于 輝，周 衛(wèi)，馬心念

(1. 南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210023； 2. 江蘇省地理信息資源開發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210023)

一種基于三角函數(shù)的矢柵地理數(shù)據(jù)可逆幾何脫密模型

于 輝1，2，周 衛(wèi)1，2，馬心念1，2

(1. 南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210023； 2. 江蘇省地理信息資源開發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210023)

矢柵地理數(shù)據(jù)是基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)的重要組成部分，其安全保護(hù)研究十分重要。我國(guó)有關(guān)法律法規(guī)對(duì)公開版地圖的脫密幾何精度有明確規(guī)定，基礎(chǔ)地理數(shù)據(jù)需要脫密后才能公開共享使用。本文在分析三角函數(shù)脫密特性和矢柵地理數(shù)據(jù)特征的基礎(chǔ)上，顧及矢柵地理數(shù)據(jù)疊加使用的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種基于三角函數(shù)的矢柵地理數(shù)據(jù)一體化的可逆脫密模型。試驗(yàn)證明，該模型較好地保持了地理實(shí)體的拓?fù)潢P(guān)系，脫密處理速度快，安全性高，誤差可控，數(shù)據(jù)接邊好。

矢柵地理數(shù)據(jù)；脫密模型；三角函數(shù)；脫密特征

地理信息事關(guān)國(guó)家安全，對(duì)地理信息的保護(hù)十分重要。為維護(hù)地理信息安全，國(guó)家數(shù)據(jù)脫密政策法規(guī)[1-3]對(duì)公開地圖的位置精度提出了明確規(guī)定，對(duì)涉密數(shù)據(jù)能夠達(dá)到較好的保密目的，卻影響了地理數(shù)據(jù)的共享使用，造成了數(shù)據(jù)保密和共享之間的矛盾，脫密技術(shù)能夠較好地解決該問題。

脫密是指通過技術(shù)處理的辦法，將秘密級(jí)測(cè)繪成果中包含的涉及國(guó)家安全的地理要素空間位置精度和屬性內(nèi)容進(jìn)行處理后，轉(zhuǎn)變?yōu)榉瞎_測(cè)繪成果使用的方法[4]。地理數(shù)據(jù)脫密包括幾何精度弱化、屬性(含注記)和高程處理，以及要素隱藏和偽裝等方面。其中，幾何精度脫密是指使用脫密技術(shù)進(jìn)行空間位置精度弱化，使得脫密數(shù)據(jù)不易糾正恢復(fù)，避免敏感信息泄露。幾何精度脫密是脫密的主要內(nèi)容。

目前已有的幾何精度脫密方法包括投影轉(zhuǎn)換法、圖幅變換法、基于移位圓的誤差隨機(jī)干擾法[4]、線性變換法[5,6]、非線性變換法[7-11]等。這些方法尚存在一些問題：難以高精度恢復(fù)的問題；脫密后拓?fù)潢P(guān)系保持不理想；支持矢柵一體脫密的模型和算法不多；安全性不高；處理速度慢等。本文結(jié)合三角函數(shù)良好的脫密特性，提出一種基于三角函數(shù)的矢柵地理數(shù)據(jù)可逆脫密模型，為矢柵地理數(shù)據(jù)的安全保護(hù)及共享應(yīng)用提供有力的技術(shù)支持。

1 矢柵地理數(shù)據(jù)的脫密特征

幾何脫密實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行空間變換處理，矢柵地理數(shù)據(jù)特征很大程度上影響著其空間變換處理的過程與結(jié)果。基于這些特征展開研究，脫密模型和算法才能實(shí)現(xiàn)較好的脫密安全性及矢柵數(shù)據(jù)疊加的空間一致性。

1.1 矢量地理數(shù)據(jù)的脫密特征

矢量地理數(shù)據(jù)脫密不是簡(jiǎn)單地變換要素的坐標(biāo)，其拓?fù)潢P(guān)系和可用性都對(duì)脫密模型和算法提出了更高的要求。結(jié)合矢量地理數(shù)據(jù)特征，對(duì)矢量地理數(shù)據(jù)脫密技術(shù)特征進(jìn)行分析如下：

(1) 較高的數(shù)學(xué)精度。高精度空間定位特性決定了脫密模型和算法應(yīng)該滿足精確脫密和脫密可逆的要求。算法不僅要有較高的安全性，還要保證脫密數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)給定的脫密指標(biāo)。同時(shí)，在應(yīng)用實(shí)踐中往往要求脫密數(shù)據(jù)能夠高精度恢復(fù)到原數(shù)據(jù)。

(2) 分層的存儲(chǔ)方式。矢量地理數(shù)據(jù)一般分層存儲(chǔ)，不同層的數(shù)據(jù)需要采用相同的脫密模型和算法進(jìn)行處理，保證它們能夠正常疊加顯示與使用。

(3) 復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。與柵格地理數(shù)據(jù)的順序存儲(chǔ)方式不同，矢量地理數(shù)據(jù)以要素為單元存儲(chǔ)離散的坐標(biāo)點(diǎn)。脫密模型和算法要保證脫密數(shù)據(jù)的可用性，在改變數(shù)據(jù)的幾何位置精度時(shí)，需要控制要素變形，保持拓?fù)潢P(guān)系不變。

1.2 柵格地理數(shù)據(jù)的脫密特征

柵格地理數(shù)據(jù)相對(duì)于普通柵格圖像具有空間地理特征，在脫密模型和算法上，柵格數(shù)據(jù)具有不同于矢量的特性。柵格地理數(shù)據(jù)的脫密特征如下：

(1) 空間定位。柵格地理數(shù)據(jù)是地理空間定位的數(shù)據(jù)集合，具有空間定位性。因此，柵格地理數(shù)據(jù)每個(gè)像素、所表達(dá)的每個(gè)實(shí)體對(duì)象都有空間位置。

(2) 屬性精度。相對(duì)于一般圖像而言，柵格地理數(shù)據(jù)的屬性值具有更高的精度要求，當(dāng)柵格地理數(shù)據(jù)作為矢量基礎(chǔ)地理數(shù)據(jù)采集或更新的數(shù)據(jù)源時(shí)，可能涉及模式識(shí)別、地物匹配等一系列地圖操作。因此，要求脫密算法在重采樣的過程中能夠保持柵格地理數(shù)據(jù)的屬性精度。

(3) 數(shù)據(jù)海量。一般的，柵格地理數(shù)據(jù)量大。柵格地理數(shù)據(jù)的海量特征對(duì)脫密算法的性能要求較高，在保證較強(qiáng)的抗攻擊能力的同時(shí)，需要降低脫密算法的復(fù)雜度，提高海量數(shù)據(jù)處理的效率。

(4) 分幅存儲(chǔ)。柵格地理數(shù)據(jù)一般是按照?qǐng)D幅組織存儲(chǔ)的。脫密模型需要面向分幅的數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)空間變換的整體性，脫密后的DOM等柵格地理數(shù)據(jù)能夠較好地拼接使用。

1.3 三角函數(shù)脫密適用性分析

依據(jù)矢柵地理數(shù)據(jù)脫密特征，提出了脫密模型應(yīng)滿足的指標(biāo)要求。

(1) 可用性。可用性是指脫密數(shù)據(jù)能夠使用的特性。脫密數(shù)據(jù)拓?fù)潢P(guān)系保持良好，要素變形可控。即數(shù)據(jù)變形光滑連續(xù)，地理實(shí)體的脫密變換量漸變，無突變。

(2) 可控性?？煽匦灾饕w現(xiàn)在兩方面：一是脫密的精度可控，能夠?qū)?shù)據(jù)精確地變換到設(shè)定的脫密指標(biāo)；二是脫密變形可控，滿足相鄰圖幅數(shù)據(jù)協(xié)同處理和數(shù)據(jù)拼接的需要。

(3) 普適性。國(guó)家系列基本比例尺地理數(shù)據(jù)采用同一脫密模型進(jìn)行脫密變換，全國(guó)范圍內(nèi)采用同一變換模型[13]，保證脫密后地理數(shù)據(jù)在圖幅上的連續(xù)性；分層存儲(chǔ)的矢量地理數(shù)據(jù)，在相同的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)需采用相同的脫密模型進(jìn)行處理。

(4) 安全性。安全性是指脫密數(shù)據(jù)的安全和脫密模型的安全，脫密數(shù)據(jù)必須滿足法律法規(guī)對(duì)于公開地圖的位置精度要求，脫密模型必須具有較強(qiáng)的抗攻擊能力，不易破解。

(5) 可逆性。脫密模型不僅能夠?qū)崿F(xiàn)任意精度脫密，還要能夠高精度地恢復(fù)到原數(shù)據(jù)。

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)中的一類重要函數(shù)，它有著優(yōu)越的函數(shù)性質(zhì)，其周期性、任意階可導(dǎo)和有界性等特性很好地滿足了矢柵地理數(shù)據(jù)脫密對(duì)于變形光滑連續(xù)及可控性的需求。作為一種有界函數(shù)，其可以通過調(diào)整振幅來控制脫密誤差分布；作為一種周期函數(shù)，它能保證脫密數(shù)據(jù)在空間上的連續(xù)性；作為一種任意階可導(dǎo)函數(shù)，使得脫密效果光滑漸近，保證脫密誤差合理分布，維持良好的拓?fù)潢P(guān)系。因此，三角函數(shù)對(duì)于矢柵地理數(shù)據(jù)脫密有著良好的適用性。但是，基本三角函數(shù)形式過于簡(jiǎn)單，容易根據(jù)脫密數(shù)據(jù)反推模型參數(shù)，安全性較低。本文基于三角函數(shù)提出了矢柵地理數(shù)據(jù)可逆幾何脫密模型，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

2 脫密模型的設(shè)計(jì)與構(gòu)建

2.1 三角函數(shù)模型設(shè)計(jì)

2.1.1 模型概述

傅里葉曾指出任意周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和或余弦和的形式，多個(gè)正弦與余弦和乘以不同的系數(shù)，可以表示任意復(fù)雜度的周期函數(shù)。即基本三角函數(shù)的組合能夠保持三角函數(shù)原有的函數(shù)特性。本文采用由正、余弦函數(shù)組成的在實(shí)數(shù)空間內(nèi)任意階連續(xù)可導(dǎo)的非線性函數(shù)模型[14]，其圖像如圖1所示。

三角函數(shù)模型的表達(dá)式如下

f(x)=b[asin(ω1x)+(1-a)cos(ω2x)]

(1)

式中，b表示函數(shù)的振幅值；a控制函數(shù)的形狀；ω1、ω2用于控制函數(shù)的周期。在保持其他參數(shù)不變的情況下，不同形態(tài)參數(shù)a的函數(shù)圖像如圖2(a)所示，不同周期參數(shù)ω1、ω2函數(shù)圖像如圖2(b)所示。

圖1 三角函數(shù)模型圖像

從圖2(a)中可以看出，形態(tài)參數(shù)越大模型圖像抖動(dòng)越劇烈，如果在模型周期較小的情況下，抖動(dòng)過于劇烈會(huì)使得脫密數(shù)據(jù)變形較大，影響脫密數(shù)據(jù)的可用性。因此，需要依據(jù)脫密誤差，設(shè)定適當(dāng)?shù)男螒B(tài)參數(shù)值。對(duì)于圖2(b)，隨著ω1、ω2的增大，模型周期變小。模型的周期T是由正弦函數(shù)周期和余弦函數(shù)周期兩者的最小公倍數(shù)決定，模型周期T可以通過式(2)計(jì)算得到

(2)

式中，[，]表示求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。周期值需要根據(jù)數(shù)據(jù)的圖幅范圍來恰當(dāng)選取，如果相對(duì)于圖幅范圍周期過小，將會(huì)影響脫密數(shù)據(jù)的可用性。

2.1.2 三角函數(shù)脫密模型

式(1)的三角函數(shù)模型只對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)的y坐標(biāo)進(jìn)行變換，x坐標(biāo)沒有改變，使得模型存在漏洞，不宜作為脫密模型。為此，通過對(duì)x坐標(biāo)施加擾動(dòng)φ來完善模型，建立基于三角函數(shù)的脫密模型如式(3)所示。

(3)

同時(shí)，式(3)中表示是以x為自變量y方向的三角函數(shù)變換，也可實(shí)現(xiàn)以y為自變量x方向的三角函數(shù)變換，如下

(4)

在實(shí)際應(yīng)用中，可以選擇式(3)或式(4)作為脫密模型進(jìn)行脫密處理。

2.1.3 三角函數(shù)恢復(fù)模型

三角函數(shù)模型只與模型的5個(gè)參數(shù)a、b、ω1、ω2、φ有關(guān)，脫密處理只是在原數(shù)據(jù)的x坐標(biāo)或y坐標(biāo)上施加的一個(gè)增量，而恢復(fù)處理只需將脫密數(shù)據(jù)的x坐標(biāo)或y坐標(biāo)上施加的增量減去，增量與減量根據(jù)式(1)計(jì)算得到，在參數(shù)相同的情況下，增量和減量的值是相同的，不存在精度損失。故由三角函數(shù)脫密模型可得恢復(fù)模型如下

(5)

(6)

式(5)是x方向恢復(fù)，式(6)是y方向恢復(fù)。

2.2 脫密誤差控制算法

幾何脫密以中誤差作為精度指標(biāo)，誤差控制算法是通過迭代模型參數(shù)的方式控制中誤差的縮放[12]，使得脫密數(shù)據(jù)達(dá)到設(shè)定的脫密指標(biāo)。算法流程如圖3所示。

其中，中誤差RMS實(shí)際上是脫密誤差分布的均方根誤差，其計(jì)算公式如下

(7)

式中，RMS為中誤差值；n是樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(sXi,sYi)是源坐標(biāo)；(tXi,tYi)是脫密后坐標(biāo)。

圖3 誤差控制算法流程

誤差控制算法的核心是迭代參數(shù)的確定，迭代參數(shù)可以在模型的可變參數(shù)中選擇。三角函數(shù)的可變參數(shù)包括形態(tài)參數(shù)a、周期參數(shù)ω1和ω2、振幅參數(shù)b和偏移量φ。其中，形態(tài)參數(shù)a對(duì)于脫密誤差的影響較小，對(duì)于數(shù)據(jù)可用性影響明顯；模型的周期與數(shù)據(jù)范圍關(guān)系緊密，需要以安全可用為前提設(shè)置合理的周期參數(shù)ω1和ω2，該參數(shù)對(duì)中誤差影響很小，調(diào)節(jié)誤差的能力有限，故不作為誤差控制的迭代變量。偏移量φ用于彌補(bǔ)非變換方向無位移的缺陷，以式(3)所示模型為例，脫密中誤差RMS的計(jì)算公式如下

(8)

式中，n是樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；Δyi是樣本點(diǎn)y方向的變換量。由式(8)可看出偏移量φ屬于系統(tǒng)誤差，對(duì)數(shù)據(jù)沒有非線性變形影響，將其作為迭代參數(shù)達(dá)不到脫密誤差均勻分布的要求，故不可作為迭代參數(shù)，但它作為脫密中誤差的一部分可以根據(jù)式(9)求得

φ=μ·RMS

(9)

式中，μ∈[0,1]。

振幅參數(shù)在形態(tài)參數(shù)和周期參數(shù)不變的前提下，可以作為迭代參數(shù)控制脫密中誤差主要組成部分。振幅越大，脫密中誤差越大；振幅越小，脫密中誤差越小。因此，三角函數(shù)脫密模型以振幅參數(shù)作為迭代算子進(jìn)行誤差控制。

2.3 矢柵地理數(shù)據(jù)脫密模型構(gòu)建

根據(jù)原始矢柵地理數(shù)據(jù)求解三角函數(shù)脫密模型，采用三角函數(shù)脫密模型對(duì)矢柵地理數(shù)據(jù)進(jìn)行脫密處理。脫密模型的構(gòu)建流程如圖4所示。

圖4 矢柵地理數(shù)據(jù)脫密流程

脫密模型構(gòu)建的具體步驟如下：

(1) 確定數(shù)據(jù)范圍。輸入具有相同空間參考的矢量地理數(shù)據(jù)和柵格地理數(shù)據(jù)，獲取數(shù)據(jù)范圍。

(2) 解算模型參數(shù)。在保證三角函數(shù)圖像均勻變化的條件下，設(shè)定形態(tài)參數(shù)a。根據(jù)數(shù)據(jù)范圍或用戶輸入的周期T，按照式(10)計(jì)算周期參數(shù)ω1、ω2。

(10)

式中，t用于控制三角函數(shù)圖像形狀，本文設(shè)定t=0.5。

根據(jù)式(11)求取振幅參數(shù)的初始值，并將計(jì)算得到的5個(gè)參數(shù)代入式(11)中建立三角函數(shù)脫密模型。

(11)

(3) 樣本點(diǎn)選擇。以數(shù)據(jù)范圍作為全局樣本，取x方向的寬度為xlength，y方向的寬度為ylength，設(shè)定間隔為interval，在全局樣本中均勻地選取num=(xlength/interval)·(ylength/interval)個(gè)點(diǎn)作為計(jì)算全圖中誤差的樣本點(diǎn)。

(4) 中誤差的迭代控制。用步驟(2)建立的脫密模型對(duì)樣本點(diǎn)ps(ssXi,ssYi)(i=1,2,…,num)作脫密處理，得到脫密后的樣本點(diǎn)坐標(biāo)Ts(tsXi,tsYi)(i=1,2,…,num)。由式(7)計(jì)算樣本點(diǎn)中誤差RMSdecrypt，將RMSdecrypt與脫密指標(biāo)d進(jìn)行比較。如果RMSdecryptd，則根據(jù)式(12)縮小b來減小全圖的中誤差。

(12)

迭代步驟(2)到步驟(4)，中誤差達(dá)到脫密指標(biāo)后執(zhí)行步驟(5)。

(5) 矢柵地理數(shù)據(jù)脫密處理。采用步驟(4)輸出的三角函數(shù)脫密模型對(duì)矢柵地理數(shù)據(jù)進(jìn)行脫密處理，矢量地理數(shù)據(jù)對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)集進(jìn)行坐標(biāo)變換，柵格地理數(shù)據(jù)對(duì)像素點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行變換，之后，對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行重采樣，將脫密的矢柵地理數(shù)據(jù)疊加輸出。

2.4 矢柵地理數(shù)據(jù)恢復(fù)模型構(gòu)建

矢柵地理數(shù)據(jù)恢復(fù)模型與脫密模型的流程類似，都是解算三角函數(shù)恢復(fù)模型的參數(shù)，并采用恢復(fù)模型處理矢柵地理數(shù)據(jù)?；謴?fù)模型構(gòu)建的具體步驟如下:

(1) 恢復(fù)模型的建立。將前文步驟(4)輸出的三角函數(shù)脫密模型的5個(gè)參數(shù)a、ω1、ω2、b、φ代入式(5)或式(6)中，建立恢復(fù)模型。

(2) 矢柵地理數(shù)據(jù)恢復(fù)處理。采用步驟(1)輸出的恢復(fù)模型處理矢柵地理數(shù)據(jù)，矢量地理數(shù)據(jù)對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)集進(jìn)行坐標(biāo)變換，柵格地理數(shù)據(jù)對(duì)像素點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行變換之后，對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行重采樣，將恢復(fù)后的矢柵地理數(shù)據(jù)疊加輸出。

3 試驗(yàn)分析

本文采用某地相同區(qū)域TIF格式的柵格地理數(shù)據(jù)和SHP格式的湖泊、居民地和河流3種矢量地理數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其坐標(biāo)系統(tǒng)為WGS-84高斯投影坐標(biāo)系，比例尺為1∶2000。柵格數(shù)據(jù)的分辨率為0.2 m，數(shù)據(jù)尺寸為3667×3475像素。試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖5所示。

采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行三角函數(shù)脫密試驗(yàn)，模型的目標(biāo)脫密精度為50 m。在數(shù)據(jù)范圍中均勻選取255個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)前文流程計(jì)算三角函數(shù)脫密模型的5個(gè)參數(shù)，建立三角函數(shù)脫密模型，得到模型參數(shù)a=0.5,b=21.810 6,ω1=0.062 831 8,ω2=0.012 566 4,φ=48.587。3種矢量地理數(shù)據(jù)的脫密疊加效果如圖6所示，粗線部分是脫密前數(shù)據(jù)，細(xì)線部分為脫密數(shù)據(jù)；柵格地理數(shù)據(jù)的脫密效果如圖7所示，(a)表示脫密前數(shù)據(jù)，(b)表示脫密數(shù)據(jù)。

圖5 試驗(yàn)原始數(shù)據(jù)

圖6 三角函數(shù)模型矢量地理數(shù)據(jù)脫密效果

圖7 柵格地理數(shù)據(jù)脫密效果

從圖6可以看出脫密后要素之間的拓?fù)潢P(guān)系保持較好，并且要素的幾何形狀并沒有發(fā)生突變。其中，對(duì)河流、湖泊和居民地3種矢量地理數(shù)據(jù)采用同一種脫密模型進(jìn)行脫密處理，可以看出3個(gè)矢量圖層疊加后，要素之間的拓?fù)潢P(guān)系保持良好。

將脫密后矢柵地理數(shù)據(jù)疊加輸出，并與脫密前數(shù)據(jù)疊加效果作對(duì)比，如圖8所示，(a)表示脫密前矢柵地理數(shù)據(jù)疊加效果，(b)表示脫密后矢柵地理數(shù)據(jù)的疊加效果。

圖8 矢柵地理數(shù)據(jù)疊加效果

從圖8(b)可以看出居民地、河流和湖泊要素疊加效果較好。

4 結(jié) 語

本文分析了矢柵地理數(shù)據(jù)的脫密特征，提出了脫密指標(biāo)要求，結(jié)合三角函數(shù)良好的脫密數(shù)學(xué)特征，基于正、余弦函數(shù)，提出并構(gòu)建了一體化的非線性矢柵地理數(shù)據(jù)可逆幾何脫密模型，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，該模型具有安全可靠、可逆可控、拓?fù)潢P(guān)系保持、矢柵一體、數(shù)據(jù)脫密處理效率高等特點(diǎn)。

[1] 國(guó)家測(cè)繪地理信息局.測(cè)繪管理工作國(guó)家秘密范圍的規(guī)定 [EB/OL]. 2003-12-23(2014-02-21). http:∥www.sbsm.gov.cn.

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AReversibleDecryptionModelforVectorandRasterIntegrationBasedonTrigonometricFunction

YU Hui1，2,ZHOU Wei1，2,MA Xinnian1，2
(1. Ministry of Education Key Laboratory of Virtual Geographic Environment,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China; 2. Jiangsu Center for Collaborative Innovation in Geographical Information Resource Development and Application,Nanjing 210023,China)

Vector-raster geographic data are important part of basic geographic information data, hence the research on its security is very important. These data are open for share and use only when decrypted in terms of our country’s relevant laws and regulations on decrypted geometric precision of public maps. Based on analysis of properties of description by trigonometric function, this paper devised a reversible description model for integrated vector-raster geographic data by trigonometric function with considering of the characteristics of stack use of these data. Experiments show that the model maintains well the topological relations of geographical entities with fast processing speed, high security, controlled error and good data connections.

vector-raster geographic data; decryption model; trigonometric function; decryption characteristic

于輝，周衛(wèi)，馬心念.一種基于三角函數(shù)的矢柵地理數(shù)據(jù)可逆幾何脫密模型[J].測(cè)繪通報(bào)，2017(10)：89-94.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0322.

2017-01-12；

2017-04-08

國(guó)家自然科學(xué)基金(41371374)

于 輝(1990—)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)槭笘诺乩頂?shù)據(jù)脫密。E-mail: 1079396664@qq.com

周 衛(wèi)。E-mail: 13611577060@163.com

P208

A

0494-0911(2017)10-0089-06