樊重慶，呂震宙

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

基于模糊Hausdorff距離的多輸出全局靈敏度分析方法

樊重慶，呂震宙*

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

為了度量模糊不確定性條件下輸入變量對輸出性能的影響，提出了基于模糊向量Hausdorff距離的多輸出性能對模糊輸入變量的全局靈敏度指標(biāo)(GSI)。所提指標(biāo)以模糊向量的Hausdorff距離來度量模糊輸入變量被固定后的條件輸出性能與無條件輸出性能的差異，并在對這種差異進(jìn)行加權(quán)平均的基礎(chǔ)上，建立模糊輸入變量對多輸出性能影響的全局靈敏度指標(biāo)。另外,所提指標(biāo)還被推廣至隨機(jī)輸入變量的分布參數(shù)具有模糊性的情況，用所提指標(biāo)來衡量模糊分布參數(shù)對隨機(jī)輸出性能統(tǒng)計(jì)特征的影響，并結(jié)合無跡變換和Kriging代理模型方法，建立了模糊分布參數(shù)對輸出均值影響的靈敏度求解高效方法。在詳細(xì)給出所提指標(biāo)的實(shí)現(xiàn)步驟后，采用算例說明了所提指標(biāo)的合理性和算法的高效性。

Hausdorff距離；多輸出；模糊不確定性；靈敏度；Kriging

隨機(jī)不確定性具有成熟的理論體系，但由于隨機(jī)不確定性的安全分析高度依賴于概率分布的尾部信息[1]，而尾部信息又是工程中常用的小子樣試驗(yàn)所難以獲得的。Elishakoff和Ferracuti[2]詳細(xì)論證了模糊安全因子的優(yōu)越性。Dubois和Prade[3]的論證表明：基于模糊變量得到的失效必然度和失效可能度可以給出隨機(jī)失效概率的上、下界。由于模糊不確定性的這些優(yōu)越性，所以本文將探討模糊不確定性下的靈敏度分析問題。

模糊不確定性條件下的靈敏度分析可以度量輸出性能對模糊輸入變量的敏感度，文獻(xiàn)[4-9]對模糊輸入對輸出不確定性影響的靈敏度做了大量研究。Song和Lu[4-5]首先通過無條件輸出響應(yīng)隸屬度函數(shù)與條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)的面積變化，來衡量模糊輸入變量對輸出不確定性的影響；在此基礎(chǔ)上，還定義了隨機(jī)模糊同時(shí)存在條件下基于無條件輸出響應(yīng)與條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)面積變化的靈敏度指標(biāo)，來研究輸入變量不確定性對模型輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)。Tang等[6]在隨機(jī)模糊同時(shí)存在時(shí)，根據(jù)失效概率隸屬度函數(shù)的不確定性熵的變化，定義了基于熵的全局靈敏度指標(biāo)。Li和Lu[7-8]在模糊隨機(jī)混合模型中，根據(jù)模型統(tǒng)計(jì)特征的隸屬函數(shù)的中心軸位置變化和隸屬函數(shù)面積變化，分別提出了混合不確定性條件靈敏度的位置指標(biāo)和面積指標(biāo)。Cheng和Lu[9]構(gòu)造新指標(biāo)研究了隨機(jī)模糊情況下模糊分布參數(shù)不確定性對失效概率隸屬函數(shù)面積變化的影響，反映模糊分布參數(shù)不確定性對失效概率的影響。然而上述指標(biāo)都是研究單輸出情況下的靈敏度分析，工程設(shè)計(jì)中常需要同時(shí)考慮輸入對多個(gè)輸出性能的影響程度，降低制造生產(chǎn)成本；多目標(biāo)優(yōu)化問題中，多個(gè)性能響應(yīng)量敏感度分析對多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用。

全局靈敏度分析的目的在于衡量輸入變量對輸出性能特征的影響，具體實(shí)現(xiàn)方法是通過比較無條件輸出性能特征和有條件(固定條件輸入變量的值)輸出性能特征的差異來反映條件輸入變量固定時(shí)所產(chǎn)生的影響，這種差異可以通過距離來衡量[10]。歐氏距離雖然能夠反映點(diǎn)狀目標(biāo)間的距離，但其度量各種類型目標(biāo)間的距離時(shí)沒有考慮空間目標(biāo)的形狀差異[11]，而Hausdorff[12-15]距離則能夠在度量空間目標(biāo)的距離的同時(shí)考慮空間目標(biāo)的整體形狀。Hausdorff距離作為相似性度量已經(jīng)廣泛應(yīng)用于模式識別[16]及圖像處理等領(lǐng)域[17]。以Hausdorff距離度量條件輸出響應(yīng)和無條件輸出響應(yīng)的距離，可以在考慮二者形狀的基礎(chǔ)上反映其差異，從而能夠更全面地反映模糊輸入不確定性對輸出響應(yīng)不確定性所造成的影響。經(jīng)過推廣后的模糊向量的Hausdorff距離能夠度量兩組以上響應(yīng)的形狀差異，從而可以應(yīng)用于衡量無條件多輸出響應(yīng)和條件多輸出響應(yīng)的差異，在對條件模糊輸入變量取值范圍內(nèi)進(jìn)行平均的基礎(chǔ)上，該差異可以綜合反映模糊輸入不確定性對多輸出響應(yīng)性能的影響。

論文詳細(xì)給出了所提模糊不確定性條件下多輸出全局靈敏度的定義，定性分析了所提模糊Hausdorff距離多輸出指標(biāo)的合理性，建立了指標(biāo)的高效求解方法，并將所提指標(biāo)推廣至隨機(jī)變量的分布參數(shù)具有模糊性的情況。最后用算例對所提指標(biāo)的合理性和算法的高效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 模糊向量距離的定義

本文的核心工作是建立模糊不確定性條件下輸入變量對輸出響應(yīng)影響的全局靈敏度指標(biāo)，建立指標(biāo)的基本思路是通過比較固定模糊輸入變量后條件輸出響應(yīng)與無條件輸出響應(yīng)的差異，來衡量被固定的條件輸入變量對輸出響應(yīng)的影響。為此在第1節(jié)中將首先給出模糊變量的簡要定義，然后再給出衡量模糊變量以及模糊向量之間差異的Hausdorff距離，定性分析模糊輸入對輸出不確定性的影響，理論上驗(yàn)證所提指標(biāo)的合理性，在此基礎(chǔ)上建立模糊輸入變量對模糊輸出響應(yīng)影響的全局靈敏度指標(biāo)。

1.1 模糊向量的描述

1.2 模糊向量的Hausdorff距離

1.2.1 區(qū)間變量間的Hausdorff距離

(1)

在此基礎(chǔ)上定義的單向Hausdorff距離[15]為

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2.2 模糊變量及模糊向量間的Hausdorff距離

1.2.1節(jié)給出了兩區(qū)間變量之間的Hausdorff距離，對于模糊變量X和模糊變量Y的Hausdorff距離，可以采用以隸屬度為權(quán)函數(shù)的隸屬區(qū)間之間Hausdorff距離的加權(quán)平均值來予以衡量，其定義H(X,Y)為

(6)

當(dāng)X和Y分別為2個(gè)m維的模糊向量時(shí)，即X=[X1X2…Xm]，Y=[Y1Y2…Ym]，Xk和Yk(k=1,2,…,m)的隸屬函數(shù)分別為uXk(xk)和uYk(yk)，類似于單維變量間歐氏距離到多維變量間歐氏距離的拓展，可以定義維度相同的2個(gè)模糊向量X與Y的Hausdorff距離H(X,Y)為

(7)

顯然模糊向量X和Y的Hausdorff距離H(X,Y)滿足距離度量的3個(gè)特性：非負(fù)性、對稱性和三角不等式。

由上述定義可知，2個(gè)模糊變量的Hausdorff距離是由區(qū)間變量的Hausdorff距離拓展而來的。在2個(gè)模糊變量的Hausdorff距離中，與2個(gè)模糊變量的每個(gè)隸屬水平對應(yīng)的隸屬區(qū)間的形狀差異可以通過區(qū)間變量的Hausdorff距離得以反映，而每個(gè)隸屬水平的影響則可以通過式(6)的加權(quán)形式得以提取，因此式(6)定義的2個(gè)模糊變量的Hausdorff距離可以在綜合隸屬水平和隸屬區(qū)間影響的基礎(chǔ)合理反映2個(gè)模糊變量的差異。式(7)定義的2個(gè)模糊向量的Hausdorff距離則是在累積了2個(gè)模糊向量中對應(yīng)維度上2個(gè)模糊變量Hausdorff距離的基礎(chǔ)上而得到的，因此也可以合理反映2個(gè)模糊向量的差異。為了度量輸入變量模糊分布參數(shù)對單輸出均值的影響，模糊效應(yīng)指標(biāo)[10]通過計(jì)算輸出性能均值響應(yīng)的無條件與有條件隸屬函數(shù)的差異的絕對值的全局靈敏度指標(biāo)。而基于Hausdorff距離的輸入變量模糊分布參數(shù)對單輸出均值的靈敏度指標(biāo)能夠在度量空間目標(biāo)距離的同時(shí)考慮空間目標(biāo)的整體形狀。

2 模糊不確定性條件下多輸出響應(yīng)對輸入變量的全局靈敏度指標(biāo)

首先,基于模糊變量Hausdorff距離給出單輸出全局靈敏度指標(biāo)的定義，通過Hausdorff距離來度量無條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)和條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)的差異，計(jì)算模糊輸入不確定性對輸出響應(yīng)不確定性的影響;然后,將單輸出全局靈敏度指標(biāo)推廣到多輸出情況，并對指標(biāo)的性質(zhì)進(jìn)行了分析，最后給出了所提指標(biāo)的求解方法。

2.1 單輸出響應(yīng)的全局靈敏度

假設(shè)響應(yīng)量函數(shù)為Z=g(X)，n維輸入X=[X1X2…Xn]為模糊變量，其隸屬函數(shù)為uXj(xj)(j=1,2,…,n)。無條件輸出響應(yīng)Z的隸屬函數(shù)為uZ(z)，uZ|Xj(z)為通過固定模糊輸入變量Xj的隸屬度αj得到的條件輸出響應(yīng)Z|Xj的隸屬函數(shù)。

無條件輸出響應(yīng)Z與條件輸出響應(yīng)Z|Xj之間的Hausdorff距離可以表征輸入變量Xj對模型輸出性能的影響。圖1所示為無條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)uZ(z)和固定Xj后條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)uZ|Xj(z)之間的差異。

下面給出單輸出情況下無條件輸出與有條件輸出的Hausdorff距離指標(biāo)：

H(Z,Z|Xj)=

(8)

圖1 模糊輸入變量對輸出性能的影響Fig.1 Effect of fuzzy input variables on output performance

HI(Z,Z|Xj)的值越大，表明無條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)與輸入變量Xj固定后條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)差異越大，即模糊輸入變量Xj的固定值對輸出響應(yīng)的影響越大。

當(dāng)Xj遍歷其所有模糊取值域時(shí)(也即Xj的隸屬水平αj遍歷區(qū)間[0,1])，它對輸出響應(yīng)的影響指標(biāo)δXj可定義為

(9)

2.2 多輸出響應(yīng)的全局靈敏度

假設(shè)m維多輸出響應(yīng)Z=[Z1Z2…Zm]，Zi=gi(X)(i=1,2,…,m)，其中n維輸入X=[X1X2…Xn]為模糊向量，隸屬函數(shù)為uXj(xj)(j=1,2,…,n)。依據(jù)多維模糊變量的Hausdorff距離的定義，并拓展單輸出下全局靈敏度的定義，可給出基于多維Hausdorff距離的如下Xj固定條件下的無條件多輸出Z與有條件多輸出Z|Xj的差異度量：

(10)

當(dāng)Xj遍歷其所有模糊取值域時(shí)，模糊輸入變量Xj對多輸出響應(yīng)Z的平均影響指標(biāo)可定義為

(11)

所提指標(biāo)具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1ηXj≥0。

證明：由于模糊向量的距離H(Z,Z|Xj)≥0，所以有ηXj≥0必然成立。

性質(zhì)2若模糊輸入變量獨(dú)立于多輸出響應(yīng)Z，則ηXj=0。

證明：當(dāng)Xj獨(dú)立于Z時(shí)，Xj取任意實(shí)現(xiàn)值，Z的隸屬函數(shù)將與Z|Xj的隸屬函數(shù)相同，因而H(Z,Z|Xj)=0，因此，ηXj=0。

2.3 求解無條件和條件輸出響應(yīng)隸屬函數(shù)

由上述δXj和ηXj的定義可知，求解它們中最重要的步驟是求uZi(zi)和uZi|Xj(zi)，它們的求解過程簡述如下：

步驟1無條件輸出響應(yīng)的隸屬函數(shù)uZi(zi)

3) 遍歷α∈[0,1]，即可求得輸出的隸屬函數(shù)uZi(zi)。

步驟2條件輸出響應(yīng)的隸屬函數(shù)uZi|Xj(zi)

4) 遍歷α∈[0,1]，即可求得Xj固定時(shí)條件輸出Zi|Xj的隸屬函數(shù)uZi|Xj(zi)。

步驟3ηXj的求解流程

基于模糊Hausdorff距離的輸入變量對多輸出響應(yīng)影響的全局靈敏度指標(biāo)的求解流程如圖2所示。

3 模糊分布參數(shù)對輸出統(tǒng)計(jì)特征的全局靈敏度指標(biāo)推廣

下文將所提指標(biāo)推廣到隨機(jī)輸入變量情況下其分布參數(shù)具有模糊性的情況，以分析該情況下模糊分布參數(shù)對輸出統(tǒng)計(jì)特征的影響。設(shè)輸入變量X的隨機(jī)特性由其聯(lián)合概率密度函數(shù)fX(X,θ)描述，即X～fX(X,θ)，且分布參數(shù)向量為θ=[θ1θ2…θk]具有模糊不確定性，其隸屬函數(shù)為：uθj(θj)(j=1,2,…,k)。顯然，在這種情況下模型多輸出響應(yīng)Z=g(X)=[g1(X)g2(X)…gm(X)] 的統(tǒng)計(jì)特征L=[L1L2…Lm]

圖2 輸入變量對多輸出響應(yīng)影響的全局靈敏度指標(biāo)求解過程Fig.2 Solution process for global sensitivity index used to measure effect of input variables on multivariate response

步驟1采用UT及Kriging相結(jié)合的方法建立L與θ的關(guān)系

1)θ樣本點(diǎn)產(chǎn)生

從θ的隸屬函數(shù)支撐域中均勻產(chǎn)生θ的Nθ個(gè)樣本點(diǎn)θP=[θP1θP2…θPk](P=1,2,…,Nθ)。

2)X樣本點(diǎn)產(chǎn)生

3)L樣本點(diǎn)的產(chǎn)生

4)L與θ的關(guān)系代理

利用樣本(θP,lP)(P=1,2,…,Nθ)由Kriging方法得到L=L(θ)的代理模型。

步驟2利用代理模型L=L(θ)和第2節(jié)方法分析θ對L的影響。

步驟3計(jì)算量討論 上述方法中原響應(yīng)模型Z=g(X)的調(diào)用次數(shù)為Nθ×Nt×m,該算法效率提高主要表現(xiàn)在采用了UT方法來計(jì)算輸出響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征，另外采用Kriging方法建立θ與L的關(guān)系也大大簡化了在步驟2求解θ對L影響指標(biāo)時(shí)因優(yōu)化計(jì)算而引起的模型調(diào)用。

4 算 例

4.1 算例1：含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式算例

單輸出性能的表達(dá)式為

Z(X)=X1+2X2+3X3+X1X2+

2X1X3+3X2X3

式中：b為隸屬函數(shù)的核;a和c為隸屬函數(shù)支撐集的下界和上界，輸入變量模糊分布參數(shù)見表1。

算例采用本文提出的基于模糊Hausdorff距離的輸入變量參數(shù)對單輸出影響指標(biāo)與文獻(xiàn)[10]提出的模糊效應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行對比，從而驗(yàn)證基于模糊Hausdorff距離單輸出全局靈敏度指標(biāo)的合理性，算例結(jié)果見表2。

表2計(jì)算結(jié)果可以看出模糊效應(yīng)指標(biāo)的重要性排序?yàn)棣铅?>ημ2>ημ1?ησ1(ησ2,ησ3)，基于Hausdorff距離全局指標(biāo)的重要性排序與模糊效應(yīng)指標(biāo)重要性排序相同，從而表明本文所提指標(biāo)的合理性。參數(shù)μ3的模糊不確定性對輸出均值影響最大，工程設(shè)計(jì)人員首先考慮μ3的不確定性。

基于Hausdorff距離全局靈敏度指標(biāo)的蒙特卡羅模擬(MCS)算法求解中，模型調(diào)用次數(shù)為N×M×(n+1)×Nα×m，N為設(shè)定的輸入變量X抽樣數(shù)，M為遍歷模糊分布參數(shù)θ的隸屬區(qū)間時(shí)的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)，n為模糊分布參數(shù)個(gè)數(shù)，Nα為遍歷隸屬水平α的取值數(shù)，m為輸出維度，本算例中N=105，M=20，n=6，Nα=13，m=1，模糊效應(yīng)指標(biāo)的模型調(diào)用次數(shù)為N×M×(n+1)×Nα，

表1 算例1中輸入變量模糊參數(shù)隸屬函數(shù)的參數(shù)信息

表2 算例1模糊變量分布參數(shù)對單輸出影響的全局靈敏度指標(biāo)結(jié)果

模糊效應(yīng)指標(biāo)中模型調(diào)用次數(shù)的參數(shù)與MCS算法的相同，算例中取同樣的數(shù)值；UT-Kriging方法模型調(diào)用次數(shù)為Nθ×Nt×m，其中Nθ=50，Nt=13，m=1，該算法大大的提高了計(jì)算效率。 MCS方法和UT結(jié)合Kriging代理模型方法(UT-Kriging)方法求解的單輸出靈敏度指標(biāo)結(jié)果絕對誤差數(shù)量級為10-3，并且2種算法得到的參數(shù)排序完全相同。輸入變量模糊分布參數(shù)對多輸出均值的基于Hausdorff距離的靈敏度指標(biāo)是由對單輸出影響的靈敏度拓展得到。下面算例定性分析所提模糊多輸出指標(biāo)的合理性。

4.2 算例2：線性算例

在此條件下，研究輸入變量模糊分布參數(shù)對輸出響應(yīng)均值的影響。表4給出了不同樣本數(shù)下分別用MCS和UT- kriging的求解結(jié)果。

從表中計(jì)算結(jié)果可知，2種算法的重要性排序ημ1>ημ2≥ησ1(ησ2)相同，這說明了本文提出的高效算法的正確性。其中μ1的靈敏度指標(biāo)最大，說明輸入變量X1均值參數(shù)不確定性對輸出均值響應(yīng)影響顯著，工程設(shè)計(jì)人員更應(yīng)該關(guān)注該參數(shù)，μ2相較于μ1影響較小，σ1和σ2對輸出均值響應(yīng)沒有影響。MCS方法中，模型調(diào)用次數(shù)大約為2.08×108次；UT-Kriging方法的模型調(diào)用次數(shù)為900次，大大的提高了計(jì)算效率。

表3 算例2中輸入變量模糊參數(shù)隸屬函數(shù)的參數(shù)信息

表4 算例2中MCS方法和UT-Kriging方法求解靈敏度指標(biāo)結(jié)果

另外，輸入變量參數(shù)隸屬函數(shù)的支撐集區(qū)間長度和功能函數(shù)中輸入變量的系數(shù)改變后，所得的模糊參數(shù)對輸出響應(yīng)均值影響的靈敏度進(jìn)行對比，定性分析所提多輸出全局靈敏度的合理性。首先假設(shè)輸入變量參數(shù)為獨(dú)立模糊數(shù)，二維輸出性能表達(dá)式不變。下面主要分3種情況討論支撐集區(qū)間長度變化后模糊參數(shù)對輸出響應(yīng)均值貢獻(xiàn)的影響，3種情況下輸入變量分布參數(shù)具有相同的隸屬函數(shù)，第2種和第3種情況中輸入變量分布參數(shù)的支撐集依次擴(kuò)大10倍，輸入變量分布參數(shù)對輸出響應(yīng)均值影響的靈敏度見表5。

表5中從第2種情況到第3種情況支撐集依次擴(kuò)大10倍，無條件多輸出隸屬函數(shù)與固定輸入變量參數(shù)后多輸出隸屬函數(shù)的Hausdorff距離變大，輸入變量參數(shù)對輸出響應(yīng)均值貢獻(xiàn)的數(shù)值擴(kuò)大10倍，但是輸入變量參數(shù)對輸出響應(yīng)均值影響的重要性排序沒有改變，從而驗(yàn)證了該指標(biāo)能夠正確反映輸入變量參數(shù)不確定性對輸出響應(yīng)均值影響程度，所以本文所提的指標(biāo)是合理的。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提指標(biāo)的合理性，假設(shè)輸入變量模糊分布參數(shù)核都為1，支撐集都為[0,2]，二維輸出性能表達(dá)式見表6第1、2列，改變功能函數(shù)的系數(shù)分為3種情況，輸入變量參數(shù)對輸出響應(yīng)均值的貢獻(xiàn)的影響結(jié)果見表6。

表5 模糊不確定性的變化對多輸出靈敏度指標(biāo)的影響

表6 輸入變量系數(shù)變化對多輸出靈敏度指標(biāo)的影響

表6中第1種情況中變量x1和x2的參數(shù)服從相同的模糊分布，而且其系數(shù)和次數(shù)在2個(gè)功能函數(shù)中相同，因此變量x1的參數(shù)對輸出響應(yīng)均值的影響與變量x2的參數(shù)對輸出響應(yīng)均值的影響相同。表6的計(jì)算結(jié)果表明變量x1的均值和方差對輸出響應(yīng)均值的影響與變量x2的均值和方差對輸出響應(yīng)均值的影響分別基本相同，從而證明本文所提指標(biāo)的合理性。第2種情況中輸出表達(dá)式1變量x1的系數(shù)為10，從而其均值的模糊不確定性對輸出響應(yīng)均值的影響變大，同理第3種情況中變量x1的系數(shù)變大也導(dǎo)致均值對輸出響應(yīng)均值影響變大，結(jié)果再次表明所提指標(biāo)的合理性。

4.3 算例3：非線性算例

二維非線性輸出的表達(dá)式為

根據(jù)模型函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算得到模糊分布參數(shù)對多輸出響應(yīng)均值的靈敏度指標(biāo)結(jié)果見表8。

表7算例3中各輸入變量模糊參數(shù)隸屬函數(shù)參數(shù)信息

Table7ParametersinformationofthemembershipfunctionofinputfuzzyvariablesinExample3

iμiσibμi[aμi，cμi]bσi[aσi，cσi]12[1．8，2．2]0．2[0．15，0．25]212[10，14]1．2[1．0，1．4]35[4，6]0．05[0．025，0．075]

表8 算例3中MCS方法和UT-Kriging方法求解靈敏度指標(biāo)結(jié)果

從表8可得出，UT-Kriging方法和MCS計(jì)算方法得到的模糊分布參數(shù)對輸出響應(yīng)均值貢獻(xiàn)的排序一致。其中μ3對輸出響應(yīng)均值的影響最大，μ2對輸出影響次之，其余的參數(shù)對輸出影響很小。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或者優(yōu)化設(shè)計(jì)中若以輸出的均值為目標(biāo)，首先應(yīng)考慮不確定性影響最大的分布參數(shù)，提高設(shè)計(jì)的效率。此外，當(dāng)靈敏度指標(biāo)求解結(jié)果達(dá)到精度要求時(shí)，MCS方法調(diào)用模型次數(shù)為3.64×108，UT-Kriging代理模型方法只需調(diào)用1 300次， 極大地提高了計(jì)算效率。

4.4 算例4：工程算例

考慮圖3所示的機(jī)翼的九盒段結(jié)構(gòu)，它由64個(gè)桿元件和42個(gè)板元件構(gòu)成，材料為鋁合金。已知外載荷與各個(gè)單元的強(qiáng)度均為隨機(jī)變量，由失效模式的枚舉方法可求得結(jié)構(gòu)體系的主要失效模式有2個(gè)，其功能函數(shù)為

Z1=4.0R78+4.0R68-3.999 8R77-P

Z2=0.229 9R78+3.242 5R77-P

表10結(jié)果表明MCS方法和UT-Kriging方法得到的輸入均值的模糊分布參數(shù)對輸出響應(yīng)均值的影響排序一致。對輸出響應(yīng)均值貢獻(xiàn)較大的是R77單元強(qiáng)度的均值不確定性，外載荷P的均值不確定性對輸出均值響應(yīng)影響最小，各方法的求解結(jié)果達(dá)到精度要求時(shí)，相較于MCS方法2.6×108的模型調(diào)用次數(shù)，基于UT的Kriging代理模型法調(diào)用模型次數(shù)很少，僅需要900次，極大提高了計(jì)算效率。

圖3 九盒段結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Diagram of nine-box structure

表9 九盒段結(jié)構(gòu)各輸入變量模糊參數(shù)隸屬函數(shù)參數(shù)信息

表10 工程算例中MCS方法和UT-Kriging方法求解靈敏度指標(biāo)結(jié)果

通過上述的算例的模糊分布參數(shù)對輸出響應(yīng)特征的靈敏度分析，可以得到影響輸出特征的分布參數(shù)的重要性排序。調(diào)整靈敏度指標(biāo)較大的變量分布參數(shù)可以引起輸出響應(yīng)特征較大的變化，從而可以較快地實(shí)現(xiàn)所需要達(dá)到的輸出性能。而靈敏度指標(biāo)較小的分布參數(shù)因?qū)敵鎏卣鞯挠绊戄^小，在設(shè)計(jì)中可以忽略其不確定性的影響，進(jìn)而達(dá)到降低設(shè)計(jì)過程中模糊不確定性維度的目的，以減小設(shè)計(jì)復(fù)雜度并提高設(shè)計(jì)的效率。

5 結(jié) 論

1) 本文研究了模糊不確定作用下的多輸出全局靈敏度的度量方法。根據(jù)已有的單維模糊變量間距離的定義，推廣得到了多維模糊向量之間的距離，并給出了模糊向量距離的定義以及性質(zhì)。

2) 基于此，從無條件多輸出響應(yīng)量和模糊輸入固定后的條件多輸出響應(yīng)量的Hausdorff距離來度量條件模糊輸入變量對多輸出的影響出發(fā)，建立了綜合衡量模糊輸入變量對多輸出響應(yīng)的影響的全局靈敏度指標(biāo)，并進(jìn)一步將所提指標(biāo)用于分析模糊分布參數(shù)對多數(shù)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征的影響。

3) 文中詳細(xì)給出指標(biāo)的求解方法，并建立了隨機(jī)輸入變量的模糊分布參數(shù)對多輸出響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征值影響分析的UT-Kriging方法。該算法避免了MCS方法的雙重優(yōu)化計(jì)算，大大降低了調(diào)用多輸出響應(yīng)函數(shù)的次數(shù)，提高了計(jì)算效率。

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GlobalsensitivityanalysismethodformultivariateoutputbasedonfuzzyHausdorffdistance

FANChongqing,LYUZhenzhou*

SchoolofAeronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

Tomeasuretheeffectsofthemodelfuzzyinputsontheperformanceofthemodeloutputs,theglobalsensitivityindex(GSI)basedonfuzzyvectorHausdorffdistanceisproposed.IntheproposedGSI,theHausdorffdistanceisusedtomeasurethedifferencebetweentheconditionalmodeloutputsandtheunconditionalmodeloutputswhilethefuzzyinputisfixed.Basedontheweightedaverageofthedifference,theglobalsensitivityindexevaluatingtheeffectsofthefuzzyinputonthemodeloutputsisestablished.TheproposedGSIisalsoextendedtotheconditionthatthedistributionparametersoftherandominputshavefuzzyuncertainty,andisusedtomeasuretheeffectsoffuzzydistributionparametersonthestatisticalcharacteristicsoftherandommodeloutput.AnefficientsolutiontoevaluationoftheeffectsofthefuzzydistributionparametersonthemeanofthemodeloutputsisestablishedbycombiningtheunscentedtransformationwiththeKrigingmeta-model.TheaccuracyandefficiencyoftheproposedmethodisdemonstratedbysomeexamplesaftertheprocedureofthesolutionfortheproposedGSIispresentedindetail.

Hausdorffdistance;multivariateoutput;fuzzyuncertainty;sensitivity;Kriging

2016-10-19；Revised2017-04-01；Accepted2017-06-06;Publishedonline2017-06-121142

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171011.html

s：NaturalScienceFoundationofChina(51475370);theFundamentalresearchfundsforthecentraluniversities(3102015BJ(Ⅱ)CG009)

.E-mailzhenzhoulu@nwpu.edu.cn

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.120870

V215.7

A

1000-6893(2017)10-220870-10

2016-10-19；退修日期2017-04-01；錄用日期2017-06-06；< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

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國家自然科學(xué)基金(51475370)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金(3105015BJ(Ⅱ)CG009)

.E-mailzhenzhoulu@nwpu.edu.cn

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(責(zé)任編輯：張晗)