姜付錦
(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)
郎 軍
(重慶市第十一中學(xué)校 重慶 400061)
對(duì)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中球面擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究
姜付錦
(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)
郎 軍
(重慶市第十一中學(xué)校 重慶 400061)
通過(guò)對(duì)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中一種球面擺運(yùn)動(dòng)的理論研究,證明了其正則角動(dòng)量守恒,分析了當(dāng)小球的速率有微擾時(shí)運(yùn)動(dòng)的定量規(guī)律以及不脫離而穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的條件,最后通過(guò)數(shù)值模擬直觀地顯示了運(yùn)動(dòng)軌跡并驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果.
球面擺 微擾 正則角動(dòng)量 數(shù)值模擬
如圖1所示,半徑為R的光滑球面固定在空間某點(diǎn),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下穿過(guò)球面.一個(gè)質(zhì)量為m,帶電荷量為+q的小球正在某一個(gè)水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知小球與球心連線與豎直方向上的夾角為θ0,若小球的速度突然有一個(gè)變化量±Δv(方向不變)時(shí),試分析以后小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.
圖1 提出問(wèn)題
2.1理論依據(jù)
2.1.1 動(dòng)力學(xué)方程
兩個(gè)方向上的分速度為
在er方向:
化簡(jiǎn)得
FN=mgcosθ+qBvφsinθ-
(1)
在eθ方向:
eφ方向:
由以上兩式求得
2.1.2 正則角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒
變?yōu)?/p>
等式兩邊同時(shí)乘于sinθ,并對(duì)時(shí)間不定積分得
即
(2)
將小球的運(yùn)動(dòng)分解為經(jīng)線運(yùn)動(dòng)和緯線運(yùn)動(dòng),由機(jī)械能守恒和正則角動(dòng)量守恒有
經(jīng)線
緯線
聯(lián)立以上兩式求得
(3)
(4)
(5)
2.2運(yùn)動(dòng)規(guī)律
2.2.1 做穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)的初速度條件
設(shè)初速度為v0,要做穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng),則
由式(5)得
化簡(jiǎn)得
求得
2.2.2 變軌運(yùn)動(dòng)規(guī)律
以下討論中,設(shè)+q被雙向約束在球面上(如設(shè)想有一根輕桿與+q相連,輕桿可繞球心各向自由轉(zhuǎn)動(dòng)),如圖2所示.
圖2 極角合力與初速度關(guān)系
(6)
(7)
(8)
FN=3mgλ-2mgcosθ0+
(9)
(2)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的極角θm
在最高點(diǎn)(或最低點(diǎn)):vθ=0,由式(7)得
得
λ1=cosθ0
和
令
由一元三次方程的卡爾丹公式可得
(10)
式中
而λ3,λ4為復(fù)數(shù)根(舍去),所以
θm=arccosλ2
討論:
(1)若k=0,式(7)變?yōu)?/p>
(k2sin2θ0-1)cosθ0]=0
進(jìn)一步化簡(jiǎn)為
(λ1-cosθ0)(λ-1)(λ+1)
這里λ1=cosθ0為初態(tài)值,λ2為最高點(diǎn)值,λ3,λ4舍去.
(3)沿經(jīng)線方向的運(yùn)動(dòng)周期Tθ
(11)
在一個(gè)周期內(nèi),沿緯線方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度Δφ.
由于
所以
軌跡閉合性的條件:n1Δφ=n22π(n1,n2為正整數(shù)).
2.2.3 不脫離的條件
(1)如果|k|值太大,初始狀態(tài)可能就會(huì)脫離球面,由θ=θ0時(shí),F(xiàn)N≥0求出k0.
(12)
(2)如果|k|值太小,在向上變軌的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)脫軌,要求運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)不脫離球面,由FN(θ)≥0,vθ(θ)=0可求得k1.
利用式(9),由FN(θ)=0求得
(13)
由vθ=0及式(7)和式(13)化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)于λ的一元三次方程
λ3+bλ2+cλ+d=0
式中
由卡爾丹公式[參見式(10)]可得求得λ.
由求得的λ代入式(13)可求得k絕對(duì)值,設(shè)為k1.
(14)
將k2的值代入vθ=0,利用式(7),化簡(jiǎn)有
因此λ1=λ2=cosθ0(這為初態(tài)值,不是我們要求的情況,舍去)
于是得到
由卡爾丹公式求得λ3的值(另兩解為復(fù)數(shù)解,舍去.)
將λ3的值代入式(14)求得k2的值.
(4)不脫離的條件為:k1≤|k|≤min(k0,k2),若k1無(wú)解,則|k|≤min(k0,k2)
(5)實(shí)例分析
因此不脫離的條件為:0.784<|k|<1.068
因此不脫離的條件為:|k|<0.713.
因此不脫離的條件為:0.905<|k|<1.031.
2.3特例分析
2.3.1 當(dāng)v0=0時(shí)
圖3 小球在近似平面上的運(yùn)動(dòng)
圖4
2.3.2v0=v01±Δv或v0=v02±Δv,Δv?v01或Δv?v02
(1)在這種微擾下,小球在經(jīng)線方向極角的變化非常小,在經(jīng)線方向近似做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
(2)振動(dòng)周期的計(jì)算
式中
v02±Δv與v0=v01?Δv兩種情況的Tθ相同,結(jié)合特例1可知兩種情況下均有
在Mathcad中輸入有關(guān)微分方程及初始條件,設(shè)置好q,m,g,B,v0等有關(guān)參數(shù)后,可以得到不同條件下小球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值模擬結(jié)果.
3.1實(shí)例1的數(shù)值模擬
圖5 實(shí)例1的數(shù)值模擬
3.2實(shí)例2的數(shù)值模擬
圖6 實(shí)例2的數(shù)值模擬
3.3實(shí)例3的數(shù)值模擬
圖7 實(shí)例3的數(shù)值模擬
3.4小球運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值模擬
圖10 小球在不同初始值時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值模擬
1 何廣源,黃迺本.球面擺的運(yùn)動(dòng)方程數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.大學(xué)物理,2006,25(7):46~49
2 趙凱華.磁場(chǎng)中正則動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用.大學(xué)物理,1988,1(3):9
3 涂德新.復(fù)合場(chǎng)中的守恒量.物理通報(bào),2016(4):69~71
2017-04-24)