宋妍慧+胡良劍

摘 要：基于Holt-Winters模型、X12-ARIMA模型和SARIMA模型，利用Eviews軟件對湖州市小吳興區(qū)從2011年第一季度到2016年第四季度GDP數(shù)據(jù)進行分析和預測。通過比較相對誤差，結果表明SARIMA模型與其他模型相比相對誤差較小，預測精度較高。最后選擇SARIMA方法對湖州市小吳興區(qū)2017年度的GDP進行預測。

關鍵詞：GDP，時間序列，Holt-Winters，X12-ARIMA，SARIMA

中圖分類號：F127；F201 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2017）32-0004-06

引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值（Gross Domestic Product，GDP）是指一個國家所有常住單位在一定時期內(nèi)生產(chǎn)并提供給社會最終使用的貨物和服務的價值總量[1]。它能夠反映出一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟增長程度、經(jīng)濟規(guī)模大小等基礎性的經(jīng)濟指標，是國際上使用最廣泛的衡量國民經(jīng)濟發(fā)展變化情況的重要指標。GDP在世界各國、國際組織、學術機構和企業(yè)中得到廣泛應用，目前已經(jīng)成為世界范圍內(nèi)通用的經(jīng)濟總量指標。各國政府和經(jīng)濟學家都十分重視GDP的研究工作。我國于1985年正式開始核算GDP。

季度GDP能夠反映季度經(jīng)濟總量、經(jīng)濟增長率等重要宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)，具有時效性，能夠及時反映近期經(jīng)濟發(fā)展趨勢，便于宏觀經(jīng)濟管理部門及時擬定正確的經(jīng)濟政策，采用有效措施，來確保宏觀經(jīng)濟可以平穩(wěn)發(fā)展[2]。由于季度GDP數(shù)據(jù)具有時效性的特點，所以備受宏觀經(jīng)濟管理者的重視。這是因為生產(chǎn)活動具有季節(jié)性而需求活動同樣具有季節(jié)性，許多的季節(jié)性因素對于季度GDP核算產(chǎn)生了重要的影響，所以季度GDP數(shù)據(jù)的季節(jié)性表現(xiàn)尤為突出。

2008年，劉薇建立ARIMA模型對吉林省未來幾年的GDP進行預測[3]。2010年，魏寧建立ARIMA模型用來預測陜西省的年度GDP[4]。2013年，馮超運用X12-ARIMA模型和SARIMA模型對中國保費的月度收入進行預測[5]，其方法在GDP預測的過程中值得借鑒。為了找到較為精確地預測湖州市小吳興區(qū)GDP的方法，我們采用Holt-Winters模型、X12-ARIMA模型和SARIMA模型分別進行預測分析[6]，通過比較，發(fā)現(xiàn)SARIMA的效果最好。

一、模型介紹

（一）ARIMA模型

ARMA模型是一個應用比較廣泛的時間序列模型。當我們發(fā)現(xiàn)時間序列是平穩(wěn)的并且在此時間序列內(nèi)沒有丟失的數(shù)據(jù)時，我們就可以用ARMA模型進行分析和預測。

ARMA（p，q）的一般表達式記作：

?（L）Yt=θ（L）εt

其中

?（L）=1-?1L-?2L2-，…-?pLp

θ（L）=1-θ1L-θ2L2-，…-θqLq

Yt代表時間序列，L為后移算子，即LYt=Yt-1，?1，?2，…，?p是自回歸模型系數(shù)，p為自回歸模型的階數(shù)，是移動平均模型系數(shù)，q為移動平均模型的階數(shù)，εt是均值為0，方差為σ2的白噪聲序列[7]。

但如果時間序列Yt具有趨勢性，或者說是非平穩(wěn)的，我們需要先對它進行d次差分，以得到平穩(wěn)的時間序列Xt，而此Xt為ARMA（p，q）序列，我們將原非平穩(wěn)的時間序列稱為ARMA的d階求和序列，記為ARIMA（p，d，q），它的一般表達式如下：

?（L）（1-L）dYt=θ（L）εt

（二）SARIMA模型

對于一些有著顯著的周期性變化的時間序列，需要對序列進行差分和季節(jié)性差分，從而消除它的周期性和趨勢性。如果序列經(jīng)過d階差分和D階長度為s的季節(jié)性差分后才變成平穩(wěn)序列，那么就適用于SARIMA模型，SARIMA模型的一般形式如下[8]：

?（L）Φ（Ls）（1-L）d（1-Ls）DYt=θ（L）ΘLsεt

其中，Φ（Ls）=1-Φ1Ls-Φ2L2s-…-ΦPLPs是季節(jié)性P階自回歸多項式，

Θ（Ls）=1-Θ1Ls-Θ2L2s-…-ΘQLQs是季節(jié)性Q階自回歸多項式。

（三）X12季節(jié)調(diào)整方法

季度時間序列數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出有規(guī)律的季節(jié)變動，所以我們選擇通過使用X12的方法對原始時間序列數(shù)據(jù)進行季節(jié)性調(diào)整，剔除季節(jié)要素，將原數(shù)據(jù)分解成趨勢循環(huán)項TCt，季節(jié)項和不規(guī)則要素It[7]。本文主要用到的模型為加法模型和乘法模型。

1.加法模型

當時間序列的各成分之間的關系相互獨立、互不影響時，可以使用加法模型，它的一般表達式為：

Yt=TCt+St+It

2.乘法模型

當時間序列的各成分之間相互作用時，我們選擇乘法模型，比如，趨勢循環(huán)要素上升時，季節(jié)因素也同樣上升，那么可以認定他們不是相互獨立的關系。乘法模型的一般表達式為：

Yt=TCt×St×It

（四）Holt-Winters模型

指數(shù)平滑法是一種預測時間數(shù)列數(shù)據(jù)的方法，當我們只有少量數(shù)據(jù)來預測未來的發(fā)展趨勢時，指數(shù)平滑法也是一個極為有效的方法。

但是許多真實的時間序列數(shù)據(jù)不僅僅是具有線性的時間趨勢而且具有季節(jié)的變化，以我們的樣本數(shù)據(jù)湖州市季度GDP來說，很明顯地看出，此數(shù)據(jù)具有明顯的季節(jié)性趨勢，呈現(xiàn)周期性的變化，所以，簡單的非季節(jié)模型對于此類數(shù)據(jù)的預測是不準確的，我們需要選擇Holt-Winters加法模型和Holt-Winters乘法模型來進行預測。

1.Holt-Winters加法模型

加法模型適用于具有線性趨勢和加法季節(jié)變化的序列，時間序列的平滑序列可以表示為[7]：

t+k=at+btk+ct+kendprint

其中，t代表樣本取值時間，t=s+1，s+2，…T，T是時間序列的最終點，s代表季節(jié)周期長度，k代表向后平滑的期數(shù)，k>0，t+k代表將要預測的時期，at代表截距，bt代表斜率，兩者共同表示序列的趨勢，ct代表加法模型的季節(jié)因子。

三個系數(shù)的遞歸式定義為：

at=α（yt-ct-s）+（1-α）（at-1+bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

ct=γ（yt-at）+（1-γ）ct-s 其中，α，β，γ在0到1之間，為阻尼因子。

那么，Holt-Winters加法預測模型可以表示為：

T+k=aT+bTk+cT+k-s

其中cT+k-s取已知的時間序列最后一年的季節(jié)因子。

2.Holt-Winters乘法模型

乘法模型適用于具有線性趨勢和乘法季節(jié)變化的序列，時間序列的平滑序列可以表示為[7]：

t+k=（at+btk）ct+k

其中ct代表乘法模型的季節(jié)因子。

三個系數(shù)的遞歸式定義為：

at=

α+（1-α）（at-1+bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

ct=γ

+（1-γ）ct-s

其中，α，β，γ在0到1之間，為阻尼因子。

那么，Holt-Winters乘法預測模型可以表示為：

T+k=（aT+bTk）cT+k-s

二、實證分析

首先，我們假定2016年第二季度到第四季度的數(shù)據(jù)為未知數(shù)據(jù)，分別利用Holt-Winters方法、X12-ARIMA方法和SARIMA方法建立模型，然后比較預測值和真實值之間的差距，找出相對誤差較小的研究方法，最后利用找到的研究方法預測2017年的湖州市GDP數(shù)值。

（一）Holt-Winters方法

通過Eviews軟件，分別使用Holt-Winters加法模型和乘法模型對湖州市小吳興區(qū)的GDP進行預測[9]，預測結果及相對誤差值見表1。

從上述的預測結果可以看出，在預測GDP的過程中，Holt-Winters加法模型比乘法模型預測的相對誤差較小，由此可見，Holt-Winters加法模型的預測效果更好。

（二）X12-ARIMA方法

1.X12-ARIMA加法模型

使用X12加法模型對GDP數(shù)據(jù)進行季節(jié)性調(diào)整，我們得到4組數(shù)據(jù)：GDP_SA，即經(jīng)過季節(jié)調(diào)整之后的GDP的數(shù)值；GDP_TC，即趨勢循環(huán)變動；GDP_SF，即季節(jié)因子；GDP_IR，

即不規(guī)則變動。另外，我們將季節(jié)因子的預測值記為GDP_SFF，

經(jīng)過季節(jié)調(diào)整之后的GDP的預測值記為GDP_SAF，不規(guī)則變動的預測值記為GDP_IRF，最終的GDP的預測值記為GDPF。

我們通過觀察分解的結果，可以很明顯地看出該時間序列的趨勢性，其具有明顯的上升趨勢。在加法模型中，經(jīng)過季節(jié)調(diào)整之后的實際GDP的數(shù)值GDP_SA等于GDP_TC與GDP_IR的和。而GDP_SF具有比較規(guī)律的變動，這對我們的實際預測有很重要的作用。

由于我們建立的是X12-ARIMA加法模型，我們可以得到

GDPF=GDP_TCF+GDP_IRF+GDP_SFF=GDP_SAF+GDP_SFF，所以，我們需要將季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)GDP_SA進行建模，并根據(jù)季節(jié)因子的規(guī)律性變動特點進行分析，最終得到我們所需要的GDP的預測值。

（1）模型的平穩(wěn)性檢驗及處理

首先，我們需要對GDP_SA序列進行單位根檢驗，以此來判斷序列的平穩(wěn)性。利用Eviews軟件分析，我們發(fā)現(xiàn)，T統(tǒng)計量為-3.13大于10%顯著性水平下的檢驗值-3.30，且p值大于0.05，即接受原單位根假設，所以，我們可以判定該序列是不平穩(wěn)的，需要對其進行差分處理。

經(jīng)過一階差分后，得到序列DGDP_SA，它的p值為0.0213，顯著小于0.05。據(jù)此，我們可以判定，經(jīng)過一階差分后的時間序列為平穩(wěn)的。

（2）模式識別

對DGDP_SA進行ARMA建模，ARMA模型的識別與定階可以通過觀察樣本的自相關圖和偏自相關圖獲得，經(jīng)過一次差分后的自相關和偏自相關系數(shù)如圖1所示。通過觀察可知，偏自相關系數(shù)僅在第一階和第二階顯著不為0，所以p=1或者p=2，序列的自相關系數(shù)僅在第一階顯著不為0。我們選q=1或者q=0，嘗試建立以下模型ARIMA（2，1，0）或者ARIMA（1，1，1）。然后觀察殘差序列是否是白噪聲，經(jīng)過分析，兩個模型的殘差均為白噪聲，通過檢驗。最優(yōu)模型的判斷還需要借助AIC和SC信息準則來判斷，通常AIC和SC的值越小越好，調(diào)整的R2代表模型的整體擬合優(yōu)度，它的值越大，代表了擬合效果越好。我們將兩個模型的這三個指標進行對比，對比圖見表2。

通過比較我們發(fā)現(xiàn)，ARIMA（1，1，1）模型的AIC值和SC值均小于ARIMA（2，1，0）模型，且調(diào)整的R2大于ARIMA（2，1，0）模型，所以我們選擇ARIMA（1，1，1）模型進行建模。

模型的估計結果為：

（1-L）（1+0.5706L）GDP+_SAt=（1+0.9995L）εt

（3）模型的預測

首先，我們假定季節(jié)調(diào)整因子基本不變，所以選擇最近的3個季度的季節(jié)調(diào)整因子作為預測值，2016年第二季度到2016年第四季度的季節(jié)調(diào)整因子分別為178 587.841 2、-143 197.518 9、173 752.713。endprint

我們將GDP_SA的預測值記為GDP_SAF，結果如表3所示。

根據(jù)以上的預測數(shù)據(jù)，對GDP的最終值進行預測GDPF=

GDP_SAF+GDP_SFF，結果如表4所示。

2.X12-ARIMA乘法模型

我們使用X12乘法模型的思想是：通過類似于加法模型的分解方法，將原始的GDP數(shù)據(jù)分解為GDP_SA、GDP_SF，GDP_IR，通過對分解后的數(shù)據(jù)進行預測，最終實現(xiàn)對原始GDP數(shù)據(jù)的預測，GDPF=GDP_SAF×GDP_SFF，所以同樣需要我們對季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)GDP_SA進行建模。

（1）模型的平穩(wěn)性檢驗及處理

同理，我們對GDP_SA序列進行單位根檢驗，判定該序列是平穩(wěn)序列，它的自相關圖和偏自相關圖如圖2所示。

（2）模式識別

由自相關圖和偏自相關圖可知，偏自相關系數(shù)僅在第一階顯著不為0，所以p=1或者p=2，序列的自相關系數(shù)直到滯后3階后才降為0，所以MA的過程應該為低階，所以q=1或者q=2。我們嘗試建立以下模型ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1），經(jīng)過分析，三個模型的殘差均為白噪聲，通過檢驗[10]。同理，我們將三個模型的三個指標作比較，如表5所示。

同理，ARMA（2，1）的調(diào)整R2最大，且AIC和SC最小，所以我們選擇ARMA（2，1）模型，去除掉參數(shù)不顯著的自變量后，模型的估計結果如下：

（1-0.2514L）（1+0.7235L）GDP+_SA=（1+0.8871L）εt

（3）模型的預測

同理，2016年第二季度到2016年第四季度的季節(jié)調(diào)整因子分別為1.196 497 371、0.846 273 118、1.175 143 048。我們將GDP_SA的預測值記為GDP_SAF，結果如表6所示。

根據(jù)以上的預測數(shù)據(jù)，對GDP的最終值進行預測GDPF=

GDP_SAF×GDP_SFF，結果如表7所示。

從上述的預測結果可以看出，在預測GDP的過程中，X12-ARIMA加法模型比乘法模型預測的相對誤差較小，由此可見，X12-ARIMA加法模型的預測效果更好。

（三）SARIMA模型

由于原始時間序列存在一定的時間趨勢和季節(jié)趨勢，為了消除趨勢，使其變?yōu)槠椒€(wěn)的時間序列，我們選擇對原始數(shù)據(jù)進行一階差分和一次步長為4的季節(jié)差分，得到新的序列DDGDP[11]。由ADF檢驗結果可以得到T統(tǒng)計量為-5.57小于1%的臨界水平-2.74，且p值小于0.05，即拒絕原單位根假設，所以，我們可以判定該序列是平穩(wěn)的[12]。

1.模型的建立

為了找到合適的ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）4模型的階數(shù)，需要繪制DDGDP的自相關圖和偏自相關圖，繪制結果如圖3所示。

因為原時間序列經(jīng)過一階自然對數(shù)差分，消除了時間趨勢，經(jīng)過一次步長為4的季節(jié)性差分消除了季節(jié)趨勢，所以d=1，D=1，下面我們要確定p，q，P，Q的取值，由自相關和偏自相關圖我們可以嘗試建立ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4，ARIMA（0，1，1）（1，1，1）4，經(jīng)過分析，兩個模型的殘差均為白噪聲，通過檢驗，最優(yōu)指標比較圖如表8所示。

比較AIC和SC最小和調(diào)整R2最大的模型，通過比較表8，最終我們選擇模型ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4。最終，我們得到模型的估計結果為：

（1-0.854 2L）（1-L）（1-L4）GDPt=（1+0.607 5L）（1+6220）εt

2.模型的預測

利用ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4模型，實現(xiàn)了對湖州市小吳興區(qū)2016年第二季度到第四季度的生產(chǎn)總值的預測，預測結果如表9所示。

三、結論

本文利用多種時間序列預測方法，如Holt-Winters，X12-ARIMA，SARIMA等方法，對湖州市小吳興區(qū)從2011年第一季度到2016年第一季度的生產(chǎn)總值進行分析、建模和預測，得到了2016年第三季度到第四季度的預測值。通過比較表1、表4、表7和表9的相對誤差，我們發(fā)現(xiàn)X12-ARIMA加法模型和SARIMA模型的預測結果都不錯，其中，SARIMA方法預測精度最高，相對誤差最小，能較好地反映真實情況，所以我們選擇利用ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4模型對湖州市小吳興區(qū)2017年的季度GDP數(shù)據(jù)進行預測。預測結果如表10所示。

結果表明，湖州市小吳興區(qū)的GDP在未來的一段時間內(nèi)將呈現(xiàn)持續(xù)增長的趨勢，但增長速度回落到20%左右，與2011—2014年相比，經(jīng)濟的增長速度有明顯的放緩，這與我國整體經(jīng)濟增速放緩和經(jīng)濟的周期性有關。此結果對于經(jīng)濟宏觀調(diào)控具有理論和現(xiàn)實的意義。endprint