林慶勇

摘 要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，而向量是高中學(xué)習(xí)的重要概念之一，也是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一。在解析的解題中，運(yùn)用向量，能融數(shù)形于一體，使求解的過(guò)程變得更加輕松和生動(dòng)。在高考的試卷上，經(jīng)常結(jié)合解析幾何，有著極其豐富的實(shí)際背景。

關(guān)鍵詞：新國(guó)考；向量；解析幾何

有了向量的介入，在高中數(shù)學(xué)中本來(lái)可以用幾何邏輯和推理來(lái)完成的數(shù)學(xué)題型可以直接運(yùn)用向量來(lái)完成，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重點(diǎn)。本文立足高考，對(duì)新國(guó)考背景下向量在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行探討，以期能夠給廣大數(shù)學(xué)教師以幫助。

一、根據(jù)新國(guó)考制度，分析解析幾何中向量的運(yùn)用

隨著新國(guó)考制度的不斷改進(jìn)，注重的是學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力、思維能力、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和創(chuàng)新能力。向量在國(guó)考中也是比較重要的一種解題方法，在平面幾何、立體幾何和解析幾何中都起到了重要的作用。解析幾何在高考題目中是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合。實(shí)現(xiàn)平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算[1]。

平面向量在高考中是重要的考查概念，向量的物理背景是矢量，學(xué)生以矢量為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)平面向量并不困難，但是對(duì)于該如何處理向量的問(wèn)題和向量的應(yīng)用，則常常感覺(jué)到比較茫然，如何解決這一問(wèn)題，改善學(xué)生現(xiàn)在學(xué)習(xí)平面向量的狀況是平面教學(xué)的重點(diǎn)。所以在解題的過(guò)程中要能夠注重知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，全面了解向量，才能讓學(xué)生更好地運(yùn)用向量解答題目。

二、向量在解析幾何中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)國(guó)考中，向量在解析幾何中的應(yīng)用一般可以分為向量與圓的結(jié)合，向量與橢圓的結(jié)合以及向量與雙曲線的結(jié)合。通過(guò)與這些圖像相結(jié)合，考查有關(guān)點(diǎn)或線段的運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)高考題中常見(jiàn)的幾種類(lèi)型和向量的解法，則可舉例說(shuō)明平面向量在解析幾何過(guò)程中是如何進(jìn)行問(wèn)題突破的。

1.向量與圓的結(jié)合

在2016年的全國(guó)高考題目中，也考查了向量與圓的結(jié)合，通過(guò)向量與圓求點(diǎn)或者線段的軌跡方程。

例1.設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E。

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

解析：這道題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，也考查了學(xué)生對(duì)圓的一般方程的運(yùn)用。這樣的題目看起來(lái)比較復(fù)雜，但在解題過(guò)程中運(yùn)用向量，可以將題目轉(zhuǎn)化成比較簡(jiǎn)單的、直接的解題方法。學(xué)生運(yùn)用到的是方程思想、分析法、圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程。在第（I）問(wèn)中，運(yùn)用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，再由圓的定義和橢圓的定義，可以得到點(diǎn)E的軌跡方程。在第（II）問(wèn)中，將直線方程帶入橢圓方程中，根據(jù)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），求出線段的向量值，運(yùn)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及向量積公式，再運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式，再由四邊形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍。這樣使復(fù)雜的問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化，提高解題的速度[2]。

運(yùn)用向量的法則進(jìn)行求解，思路清晰、簡(jiǎn)潔明快，充分展現(xiàn)了向量的思想，成為超越傳統(tǒng)方法的有效工具。

2.向量與雙曲線的結(jié)合

2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷選擇題考查的是向量與雙曲線的綜合。

例2.已知M（x0，y0）是雙曲線C：■-y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若■·■<0，則y0的取值范圍是（ ）

A.（-■，■） B.（-■，■）

C.（-■，■） D.（-■，■）

題目考查的是平面向量與雙曲線的結(jié)合以及向量積的運(yùn)用，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和數(shù)形結(jié)合的能力。由題知F1（-■，0），F(xiàn)2（■，0），■-y2=1，所以，■·■=（-■-x0，-y0）·（■-x0，-y0）=x02+y02-3=3 y02-1<0，解得-■

應(yīng)用向量積解決解析幾何中的問(wèn)題，可以避免討論、化繁為簡(jiǎn)，顯示了其強(qiáng)大的作用。

3.向量與橢圓的結(jié)合

例3.2014年21題考查的是向量與橢圓結(jié)合，已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為■

（I）求a，b的值；

（II）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有■=■+■成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

解析：在第一問(wèn)中運(yùn)用橢圓方程的離心率和點(diǎn)距離公式可以求出a，b的值；在第二問(wèn)中，運(yùn)用假設(shè)法，假設(shè)存在點(diǎn)P，然后運(yùn)用向量的加法公式進(jìn)行驗(yàn)證，運(yùn)用橢圓和直線的聯(lián)合進(jìn)行計(jì)算，則可以進(jìn)行驗(yàn)證。這種方法可以使學(xué)生從迷茫中找到問(wèn)題的解決方法。

在解析幾何中分情況進(jìn)行討論，則可以讓學(xué)生的思路變得更加清晰，也成為傳統(tǒng)解析幾何中比較有效的工具和方法[3]。

向量在解析結(jié)合中的應(yīng)用也可以分為楔入（向量楔入平面幾何）、載體（以向量為背景，實(shí)際考查解析幾何）、變異（引入向量方法求解）、融合（向量與解析幾何無(wú)縫鏈接問(wèn)題）等。在上面的例子中，最主要的是融合、變異和載體的類(lèi)型，這些類(lèi)型在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，使抽象的問(wèn)題更直接化，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和邏輯思維。

三、拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用

通過(guò)對(duì)上述題目的解答和分析，則會(huì)發(fā)現(xiàn)，向量在高考中運(yùn)用除了考查學(xué)生對(duì)向量的基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)運(yùn)算之外，還要考查學(xué)生對(duì)向量和橢圓、雙曲線的結(jié)合，向量和空間幾何的結(jié)合，法向量的運(yùn)用。教師要幫助學(xué)生總結(jié)有關(guān)的思路和解法，幫助學(xué)生構(gòu)建有關(guān)向量的知識(shí)體系。

四、對(duì)向量在解析幾何中的突破策略

對(duì)于平面向量在高考題目中的應(yīng)用，教師要能立足于高考，回歸課本，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、概念以及相關(guān)的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的綜合能力，讓學(xué)生更好地掌握向量，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

解析幾何是一門(mén)比較典型的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)分支，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中也起著很重要的作用，在解析幾何的解題過(guò)程中引入向量，則可以簡(jiǎn)化解析幾何繁瑣的計(jì)算過(guò)程，也可以簡(jiǎn)化解析幾何中比較抽象的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形之間的有效轉(zhuǎn)化，有效地拓寬了學(xué)生的視野和思維。向量在解析幾何中的應(yīng)用，也為解決解析幾何中的問(wèn)題拓展了途徑，從而提高學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王玉光，李亞男.自由向量在解析幾何中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2016（11）：27.

[2]賈芬香.平面向量在解析幾何中的應(yīng)用：高三復(fù)習(xí)課教學(xué)案例[J].科技視界，2012（31）：167.

[3]王廣志.向量在三角、解析幾何、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用[J].宿州師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2000（3）：67-69.

編輯 趙飛飛