黎麗娟

摘要：從一道課本復習題引發(fā)對練習不同表現(xiàn)形式的教學探索，引導學生去發(fā)現(xiàn)，進而掌握本質，在獲得成功的同時，激發(fā)學生的學習興趣，促使各個層次的學生都能得到一定的發(fā)展。

關鍵詞：發(fā)現(xiàn)；變式；數(shù)形結合

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）08-0122

波利亞曾說過，一個專心備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發(fā)掘問題的多個方面，使通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。

但是，教學實踐又告訴我，學生并不喜歡被教師牽著鼻子走，因為興趣才是最好的老師。如何讓學生打開那道門戶呢？

按照新課程標準“面向全體學生，立足雙基”的要求，從學生認知能力和思維能力的最近區(qū)域出發(fā)，充分發(fā)揮學生的主體意識，發(fā)現(xiàn)問題，從特殊到一般，探索規(guī)律，總結經驗，力求達到層層遞進、分解難度，在獲得成功的同時，激發(fā)學生的學習興趣，促使各個層次的學生都能得到一定的發(fā)展。

現(xiàn)在以浙教版八下P156練習8的教學為例來說明，讓學生自己發(fā)現(xiàn)：數(shù)學并不神秘，只要我們立足基礎，雖然橫看成嶺側成峰，但透過層層迷霧，能夠發(fā)現(xiàn)它的本來面目，增強學習的自信，拓寬知識面，改進自己的認知！

原題：在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上，有點P1、P2、P3、P4，它們的橫坐標分別是1、2、3、4，分別過這些點作x軸、y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次記為s1、s2、s3，則s1+s2+s3= 。

本題主要考查了y=■反比例函數(shù)中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為k，是經常考查的知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義，并在解題過程中結合所給的條件，充分挖掘使用相應的解題技巧。

一、立足雙基，梳理知識點

解決問題首先要從學生的認知能力和思維能力的最近區(qū)域出發(fā)，符合學生學情。

知識點：

設P（x，y）是反比例函數(shù)y=■圖像上的任一點，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足為A，

則（1）OPA的面積=■OA·PA=■xy=■k

（2）矩形OAPB的面積=OA·PA=xy=k

這就是比例系數(shù)K的幾何意義，并且無論P如何移動，OPA的面積和矩形OAPB的面積都保持不變。

二、預設問題，做準備工作

要求學生利用K的幾何意義，充分思考。

問題：對于反比例函數(shù)y=■，

1. S1與S2的大?。?/p>

2. 當0A1=A1A2時，S3與S2的大小？

問2的設計意圖：既承接原題的相鄰橫坐標等距的意思，又為變式拓展時的表述的正確理解做鋪墊。凸顯這個條件的重要性，讓學生更加有效地理解題目。

三、一題多解，把握其本質

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關系，用不同的解法求得相同結果的思維過程。教學中適當?shù)剡\用一題多解，可以激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造的強烈愿望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數(shù)學思想和數(shù)學方法的嫻熟應用。

解原題：由題意，可知點P1、P2、P3、P4的坐標為：（1，2）、（2，1）、（3，■），（4，■）

解法一：

∵s1=1×（2-1）=1，s2=1×（1-■）=■，

s3=1×（■-■）=■

∴s1+s2+s3=1+■+■=■

學生取名累加法

解法二：

∵圖中所構成的陰影部分的總面積正好是從P1向x軸、y軸引垂線構成的長方形面積減去最下方的長方形的面積，

∴1×2-■=■，

故答案為：■。

學生取名推積木法

總結：

解法一用到了函數(shù)基本技能：求點坐標，再結合圖形求解。

解法二由圖形的特點入手，通過圖形的平移變換變成一個矩形，再利用坐標計算。兩種方法都體現(xiàn)出了數(shù)形結合在解此類問題的優(yōu)勢，并且讓學生體會這些基本解題經驗。

四、變式訓練，橫側皆看清

變式訓練的目的是對一道題或聯(lián)想，或類比，或推廣，可以得到一系列的新題，甚至得到更一般的結論，從而增強學生的應變能力和解題的信心，是減少題海戰(zhàn)術的好方法，并培養(yǎng)了學生學會如何真正吃透題目，同時還要堅持以學生為主體，教師作為組織和引導的角色。

積極引導學生發(fā)現(xiàn)原題中的一些特定的數(shù)據(jù)和順序，可以改變嗎？改變后還有相關結論嗎？你能給出解答嗎？

學生1：發(fā)現(xiàn)例題的橫坐標間隔都是1，可以改變嗎？

變式1：改變特殊條件為一般條件（例題的橫坐標間隔都是1

橫坐標間隔等距）

過在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上的點P1、P2、P3…Pn、Pn+1分別作x軸、y軸的垂線段，在軸的垂足分別為A1、A2、A3…An、An+1，構成若干個矩形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…如圖所示，將陰影部分的面積從左到右依次為s1、s2、s3…sn，則= s1+s2+s3+…+sn=

（用含n的代數(shù)式表示）

解：設=OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a

則P1（a，2/a），P2（2a，2/2a）

Pn（na，2/na），Pn+1（（n+1）a，2/（n+1）a），

解法一：累加法

s1+s2+s3+…+s=a（2/a-2/（n+1）a）=2n/n+1

解法二：推積木法endprint

目的：進行知識的正遷移。體現(xiàn)數(shù)學從特殊到一般的探究式的自主學習方式。學生解決。

學生2：那么不等距呢？

變式2：橫坐標間隔等距 不等距

（新編）在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上，S1+S2+S3= 。

學生發(fā)現(xiàn)：原式=s1+2s2+s3，可以單個計算，累加。學生解決。

學生3：發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)是確定的。

變式3：進一步改變特殊條件為一般條件（比例系數(shù)k如果也不知道呢？）

把變式1中的反比例函數(shù)改成（y=■>0）？

發(fā)現(xiàn)兩種解法照樣可以解決：s1+s2+s3+…+sn=Kn/n+1

學生發(fā)現(xiàn)有些問題，哪怕變成一般條件，照樣能夠找到規(guī)律和一般結論。學生解決。

學生4：一定要第1個加到最后一個嗎？

變式4：改變結論（取部分的和）

（改編）反比例函數(shù)改成（y=■>0），OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…

當k=8時，s2+s3= 。

這個問題有一定難度，需要在找到規(guī)律的同時，學生合作解決！

學生5：能把條件和結論換個位置嗎？

變式5：改條件為結論，結論為條件。

（新編）當s2+s3=5時，k等于多少？（知識負遷移）

效果：激發(fā)學生的逆向思維，主動運用方程思想，解決問題的能力。合作解決。

學生6：一定要是矩形嗎？

變式6：從矩形變成三角形

（改編）在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上，若OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…現(xiàn)分別過點A1、A2、A3、…An、An+1…作x軸的垂線段，交反比例函數(shù)圖像于點P1、P2、P3、P4、P5構成若干個三角形，如圖所示，將陰影部分的面積從左到右依次記為s1、s2、s3、s4、s5，已知s4=2，則s1= 。

解：再次探究規(guī)律，sn=■。

∵s4=■=2

∴k=16，s1=■=8

發(fā)現(xiàn)是什么？發(fā)現(xiàn)是一切智慧的起源！只有敢于發(fā)現(xiàn)的人，才有獲得新知識的動力。在教學中，我們需要讓學生發(fā)現(xiàn)問題，并引導他們如何去改變，獲得更多的、更完整的處理問題的經驗。

在探究過程中，我發(fā)現(xiàn)學生發(fā)現(xiàn)的并不比我們少，有弱化條件的，有改變圖形的，有找規(guī)律的，也有求特殊的，甚至有學生問“會不會有動點問題？”這些發(fā)現(xiàn)和改變無疑都是很精彩的。

（作者單位：浙江省紹興市上虞區(qū)張杰中學 312000）endprint