沈中宇，鄒佳晨，汪曉勤

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ICME-13之HPM專題研究綜述

沈中宇1，鄒佳晨2，汪曉勤2

（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，上海 200062）

第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會的TSG 25是HPM研究組．此研究組一共有38個(gè)報(bào)告，報(bào)告的主題可以分為7類．從中可總結(jié)出國際HPM研究的特點(diǎn)有：重視理論基礎(chǔ)；研究方法規(guī)范；多元文化交融．對中國HPM研究的啟示有：構(gòu)建理論框架，重視本土特色；規(guī)范研究方法，注重實(shí)證研究；關(guān)注多元文化，加強(qiáng)國際交流；豐富教學(xué)方式，開拓第二課堂．

ICME-13；HPM；特點(diǎn)；啟示

國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME）是國際數(shù)學(xué)教育委員會（簡稱ICMI）最重要的活動之一，每4年召開一次，第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-13）于2016年7月24—31日在德國漢堡的漢堡大學(xué)和漢堡會議中心舉行．會議共有54個(gè)專題研究組（Topic Study Group，簡稱TSG），其中TSG 25的主題是“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”，即通常所說的HPM（History and Pedagogy of Mathematics）．

HPM專題研究組在ICME中有著較長的歷史，在1976年德國卡爾斯魯厄舉行的ICME-3中，根據(jù)提議，ICMI執(zhí)行委員會在它隨后的會議中開設(shè)了這一研究小組[1]．而在中國，自從2005年第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研討會召開以后，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用日益受到關(guān)注．據(jù)統(tǒng)計(jì)，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2010年后載文下載頻次前20的論文中，就有6篇與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)教育的作用有關(guān)[2]．雖然國內(nèi)的HPM研究文獻(xiàn)日益增多，但研究水平仍有待提高；研究者需要有國際視野，及時(shí)了解國際HPM研究動態(tài)，從中汲取經(jīng)驗(yàn)與啟示[3]．

有鑒于此，這里對TSG 25的所有報(bào)告內(nèi)容進(jìn)行綜述和分析，試圖回答以下問題：TSG 25的報(bào)告涉及哪些研究內(nèi)容？有何特點(diǎn)？對HPM研究與HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐有何啟示？

1 TSG 25基本情況概述

1.1 TSG 25的目標(biāo)和理念

TSG 25的目標(biāo)在于建立一個(gè)學(xué)術(shù)論壇，讓來自世界各地的研究者分享他們的研究興趣、研究結(jié)果和國際化的思想，包括數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論探討、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和實(shí)證研究，并讓他們從交流和研討中獲得豐厚的回報(bào)；同時(shí)，也激發(fā)年輕學(xué)者對HPM領(lǐng)域的研究興趣．TSG 25的討論包括所有層次的教育，從小學(xué)到大學(xué)，包括在職教師的培訓(xùn)．

TSG 25的理念是：數(shù)學(xué)是人類智慧的寶庫，有著漫長的歷史與充滿活力的今天，因此，數(shù)學(xué)知識不僅由其演繹結(jié)構(gòu)所決定，也受到原始動機(jī)的引導(dǎo)，這對數(shù)學(xué)知識的理解是不可或缺的．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不僅僅意味著學(xué)習(xí)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識，還需要了解知識背后潛在的動機(jī)、數(shù)學(xué)家的活動與反思過程．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要給予學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會．獲取數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)和了解知識的產(chǎn)生過程都應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心．

因此，在數(shù)學(xué)教育中，認(rèn)識到數(shù)學(xué)具有以下的特征是非常重要的：不同的文化都對數(shù)學(xué)的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)；數(shù)學(xué)與其他科學(xué)、哲學(xué)、藝術(shù)和技術(shù)都有著密切的聯(lián)系；隨著時(shí)間的推移，關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”，已經(jīng)產(chǎn)生過很多不同的觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)是刺激和支持科學(xué)技術(shù)、藝術(shù)和社會發(fā)展的永恒力量．

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育有助于在學(xué)生中建立科學(xué)與人文的聯(lián)系，這對今日數(shù)學(xué)教育尤為重要．通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生既要獲得技術(shù)知識，也要接受博雅教育．

1.2 TSG 25的主題

TSG 25圍繞以下6個(gè)主題展開：（1）數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的理論或概念框架；（2）歷史與認(rèn)識論在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用：課堂實(shí)驗(yàn)和教學(xué)材料；（3）數(shù)學(xué)課程或教科書中的數(shù)學(xué)史調(diào)查；（4）課堂上的原始素材及其教學(xué)效果；（5）在數(shù)學(xué)教學(xué)中將歷史和認(rèn)識論作為一個(gè)跨學(xué)科的方法來揭示數(shù)學(xué)和科學(xué)的密切聯(lián)系；（6）文化和數(shù)學(xué)的交融．

2 TSG 25的內(nèi)容簡述與分析

在TSG 25中，來自17個(gè)國家的學(xué)者共作了34個(gè)報(bào)告，其中16個(gè)為常規(guī)報(bào)告、18個(gè)為口頭交流報(bào)告，另外還有4份海報(bào)．常規(guī)報(bào)告的時(shí)間為15分鐘，外加5分鐘討論；口頭報(bào)告的時(shí)間為10分鐘，外加5分鐘討論．海報(bào)則在所有TSG的海報(bào)環(huán)節(jié)展示．

這些報(bào)告均符合TSG 25的6個(gè)主題中一個(gè)或多個(gè)主題，為了更清晰地展示各報(bào)告的內(nèi)容，將其重新分成以下7類[4-6]，這7類涵蓋了會議的6個(gè)主題且每個(gè)報(bào)告均屬于這7類中的1類．

第1類：HPM理論探討；

第2類：教育取向的數(shù)學(xué)史研究；

第3類：歷史相似性實(shí)證研究；

第4類：教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)；

第5類：HPM與教師專業(yè)發(fā)展；

第6類：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材研究；

第7類：技術(shù)與HPM．

圖1給出了各類主題的分布．

圖1 38個(gè)報(bào)告中各類主題的頻數(shù)分布

從圖1可見，有關(guān)教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)、HPM與教師專業(yè)發(fā)展和教育取向的數(shù)學(xué)史研究的報(bào)告占了73.7%．

2.1 HPM理論探討

在HPM的理論層面，需要解決“為何”與“如何”問題，即數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育方方面面的關(guān)聯(lián)以及數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用方式．有3個(gè)常規(guī)報(bào)告和兩個(gè)口頭報(bào)告聚焦理論探討．

來自德國的Weiss-Pydstrygach在報(bào)告中指出，數(shù)學(xué)史有助于再現(xiàn)代數(shù)概念的幾何背景，彌補(bǔ)代數(shù)教學(xué)中的背景缺失．報(bào)告呈現(xiàn)了霍納法的豐富幾何背景，說明這些幾何背景可以促進(jìn)和完善學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解[7]．

來自墨西哥的Fonseca在報(bào)告中追溯了1980年代在墨西哥數(shù)學(xué)教育界興起的社會認(rèn)識論．該理論強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)知識是由社會建構(gòu)而不是由學(xué)校創(chuàng)造的，學(xué)校系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)知識改變了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)形式；數(shù)學(xué)知識的社會建構(gòu)是一個(gè)從個(gè)體對數(shù)學(xué)對象的直接行動開始到人類的社會活動、到社會中的反復(fù)實(shí)踐、再到作為材料和思想形態(tài)的呈現(xiàn)、最后到社會實(shí)踐的管理這一嵌套的過程．社會認(rèn)識論關(guān)注知識的4個(gè)維度——社會與文化、認(rèn)識論、認(rèn)知和教學(xué)，將知識視為一個(gè)動態(tài)發(fā)展的過程[8]．該理論為HPM理論與實(shí)踐研究提供了參考．

來自丹麥的Kjeldsen和Johansen在報(bào)告中以卡丹（Cardano，1501—1576）的數(shù)學(xué)問題以及冪的現(xiàn)代理論說明，代數(shù)符號作為一種認(rèn)知工具，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要作用．作者建議，可以通過列出清晰的學(xué)習(xí)目標(biāo)、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)單進(jìn)行相關(guān)主題的教學(xué)[9]．

來自丹麥的S?rensen在報(bào)告中鑒于教師選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的困難，提出了一個(gè)史料選擇和開發(fā)的框架——從篇幅、語言和層次3個(gè)角度選擇歷史素材，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)將數(shù)學(xué)史作為背景或內(nèi)容的支持[10]．作者又提出基于課程的數(shù)學(xué)史開發(fā)流程——從原始材料到丹麥語翻譯、再到情境化、潤飾和評論，最后給出教學(xué)建議．

洪燕君以三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)為例，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐模式——高校HPM研究團(tuán)隊(duì)與中學(xué)一線教師開展合作，以及具體流程——按準(zhǔn)備、設(shè)計(jì)、實(shí)施和評價(jià)4個(gè)步驟實(shí)施教學(xué)[11]．

5個(gè)報(bào)告分別討論數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值、社會認(rèn)識論與HPM之間聯(lián)系、教育取向的數(shù)學(xué)史料的開發(fā)流程以及數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施方法．

2.2 教育取向的數(shù)學(xué)史研究

教育取向的數(shù)學(xué)史研究是以服務(wù)教育為目的，針對數(shù)學(xué)課程中涉及的概念、公式、定理、問題的歷史所進(jìn)行的文獻(xiàn)研究．該主題有一個(gè)常規(guī)報(bào)告、3個(gè)口頭報(bào)告和兩份海報(bào)，內(nèi)容涵蓋小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)3個(gè)學(xué)段．

來自墨西哥的Vásquez鑒于學(xué)生學(xué)習(xí)加減法存在的困難，強(qiáng)調(diào)教學(xué)活動背后的現(xiàn)實(shí)與文化背景的重要性，因此對歷史上的加減算法進(jìn)行了考察[12]．馬來西亞的Aisah在海報(bào)中鑒于學(xué)生認(rèn)識負(fù)數(shù)存在困難，對負(fù)數(shù)在東西方被人們接受的歷史過程作了探討，并揭示了文化對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響[13]．

來自德國的Sternemann在報(bào)告中對e的歷史進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)雅各·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）并沒有像人們通常認(rèn)為的那樣發(fā)現(xiàn)了e，50年后的歐拉（L. Euler，1707—1783）才發(fā)現(xiàn)了該常數(shù)，教師可以從歷史素材中獲得教學(xué)啟示[14]．突尼斯的Mrabet在報(bào)告中討論了泰勒斯定理的歷史，并提出若干教學(xué)建議[15]．印度的Arora在海報(bào)中考察了印度《繩法經(jīng)》中的有關(guān)材料及其教育價(jià)值[16]．

來自美國的Lodder的報(bào)告考察了“網(wǎng)絡(luò)圖和生成樹”的歷史，并從作為工具的數(shù)學(xué)史、認(rèn)知迷惑、目標(biāo)層次與元層次4個(gè)方面對史料的運(yùn)用進(jìn)行了分析[17]．

2.3 歷史相似性研究

歷史相似性研究，是指根據(jù)歷史發(fā)生原理，將學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程相對照．只有一個(gè)常規(guī)報(bào)告聚焦歷史相似性的實(shí)證研究．西班牙的Sanz首先考察了歷史上有關(guān)分?jǐn)?shù)的文字題以及不同時(shí)空數(shù)學(xué)家（如斐波那契（Fibonacci，1175—1250）、Aurel、歐拉等）的解法．讓學(xué)生解同樣的問題，作者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生偏愛代數(shù)解法而非算術(shù)解法，因而并未顯示出歷史相似性．不過，作者指出，歷史上數(shù)學(xué)家的解法對于從算術(shù)到代數(shù)過渡階段的教學(xué)仍然具有重要啟示[18]．

從上述報(bào)告可見，雖然前人對學(xué)生從算術(shù)到代數(shù)過渡的歷史相似性已做過不少研究，但仍然存在進(jìn)一步研究的空間．

2.4 教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)

教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)是指將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探究，此主題是TSG 25的熱點(diǎn)之一，共有6個(gè)常規(guī)報(bào)告、6個(gè)口頭報(bào)告和一份海報(bào)涉及該主題，涵蓋了小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)不同學(xué)段．

來自希臘的Tsiapou選取中國數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中的問題以及劉徽的事跡，對希臘的小學(xué)生開展相關(guān)的教學(xué)活動，教學(xué)實(shí)踐表明，這些活動有助于學(xué)生數(shù)學(xué)觀的改變[19]．

來自西班牙的Guevara在報(bào)告中指出，可以利用幾何直觀來學(xué)習(xí)代數(shù)．作者分析了劉徽《九章算術(shù)》注和花拉子米（Al-Khwarizmi，約780—850）《代數(shù)學(xué)》中的一元二次方程解法的潛在價(jià)值，并按Giardino的步驟，讓學(xué)生完成有關(guān)任務(wù)．研究表明，幾何直觀對于學(xué)生從算術(shù)到代數(shù)的過渡具有促進(jìn)作用[20]．法國的De Varent將古巴比倫數(shù)學(xué)泥版中的面積計(jì)算方法應(yīng)用于10年級的課堂中，試圖引發(fā)學(xué)生對現(xiàn)代方法進(jìn)行反思，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，泥版上的方法并未起到理想的教學(xué)效果，究其原因，可能與學(xué)生在泥版的閱讀理解上存在困難有關(guān)[21]．希臘的Kotarinou讓學(xué)生參與項(xiàng)目“希臘化時(shí)期的亞歷山大：知識的燈塔”的研究，通過文獻(xiàn)研讀、話劇演出的方法讓學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識[22]．希臘的Syriopoulos將歷史敘事應(yīng)用于教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[23]．德國的Krohn將歷史上的天文學(xué)問題用于11~12年級的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷歷史上數(shù)學(xué)問題的解決過程，同時(shí)也迎合了現(xiàn)代教育的需要[24]．虞佳瑋利用中國的《九章算術(shù)》和《海島算經(jīng)》中與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相對應(yīng)的問題，對法國某國際學(xué)校七~九年級學(xué)生進(jìn)行了教學(xué)實(shí)驗(yàn)[25]．此外，方倩報(bào)告了數(shù)學(xué)史融入二項(xiàng)式定理的實(shí)踐研究[26]，楊懿荔報(bào)告了HPM視角下的斜率概念的教學(xué)研究[27]，沈中宇報(bào)告了HPM視角下“全等三角形應(yīng)用”的同課異構(gòu)教學(xué)研究[28]．

也有學(xué)者對大學(xué)階段的HPM教學(xué)實(shí)踐展開研究．美國的Clark針對學(xué)生從中學(xué)數(shù)學(xué)向大學(xué)數(shù)學(xué)的過渡中所存在的困難而開設(shè)了一個(gè)討論班，講授從歐幾里得（Euclid，約330BC—275BC）到希爾伯特（Hilbert，1862—1943）的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史．實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)史的教學(xué)有助于解決學(xué)生的過渡困難[29]．美國的Baggett在教學(xué)實(shí)踐中以讀書報(bào)告、研討會的方式指導(dǎo)學(xué)生（來自不同國家）進(jìn)行歷史研究．經(jīng)過6輪教學(xué)之后，作者針對所產(chǎn)生的一些問題，對歷史研究活動作了一定的調(diào)整[30]．德國的Sch?neburg實(shí)施了一項(xiàng)跨學(xué)科的課題研究，將有關(guān)縮放尺的歷史材料用于教學(xué)，揭示了發(fā)明于四百多年以前的縮放尺的教育價(jià)值[31]．

從以上看到，有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的報(bào)告關(guān)注學(xué)生的信念以及原始素材的使用；有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的報(bào)告關(guān)注數(shù)學(xué)史在改善教學(xué)方面的有效性，并呈現(xiàn)了豐富多彩的實(shí)踐方式．

2.5 HPM與教師專業(yè)發(fā)展

HPM與教師專業(yè)發(fā)展是關(guān)于數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展影響的研究，在該主題上有4個(gè)常規(guī)報(bào)告與5個(gè)口頭報(bào)告，涉及職前與在職兩類教師．

來自加拿大的Guillemette利用歷史現(xiàn)象學(xué)的方法對6位修讀數(shù)學(xué)史課程的職前教師進(jìn)行研究，通過教學(xué)錄像和訪談等手段，對職前教師在閱讀歷史素材時(shí)產(chǎn)生的認(rèn)識論迷失現(xiàn)象進(jìn)行了進(jìn)一步的描述，從而揭示數(shù)學(xué)史對職前教師教育的作用[32]．巴西的Bernardes將數(shù)學(xué)家西爾維斯特（Sylvester，1814—1897）和凱萊（Cayley，1821—1895）的有關(guān)工作運(yùn)用于矩陣和特征值的教學(xué)，以此考察數(shù)學(xué)史對職前教師的矩陣和特征值概念轉(zhuǎn)變的影響[33]．德國的Spies基于Grigutsch的信念分類和Schoenfeld等人的信念系統(tǒng)，對職前教師的微積分信念進(jìn)行了調(diào)查；通過向職前教師講授雅各·伯努利求拋物線切線的方法，發(fā)現(xiàn)他們的信念發(fā)生了改變[34]．

黃友初從MKT理論出發(fā)，就勾股定理的歷史，對10名職前教師進(jìn)行培訓(xùn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史有助于豐富和完善他們的MKT[35]．齊春燕通過對8位職前教師的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)史的問題提出活動促進(jìn)了教師專門內(nèi)容知識（SCK）的發(fā)展[36]．德國的Thieme利用講座的方式對職前教師進(jìn)行數(shù)學(xué)史知識（包含原始材料）的培訓(xùn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)史知識的學(xué)習(xí)存在一定的困難[37]．

來自英國的Lawrence從拉斐爾（Raphael，1483—1520）名畫“雅典學(xué)院”中的數(shù)學(xué)知識出發(fā)，設(shè)計(jì)了一門在職教師培訓(xùn)課程，課程提升了教師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，并讓他們獲得了職業(yè)認(rèn)同感[38]．新加坡的Dindyal針對學(xué)生死記微積分公式的現(xiàn)象，開展了將微積分的歷史融入教學(xué)的兩輪課例研究，共6節(jié)課．結(jié)果表明，教師獲得了專業(yè)發(fā)展[39]．王科、鄒佳晨利用教師專業(yè)發(fā)展的詮釋學(xué)循環(huán)模型，劃分了HPM驅(qū)動下的教師專業(yè)發(fā)展的4階段，即數(shù)學(xué)史詮釋學(xué)循環(huán)和數(shù)學(xué)教學(xué)詮釋學(xué)循環(huán)的分離階段、接觸階段、交叉階段和包含階段[40]．

從該主題的報(bào)告可見，針對職前教師的研究關(guān)注原始素材對教師情感的影響，而針對在職教師的研究關(guān)注教師的在職培訓(xùn)、課例研究以及教師專業(yè)發(fā)展的模型．

2.6 數(shù)學(xué)史融入教材研究

有一個(gè)常規(guī)報(bào)告、一個(gè)口頭報(bào)告和一份海報(bào)涉及數(shù)學(xué)教材中的歷史分析．

來自德國的Schorcht采用4個(gè)維度對德國教科書中的數(shù)學(xué)史任務(wù)（先給出一段數(shù)學(xué)史材料，然后提出數(shù)學(xué)問題）進(jìn)行了分析，并對其中涉及的數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行了分類[41]．土耳其的Kirez利用有關(guān)分析框架，對土耳其第二次課程改革之后五~八年級的數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行了考察，發(fā)現(xiàn)其中涉及的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較為膚淺[42]．美國的Koirala考察了2010年出版的美國“州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”中涉及的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，特別分析了婆什迦羅（Bhaskara，1114—1185）《莉拉沃蒂》中的有關(guān)內(nèi)容[43]．

幾位報(bào)告人都是基于某個(gè)特定的框架來分析教科書中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容．

2.7 技術(shù)與HPM

圖2 解法1

圖3 解法2

技術(shù)為HPM插上一雙翅膀，技術(shù)與HPM的融合必將成為未來HPM研究的重要方向之一．

3 TSG 25的特點(diǎn)

根據(jù)TSG 25的所有報(bào)告，可以總結(jié)出當(dāng)前國際HPM研究的若干特點(diǎn)．

3.1 重視理論基礎(chǔ)

由38個(gè)報(bào)告可見，單純的理論思辨、數(shù)學(xué)史研究或課堂實(shí)踐較少，更多的是將數(shù)學(xué)史研究、課堂實(shí)踐、教師專業(yè)發(fā)展等研究與相應(yīng)的理論結(jié)合起來，重視理論的指導(dǎo)，這標(biāo)志著HPM研究領(lǐng)域正在逐漸走向成熟．

報(bào)告人引用了一些常用的理論或觀點(diǎn)．關(guān)于數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，有Jankvist的工具說和目標(biāo)說[17]，劉柏宏對數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的描述[39]，Heeffer和Fried等提出的數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教學(xué)的作用[23]．關(guān)于數(shù)學(xué)史的應(yīng)用方式，有Sfard的認(rèn)知交流理論[33]，Barnett等關(guān)于原始素材使用方式的框架[17]．關(guān)于數(shù)學(xué)史與教師專業(yè)發(fā)展的關(guān)系，有Jahnke的“再定位”（reorientation）理論[38]，Barbin的認(rèn)知迷惑理論[32]，Radford的客觀化（objectification）理論[32]．

還有一些報(bào)告提出了新觀點(diǎn)或新框架．關(guān)于教育取向的數(shù)學(xué)史研究，S?rensen[7]從教師的需要出發(fā)，提出了面向課程的數(shù)學(xué)史開發(fā)流程以及供教師閱讀的數(shù)學(xué)史素材的模板，有一定的借鑒意義．關(guān)于教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)，Kjeldsen和Johansen[19]將認(rèn)知科學(xué)中的“認(rèn)知工具”概念應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，提出“數(shù)學(xué)認(rèn)知工具”概念，并指出：數(shù)史提供了數(shù)學(xué)的認(rèn)知工具．關(guān)于HPM與教師專業(yè)發(fā)展，Spies[34]對已有的教師信念系統(tǒng)理論，如Grigutsch的工具—系統(tǒng)—過程—實(shí)用信念系統(tǒng)、Schoenfeld的經(jīng)驗(yàn)主義信念系統(tǒng)以及Burscheid和Struve的形式信念系統(tǒng)進(jìn)行了梳理和整合，從學(xué)習(xí)動機(jī)和數(shù)學(xué)本質(zhì)兩個(gè)新的維度來看待教師的信念．

3.2 研究方法規(guī)范

各報(bào)告運(yùn)用了各種不同的研究方法，包括現(xiàn)象學(xué)方法、質(zhì)性分析法、人種志研究、問卷調(diào)查、訪談、測試等．如，Sanz利用數(shù)學(xué)史上的問題對學(xué)生進(jìn)行測試[17]；Guillemette采用現(xiàn)象學(xué)方法對教師閱讀數(shù)學(xué)史材料之后的生活體驗(yàn)進(jìn)行研究[32]．

Schorcht在報(bào)告中[41]首先從教科書數(shù)學(xué)史任務(wù)中提取古今聯(lián)系、數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)人物、知識目標(biāo)4個(gè)維度；為了對每個(gè)數(shù)學(xué)史任務(wù)進(jìn)行分類，采用Mayring提出的質(zhì)性內(nèi)容分析法，這是一個(gè)系統(tǒng)的方法，一共分為10個(gè)步驟，首先將需要分析的材料提取出來，第2步確定以上所說的4個(gè)維度，第3~4步提取出材料中的屬性并進(jìn)行編碼，屬性由4個(gè)維度刻畫而來，第5~7步對例子進(jìn)行描述，從而必要時(shí)對屬性進(jìn)行修正，第8步根據(jù)極值、理論興趣和經(jīng)驗(yàn)頻率確定屬性，第9步確定原型，第10步對原型進(jìn)行詳細(xì)描述，再結(jié)合Kelle和Kluge的類型構(gòu)建以及數(shù)學(xué)家Ganter，Wille和Stumme的形式概念分析，最后確定德國教科書中的5類數(shù)學(xué)史任務(wù)，然后利用兩個(gè)例子對其中的兩類任務(wù)進(jìn)行了說明，最后說明利用這些屬性不僅可以分析，也可以用于編制數(shù)學(xué)史相關(guān)的任務(wù)．

3.3 多元文化交融

從小學(xué)的劉徽、加減法、分?jǐn)?shù)運(yùn)算、面積算法、負(fù)數(shù)，到中學(xué)的一元二次方程解法、冪的表示、微積分初步、e的歷史、泰勒斯定理，再到大學(xué)的網(wǎng)絡(luò)圖和生成樹、矩陣等，各報(bào)告涉及豐富多彩的數(shù)學(xué)史素材，其中有古代中國、印度、希臘、阿拉伯以及歐洲的數(shù)學(xué)史素材，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的多元性．

西方學(xué)者表現(xiàn)出對東方歷史文化的濃厚興趣，如Guevara在其報(bào)告中發(fā)掘劉徽和花拉子米解一元二次方程方法的潛在價(jià)值[20]．Tsiapou將中國《九章算術(shù)》中的問題以及劉徽的事跡用于教學(xué)，在“哲學(xué)卡片”活動中讓學(xué)生了解漢朝的歷史文化對劉徽的影響，并探究劉徽在數(shù)學(xué)上發(fā)現(xiàn)的背景，而在“數(shù)學(xué)樹”活動中讓學(xué)生將劉徽的數(shù)學(xué)成就進(jìn)行整理和分類[18]．這說明，國外學(xué)者對中國數(shù)學(xué)史有較深入的研究，并樂于將其應(yīng)用于課堂教學(xué)．

值得注意的是，國外數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式十分豐富，有學(xué)習(xí)單、數(shù)學(xué)史課程、講座、討論班、名畫中的數(shù)學(xué)史展示、原始材料的直接使用、數(shù)學(xué)拓展課、數(shù)學(xué)建?；顒?、戲劇表演、數(shù)學(xué)史課程包等．國內(nèi)則主要集中于將數(shù)學(xué)史融入某個(gè)具體知識點(diǎn)的常規(guī)課堂教學(xué)中，這在某種意義上反映了東西方數(shù)學(xué)教育制度和數(shù)學(xué)課堂文化的差異．

在2012年ICME-12的HPM小組中有16%的報(bào)告由東方學(xué)者所作[45]，而到ICME-13中，這一比例上升到了26%．因此，HPM的國際化程度日益增加，東西方的學(xué)術(shù)思想必將在交融中共同發(fā)展．

4 結(jié)論與啟示

由上可見，TSG 25的報(bào)告涉及7類主題；總的說來，各報(bào)告展現(xiàn)了重視理論基礎(chǔ)、研究方法規(guī)范、多元文化交融的特點(diǎn)．據(jù)此，得到如下啟示．

（1）構(gòu)建理論框架，重視本土特色．理論與實(shí)踐相結(jié)合為國外學(xué)者所重視，也是今后HPM研究的趨勢．HPM領(lǐng)域的大多數(shù)理論都是建立在作者所在國家的教育現(xiàn)實(shí)之上的，很多學(xué)者將數(shù)學(xué)史原始文獻(xiàn)運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐．因此，如何將有關(guān)理論以及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)本土化，與中國的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)實(shí)相結(jié)合，建立中國HPM理論框架，值得繼續(xù)探討．

（2）規(guī)范研究方法，注重實(shí)證研究．在HPM的初創(chuàng)階段，人們主要以思辨或者純歷史研究為主，而在國內(nèi)，HPM領(lǐng)域的思辨或經(jīng)驗(yàn)總結(jié)類的文獻(xiàn)至今仍然占有相當(dāng)大的比重．從TSG 25的眾多報(bào)告中可以看出，HPM領(lǐng)域今天已經(jīng)發(fā)展到了實(shí)證研究階段，因此，需要建立并采用科學(xué)合理的研究方法，提升HPM的研究水平．

（3）關(guān)注多元文化，加強(qiáng)國際交流．在信息化和全球化時(shí)代，多元文化在世界學(xué)術(shù)界已深入人心，傳統(tǒng)的“西方中心論”早已成為明日黃花．而在課堂上，只講“中國最早”、“中國第一”的數(shù)學(xué)史話題也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的．HPM本身就是一個(gè)跨學(xué)科的研究領(lǐng)域，要求研究者具有開闊的視野和博大的胸懷．加強(qiáng)中外交流、借鑒他山之石、關(guān)注多元文化、博采東西方數(shù)學(xué)史素材，是未來HPM理論和實(shí)踐研究的必然需求．

（4）豐富教學(xué)方式，開拓第二課堂．國外HPM教學(xué)實(shí)踐形式較為開放，主題也比較豐富．而在國內(nèi)，由于升學(xué)壓力和教學(xué)進(jìn)度的限制，HPM在課堂上的空間很小．可以借鑒國外相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，通過更多樣的形式（如拓展課程、數(shù)學(xué)話劇等）來運(yùn)用數(shù)學(xué)史，更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的育人價(jià)值，讓數(shù)學(xué)史真正成為數(shù)學(xué)學(xué)科落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)的有效教學(xué)工具．

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Research Summary of HPM in ICME-13

SHEN Zhong-yu1, ZOU Jia-chen2, WANG Xiao-qin2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

The TSG 25 of ICME-13, held in Hamburg in July 2016, focused on the role of history in mathematics education. There were a total of 38 reports in this study group which dealed with seven types of topics. It was revealed from all reports of TSG 25 that importance was attached to theoretical basis, research methodology and multicultural communication.

ICME-13; HPM; features; enlightenment

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G40–03

A

1004–9894（2017）05–0071–06

沈中宇，鄒佳晨，汪曉勤．ICME-13之HPM專題研究綜述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）：71-76．

2017–05–14

上海市教育科學(xué)研究重大項(xiàng)目——中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的有效設(shè)計(jì)子課題——中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)文化素材的案例設(shè)計(jì)（D1508）

沈中宇（1991—），男，江蘇蘇州人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．