重慶外國語學(xué)校 周云龍

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在考試評(píng)價(jià)中的體現(xiàn)

重慶外國語學(xué)校 周云龍

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。這些核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體。 評(píng)價(jià)是數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒，如果評(píng)價(jià)不變，教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方法的改變是很難實(shí)現(xiàn)的，再好的教育理念也無法得到落實(shí)。2017年數(shù)學(xué)高考全國卷以能力立意，滲透核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)成為高考的熱詞，因此，從學(xué)科核心素養(yǎng)的角度分析高考試題，對(duì)以后的教育教學(xué)工作有重要的現(xiàn)實(shí)意義。 本文以2017年數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)理科卷2為例，談一談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在考試評(píng)價(jià)中的體現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。 主要包括：從數(shù)量到數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。

數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性的學(xué)科，研究對(duì)象是由現(xiàn)實(shí)世界抽象而來，通過數(shù)學(xué)抽象，形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，產(chǎn)生數(shù)學(xué)命題和模型，催生數(shù)學(xué)思想與方法，最終形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與理論體系。 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征一般性，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。

例1 （2017年全國新課標(biāo)卷2，3題）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

我們從斜拋運(yùn)動(dòng)、恩格爾系數(shù)與年份等情景中抽象出函數(shù)概念，并研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、三角函數(shù)等都可以在函數(shù)的高度統(tǒng)一起來，讓學(xué)生可以用數(shù)學(xué)的眼光來觀察現(xiàn)實(shí)世界。 本題就是以數(shù)學(xué)文化為背景，從詩歌中抽象出數(shù)學(xué)問題，使用等比數(shù)列解決問題，是數(shù)學(xué)抽象的典型體現(xiàn)。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程。 主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

數(shù)學(xué)發(fā)展主要依賴的就是邏輯推理，通過邏輯推理得到數(shù)學(xué)命題和結(jié)論。 推理就是從命題判斷到命題判斷的思維過程；邏輯推理，就是從一些前提或事實(shí)出發(fā)，根據(jù)一定的規(guī)則得到或者驗(yàn)證命題的思維過程。 邏輯推理保證了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

例2 （2017年全國新課標(biāo)卷2，7題）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績?？春蠹讓?duì)大家說：我還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息，則（ ）

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

解：總共2優(yōu)2良，甲說了之后——乙、丙成績1優(yōu)1良，甲、丁成績1優(yōu)1良，根據(jù)甲給的信息列出下表：

甲乙丙丁甲（知） √ √乙（知） √ √丙（知）?。ㄖ?√ √

故有乙知道丙，所以知道乙，丁知道甲，所以知道丁，故選D。

本題沒有公式、沒有原理、沒有運(yùn)算、沒有成熟的解題套路，需要的只是學(xué)生的邏輯推理能力，用數(shù)學(xué)的思維來思考現(xiàn)實(shí)世界。這種通過所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)獲得解決問題的方法，并能用來解決生活實(shí)際中遇到的問題，正是邏輯推理這一核心素養(yǎng)的魅力所在。此外，還有題目20，第（1）問以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為依托，根據(jù)線段間向量關(guān)系求軌跡方程；第（2）問根據(jù)動(dòng)直線相互垂直證明直線過定點(diǎn)，重點(diǎn)考查思維的靈活性和綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。同時(shí)還有題目21等，都是經(jīng)典的邏輯推理考題。

2017年修訂后的數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱削枝強(qiáng)干，加強(qiáng)主體內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)理性思維的考查。故本卷把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，考查學(xué)生的縝密思維、嚴(yán)格推理能力。創(chuàng)新題目設(shè)計(jì)，運(yùn)用日常生活語言和情境考查邏輯推理能力，在7題、20題、21題中體現(xiàn)明顯。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，在現(xiàn)代社會(huì)，幾乎所有的學(xué)科在科學(xué)化的過程中都要使用數(shù)學(xué)語言，通過建立數(shù)學(xué)模型刻畫研究對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的廣泛性。

例3 （2017年全國新課標(biāo)卷2，5題） 設(shè)x，y滿足約束條件

A.-15 B.-9 C.1 D.9

解：把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，繪制不等式組表示的可行域，如圖1所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值：，故選A。

圖1

利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際應(yīng)用問題，首先要正確理解題意，分析條件和結(jié)論，理順關(guān)系；其次建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，將文字語言、圖形或數(shù)據(jù)表格轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程。 主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，涉及運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。

數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，也是屬于邏輯推理的一種形式，故數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理往往交融在一起，共同考查。

例4 （2017年全國新課標(biāo)卷2，21題） 已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值，解決函數(shù)值的范圍問題，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。數(shù)學(xué)離不開運(yùn)算，運(yùn)算包括對(duì)數(shù)值的計(jì)算，估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合與分解，對(duì)幾何圖形形與量的計(jì)算等。運(yùn)算準(zhǔn)確、快速，思維嚴(yán)謹(jǐn)和步驟完整是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本要求，數(shù)學(xué)運(yùn)算是邏輯推理的保證，是高中數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)。

五、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。 主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

直觀想象是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。 直觀想象和數(shù)學(xué)抽象關(guān)系密切，往往交融在一起考查。

解：以BC邊所在直線為x軸，過A垂直于BC的直線為y軸，建立如圖2所示的坐標(biāo)系：

圖2

本題利用幾何直觀賦予向量以坐標(biāo)，把向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而可以快速解出。通過直觀想象，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。此外，還有題目10、題目19等涉及直觀想象。

六、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，從而形成知識(shí)的過程。 主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷獲得結(jié)論。

數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模關(guān)系密切，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代生活和科學(xué)研究的各個(gè)方面。

例6 （2017年全國新課標(biāo)卷2，18題）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：

圖3-1

圖3-2

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的網(wǎng)箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；

（2）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為網(wǎng)箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)網(wǎng)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01），

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg 合計(jì)舊養(yǎng)殖法 62 38 100新養(yǎng)殖法 34 66 100合計(jì) 96 104 200

（2）

（3）新養(yǎng)殖法中，30～50的頻率為0.34，所以中位數(shù)估計(jì)為

采集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，從復(fù)雜數(shù)據(jù)中提煉出有效信息，提升數(shù)據(jù)處理能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)分析表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

2017年數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)理科2卷遵循課標(biāo)要求，以知識(shí)為載體，以思維能力為核心，全面考查學(xué)生的推理論證、運(yùn)算、空間想象、數(shù)據(jù)處理以及應(yīng)用和創(chuàng)新能力。全卷加強(qiáng)對(duì)理性思維的考查，突出選拔性，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用能力的考查，增強(qiáng)實(shí)踐性，考查通法通解，凸顯創(chuàng)新性。試題堅(jiān)持能力立意為原則，體現(xiàn)了對(duì)“核心素養(yǎng)”的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和理性價(jià)值。

核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中該如何落實(shí)呢？把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流；使學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)；積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是培養(yǎng)：具備數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的人；具備邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界的人；具備數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的人。我們?nèi)沃氐肋h(yuǎn)。

[1]史寧中.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評(píng)價(jià)與教學(xué)實(shí)施[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2017（5）：4-9.

[2]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題[J].課程教材教法，2015（9）：36-39.

[3]沈婕，傅劍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的考生水平評(píng)價(jià)分析及教學(xué)建議[J].考試研究，2017（2）：12-22.

[4]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008：1.