沈洪津

摘要：中職學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)生一些錯(cuò)誤是在所難免的，這錯(cuò)誤并不是洪水猛獸，相反，教師要充分的利用這些錯(cuò)誤提高教學(xué)質(zhì)量。本文主要從“分式不等式的解法”中發(fā)生的錯(cuò)誤來(lái)進(jìn)行展開和分析，教師如何利用“錯(cuò)誤”，讓“錯(cuò)誤”生動(dòng)起來(lái)。

關(guān)鍵詞：錯(cuò)誤分式不等式

數(shù)學(xué)是中職的一門基礎(chǔ)課程，而較大部分中職校生基礎(chǔ)薄弱，學(xué)起數(shù)學(xué)來(lái)都非常艱難，比如分式不等式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)本身不算抽象，但學(xué)生在解題過(guò)程中還是發(fā)生了很多不可思議的錯(cuò)誤。教材中介紹了兩種分式不等式的解法：一種是分類討論法，另一種是化為整式不等式。鑒于學(xué)生的基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)的不自信等原因，兩種方法都講，學(xué)生可能覺(jué)得很亂，甚至容易混淆，因此，筆者采用第二種方法：化商為積，變成一元二次不等式來(lái)求解。之所以這樣設(shè)計(jì)，是因?yàn)閷W(xué)生剛學(xué)完一元二次不等式，學(xué)生應(yīng)該容易過(guò)渡和轉(zhuǎn)化，但事實(shí)并沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的效果。英國(guó)心理學(xué)家貝恩布里奇認(rèn)為，錯(cuò)誤人皆有之，作為教師不去利用這些差錯(cuò)是不可原諒的。學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤是正常的，這才是他們最真實(shí)的思想，所以本文結(jié)合學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了分析研究，為改善數(shù)學(xué)教學(xué)作個(gè)拋磚引玉的作用。

好些中職學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)是比較籠統(tǒng)和模糊的，感知事物的能力不仔細(xì)、不全面；往往只注意到一些孤立的、感覺(jué)上的表象，不去仔細(xì)觀察事物之間的聯(lián)系和特征，感知的印象缺乏整體特征，很容易出現(xiàn)感知錯(cuò)誤。比如圖1和圖2，這兩個(gè)不同的學(xué)生，基本上都掌握了解分式不等式的要領(lǐng)，但在運(yùn)算過(guò)程中都沒(méi)有將減數(shù)看成一個(gè)整體，圖2中還有其他的錯(cuò)誤。學(xué)生在首次感知新知識(shí)時(shí)，能在大腦皮層留下深深的印象。如果首次感知不準(zhǔn)確，造成的不良后果在短時(shí)間內(nèi)難以清除，其實(shí)這些學(xué)生的錯(cuò)誤是從初中甚至小學(xué)都一直這樣錯(cuò)過(guò)來(lái)的，他們?cè)诮忸}過(guò)程中通常是不能綜合運(yùn)用識(shí)別能力、記憶能力和信息加工能力等來(lái)完成任務(wù)

先前形成的一元二次不等式的解法：系數(shù)化正后畫草圖，再根據(jù)圖象大于取兩邊，小于取中間得出解集，這些知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、習(xí)慣，都會(huì)使學(xué)生形成認(rèn)知的固定傾向，從而影響后來(lái)的分析、判斷，形成“思維定勢(shì)”——即思維總是擺脫不了已有“框框”的束縛，表現(xiàn)出消極的思維定勢(shì)。如圖3、圖4這兩個(gè)學(xué)生的解答，化商為積后，結(jié)構(gòu)跟二次不等式的非常相似，學(xué)生就想當(dāng)然地取了中間，明明沒(méi)有兩個(gè)根，卻硬是找了兩個(gè)根出來(lái)，比如圖3這個(gè)學(xué)生當(dāng)成了是x（x+7）≤0的情形，而圖4這個(gè)學(xué)生就直接將系數(shù)-10當(dāng)成了其中一個(gè)根。而圖5中，這個(gè)學(xué)生的解答是化商為積的過(guò)程中，忽略了分式中分母 這個(gè)條件。

思維定勢(shì)是客觀存在的，它發(fā)生正遷移時(shí)，是有利于學(xué)習(xí)新知識(shí)的，但常常產(chǎn)生了負(fù)遷移，這時(shí)學(xué)生就不能從多角度、全面地看問(wèn)題，走入誤區(qū)，阻礙問(wèn)題的解決。負(fù)遷移常發(fā)生在兩種既相似又有區(qū)別的情境下，發(fā)生這種遷移時(shí)會(huì)使新知識(shí)的學(xué)習(xí)更加困難。學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生要將二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，而分式不等式的教學(xué)中，也可總結(jié)出類似步驟： 系數(shù)化正 化商為積。結(jié)果有些學(xué)生在操作起來(lái)時(shí)將系數(shù)化正這個(gè)重要的動(dòng)作提前做了，如圖6和圖7；而圖8這個(gè)學(xué)生第一步就化商為積了，第二步也是自創(chuàng)的一元二次不等式的解法，這些錯(cuò)誤都是由于受二次不等式的解法影響產(chǎn)生了知識(shí)的負(fù)遷移而未能保證式子的等價(jià)變形。

（3）知識(shí)結(jié)構(gòu)不完善引起的錯(cuò)誤

解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常要用到不需要學(xué)生會(huì)證明但能理解的正確的概念、性質(zhì)、算理、法則、定律等基礎(chǔ)知識(shí)，這樣學(xué)生才能正確、靈活地加以運(yùn)用，形成計(jì)算技能。概念不清、算理不理解都會(huì)導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題不能正確作答；對(duì)于計(jì)算法則、概念或運(yùn)算順序沒(méi)有很好的掌握，學(xué)生在計(jì)算時(shí)就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，甚至出現(xiàn)張冠李戴的情況，可怕的是學(xué)生意識(shí)不到自己的錯(cuò)誤。圖9圖10這兩種錯(cuò)誤是學(xué)生不理解符號(hào)法則所引起；圖11中，學(xué)生的錯(cuò)誤是由分式性質(zhì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)不全面引起的，學(xué)生已經(jīng)默認(rèn)分母x是正數(shù)直接去了，沒(méi)有分類討論也沒(méi)有按移項(xiàng)化為整式去解。

上述是幾種中職學(xué)生解分式不等式的錯(cuò)誤，其中的原因并不是孤立存在的，它們相互交叉并相互影響著。這些錯(cuò)誤實(shí)際是帶有普遍性的，教師充分地利用這些錯(cuò)誤，讓學(xué)生在在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)歷從不知到知，從知之不多到知之較多。

首先，是對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算法則、數(shù)學(xué)概念、原理沒(méi)有深入理解，忽視了公式定理適用的條件，亂套亂用公式；其次是分析問(wèn)題能力弱，只看到局部不顧整體，單憑自身的主觀意識(shí)，主動(dòng)地“創(chuàng)造”學(xué)生本人才懂的數(shù)學(xué)計(jì)算法則、公式等；最后，學(xué)生欠缺自主思考的習(xí)慣和能力，經(jīng)常死記硬背公式或老師總結(jié)的方法，結(jié)果是題型稍作變化甚至只是更換數(shù)字，學(xué)生就不理解而胡亂地張冠李戴。

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻?！比绻覀兡苓M(jìn)一步分析學(xué)生犯錯(cuò)誤的原因，透過(guò)錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)有關(guān)問(wèn)題，在錯(cuò)誤上面做些文章，就可變“錯(cuò)”為“寶”。要做到這些，教師可在三個(gè)時(shí)間節(jié)下功夫。

首先是課前，教師如果能預(yù)見到學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)時(shí)可能會(huì)與學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的缺陷發(fā)生沖突，在課內(nèi)講解時(shí)就可以有意識(shí)地指出并加以強(qiáng)調(diào)，從而有效地減少錯(cuò)誤的發(fā)生。其次是課內(nèi)，由于學(xué)生可能會(huì)混淆一元二次不等式的解法與分式不等式的解法，教師在課內(nèi)講解時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比的方法，弄清它們的聯(lián)系與區(qū)別。最后是課后，教師要認(rèn)真分析學(xué)生作業(yè)中的問(wèn)題，總結(jié)出典型錯(cuò)誤，這個(gè)形式可以根據(jù)實(shí)際情況靈活操作，比如可以在課堂上讓學(xué)生在黑板展示多數(shù)人都有的共性錯(cuò)誤、也可以在課室開辟出一個(gè)角落，展示學(xué)生有代表性的錯(cuò)誤，讓大家一起參與討論錯(cuò)誤的原因，尋找解決的辦法。除了不同的地方展示以外，還要引導(dǎo)學(xué)生建立錯(cuò)題本，這樣學(xué)生可以隨時(shí)隨地的復(fù)習(xí)與總結(jié)。

在教學(xué)過(guò)程中，細(xì)心的老師會(huì)發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)于相同的錯(cuò)誤是屢犯不止的，首先老師要平和、理智地看待，然后要充分利用好這些錯(cuò)題資源，讓“錯(cuò)誤”生動(dòng)起來(lái)、美麗起來(lái)，學(xué)生才能不斷地獲得新知識(shí)并從中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。endprint