生產(chǎn)安全性和可靠性的重要措施。煤礦機電自動化技術(shù)在煤炭傳送系統(tǒng)、礦井提升機、牽引采煤機和礦井監(jiān)測系統(tǒng)中得到了一定的應(yīng)用。隨著機電自動化技術(shù)的不斷發(fā)展，煤礦機電自動化在煤礦生產(chǎn)中占據(jù)的地位也越來越重要，對促進煤礦機電設(shè)備向智能化發(fā)展有著積極的促進作用。

(22)

同理,結(jié)合式(9)、式(21),得采用新型超螺旋算法設(shè)計的控制器u2(t)為

cx2-f(x,t)-Δf(x)-d(t)

(23)

對式(22)、式(23),令

(24)

利用MATLAB分別搭建式(22)、式(23)所示控制器模型,仿真后得u1與u2的響應(yīng)曲線如圖1所示。

圖1 控制器響應(yīng)曲線Fig.1 Curves of controller response

由圖1可以看出,相較于u1曲線,u2曲線進一步降低了初始超調(diào),更加平緩了收斂后的曲線波動。由此表明,新型超螺旋算法在收斂性及穩(wěn)定性等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)超螺旋算法。

2.5 滑模轉(zhuǎn)速控制器設(shè)計

采用新型超螺旋算法,設(shè)計PMSM新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器。具體如下。

(25)

結(jié)合式(3)、式(9)與式(25),可得

(26)

(27)

3 仿真分析

利用MATLAB/Simulink對設(shè)計的PMSM新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器進行仿真分析,同時與采用傳統(tǒng)超螺旋算法及指數(shù)趨近律設(shè)計的滑模轉(zhuǎn)速控制器相比較。其中,采用傳統(tǒng)超螺旋算法設(shè)計的超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器的控制律[12]可表示為

(28)

式(28)中:s=eωr。

采用指數(shù)趨近律設(shè)計的指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器的控制律[13]可表示為

(29)

結(jié)合id= 0定子電流控制策略與逆變器空間矢量脈寬調(diào)制(space vector pulse width modulation,SVPWM)技術(shù),利用MATLAB/Simulink搭建PMSM滑模轉(zhuǎn)速矢量控制系統(tǒng)模型,其控制框圖如圖2所示,該控制系統(tǒng)為轉(zhuǎn)速電流雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。其中,電流環(huán)控制器采用PI控制器,轉(zhuǎn)速環(huán)控制器采用滑模控制器,且滑?？刂破鞯目刂坡煞謩e采用式(27)～式(29)所示形式。

為id、iq的給定值;uα、uβ與iα、iβ分別為α-β軸坐標(biāo)系,即兩相靜止坐標(biāo)系下的定子電壓與電流;θr為轉(zhuǎn)子位置角;udc為直流電壓;iABC為定子三相電流圖2 PMSM滑模轉(zhuǎn)速矢量控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Diagram of PMSM sliding mode speed vector control system

仿真前,設(shè)定PMSM參數(shù)如表1所示。電流環(huán)PI參數(shù)設(shè)為:kP= 60,kI= 6 000。采用尋優(yōu)能力強的鯨魚優(yōu)化算法[14](whale optimization algorithm,WOA)對指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器參數(shù),即式(29)中c、ε、k,傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器參數(shù),即式(28)中KP、KI以及新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器參數(shù),即式(27)中KP、KI、k1、k2、k3進行尋優(yōu)整定。

表1 PMSM參數(shù)Table 1 PMSM parameters

采用分段混沌映射法[15]初始WOA種群,并設(shè)定種群數(shù)量S= 100,最大迭代次數(shù)M= 100,適應(yīng)度函數(shù)選用時間乘以誤差絕對值積分(integrated time and absolute error,ITAE)指標(biāo),可表示為

(30)

以上述待優(yōu)化參數(shù)為設(shè)計變量,以ITAE指標(biāo)為適應(yīng)度函數(shù),在MATLAB中利用WOA對ITAE進行20次仿真求解,并將20次仿真中每次迭代求得的最優(yōu)參數(shù)值的平均值隨迭代次數(shù)的變化曲線繪制于圖3,同時將其最終迭代得到的最優(yōu)參數(shù)值的平均值如表2～表4所示。

表2 指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器Table 2 Exponential reaching law sliding mode speed controller

表3 傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器Table 3 Traditional super twisting second order sliding mode speed controller

表4 新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器Table 4 New super twisting second order sliding mode speed controller

圖3 平均參數(shù)優(yōu)化曲線Fig.3 Curves of average parameter optimization

設(shè)定PMSM仿真工況如下:仿真時長0.8 s,采樣時間1×10-5s。負載轉(zhuǎn)矩TL初始為2 N·m,在0.2 s升至5 N·m,在0.5 s升至7 N·m;期望轉(zhuǎn)速nr*初始為1 000 r/min,在0.3 s升至1 500 r/min,在0.6 s降至1 200 r/min;電機參數(shù)Rs、Ψf、Ls在0.4 s分別升至1.5Rs、1.5Ψf、1.5Ls,在0.7 s分別升至2Rs、2Ψf、2Ls。

圖4為分別采用指數(shù)趨近律滑模、傳統(tǒng)超螺旋二階滑模以及新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器的PMSM轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線。根據(jù)圖4(a)可得,在初始時刻、0.3 s與0.6 s,轉(zhuǎn)速因發(fā)生階躍變化而產(chǎn)生超調(diào)。其中,對于指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器,其轉(zhuǎn)速超調(diào)分別約為74.4 %、23.7 %、55.0 %,調(diào)節(jié)時長分別為0.071、0.077、0.082 s;對于傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器,其轉(zhuǎn)速超調(diào)分別約為35.1%、9.5%、11.1%,調(diào)節(jié)時長分別約為0.037、0.043、0.044 s;對于新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器,其轉(zhuǎn)速超調(diào)分別為18.2%、1.1%、6.9%,調(diào)節(jié)時長分別為0.033、0.023、0.033 s。

圖4 PMSM轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線Fig.4 Curves of PMSM speed response

在0.2、0.5 s與0.4、0.7 s,轉(zhuǎn)速因負載與電機參數(shù)變化而產(chǎn)生短暫下降。其中,對于指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器,其轉(zhuǎn)速下降幅度分別約為9.3%、4.2%與11.5%、6.0%,恢復(fù)時長分別為0.039、0.054 s與0.089、0.085 s;對于傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器,其轉(zhuǎn)速下降幅度分別為0.5%、1.4%與1.4%、3.3%,恢復(fù)時長分別為0.026、0.019 s與0.013、0.038 s;對于新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器,其轉(zhuǎn)速下降幅度分別為0.2%、0.8%與0.6%、1.6%,恢復(fù)時長分別為0.006、0.018 s與0.008、0.027 s。

在穩(wěn)態(tài)階段,指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器下的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差(實際轉(zhuǎn)速與期望轉(zhuǎn)速間的差值)約為±5 r/min,傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器下的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差為±3 r/min,新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器下的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差為±1 r/min。

對比以上各項指標(biāo),結(jié)果表明:與指數(shù)趨近律相比,采用超螺旋算法設(shè)計的滑模轉(zhuǎn)速控制器降低了轉(zhuǎn)速超調(diào),減小了轉(zhuǎn)速在受擾時的下降幅度,縮小了轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。其中,相比傳統(tǒng)超螺旋算法,采用新型超螺旋算法設(shè)計的滑模轉(zhuǎn)速控制器更進一步地減小了轉(zhuǎn)速超調(diào)、轉(zhuǎn)速下降幅度及轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。

根據(jù)以上所得結(jié)果可知:較之于指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器,超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器明顯提高了系統(tǒng)收斂速率、抗電機參數(shù)攝動與負載擾動能力,減弱了穩(wěn)態(tài)抖振。其中,與傳統(tǒng)超螺旋相比,新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器進一步改善了系統(tǒng)收斂速率、抗內(nèi)外擾動能力與穩(wěn)態(tài)抖振。

4 結(jié)論

從改善傳統(tǒng)超螺旋算法收斂速率、控制精度及抖振等多方面出發(fā),設(shè)計了一種新型超螺旋算法,提出了一種PMSM新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器,通過在MATLAB/Simulink中與指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器和傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器做對比仿真,得到以下結(jié)論。

(1)與傳統(tǒng)超螺旋算法相比,新型超螺旋算法在收斂性及穩(wěn)定性等方面得到了改善。

(2)與指數(shù)趨近律滑模轉(zhuǎn)速控制器和傳統(tǒng)超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器相比,新型超螺旋二階滑模轉(zhuǎn)速控制器更進一步地增強PMSM系統(tǒng)的收斂性與抗擾性,抑制了系統(tǒng)抖振。