廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528404) 郭立祥

基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下直觀(guān)想象能力的培養(yǎng)

廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528404) 郭立祥

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》修訂稿提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象和數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也將以新的課程標(biāo)準(zhǔn)為導(dǎo)向開(kāi)展教育教學(xué),其中提高高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為重要考察目標(biāo).在建立以學(xué)生為主體、教師為輔的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中,直觀(guān)想象有利于促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)與能力形成,有利于提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力,從而養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、創(chuàng)新意識(shí)、以及應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與欣賞數(shù)學(xué)之美.

高三備考教學(xué)中,充分發(fā)揮學(xué)生直觀(guān)想象能力,來(lái)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),對(duì)于一些問(wèn)題的解決往往會(huì)起到意想不到收獲.例如全國(guó)卷理科第24題滿(mǎn)分10分,我們把它作為必得分題組,但是在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,有部分學(xué)生仍然沒(méi)有掌握含有絕對(duì)值不等式的解法.基于培養(yǎng)學(xué)生直觀(guān)想象能力基礎(chǔ)上,我們來(lái)共同探究關(guān)于解含有絕對(duì)值不等式的問(wèn)題.

教學(xué)片段

例題(2016年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷2改編)已知函數(shù)f(x)=|x+1|?|2x?3|.求不等式|f(x)|＞1的解集.

師:對(duì)于這一道改編的高考題,直觀(guān)感覺(jué)它包含哪些知識(shí)點(diǎn)?又怎么來(lái)解決呢?

生1:f(x)是含有兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù),求解的不等式中也含有三個(gè)絕對(duì)值,可以將f(x)化為如下分段函數(shù),再進(jìn)行分類(lèi)討論.

師評(píng)論:這種方法巧妙將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),利用函數(shù)圖象進(jìn)行分類(lèi)討論,體現(xiàn)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想,涉及到零點(diǎn)問(wèn)題、穿針?lè)?、分段函?shù)、畫(huà)函數(shù)圖象、解絕對(duì)值不等式等知識(shí)點(diǎn).

師:那么是否有其他方法呢?

因?yàn)閨f(x)|＞1,所以|x?4|＞1,解得x＞5,或x＜3,所以x≤?1;當(dāng)?1＜x＜時(shí),

因?yàn)閨f(x)|＞1,所以|3x?2|＞1,解得x＞1,或所以

因?yàn)閨f(x)|＞1,所以|4?x|＞1,解得x＞5,或x＜3,所以

師評(píng)論:這種解法利用函數(shù)零點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論,涉及到函數(shù)零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化和化歸來(lái)解絕對(duì)值不等式.它通過(guò)零點(diǎn)去絕對(duì)值,把它轉(zhuǎn)化成為我們比較熟悉的函數(shù)形式,這種找零點(diǎn),實(shí)際上也是劃分區(qū)間,變成分段函數(shù),同學(xué)們也可以進(jìn)一步畫(huà)出分段函數(shù)的圖象,再根據(jù)函數(shù)的圖象進(jìn)行分段討論.第一種方法利用分段函數(shù)去絕對(duì)值,第二種方法通過(guò)零點(diǎn)來(lái)確定分段區(qū)間,第三種方法結(jié)合分段函數(shù)畫(huà)出函數(shù)圖象,這三種方法核心都是將絕對(duì)值化為分段函數(shù),異曲同工之妙.

師推進(jìn)1:如果同學(xué)們?cè)诳荚?可能在哪些地方出現(xiàn)扣分?

生3:可能會(huì)出現(xiàn)漏了某一個(gè)區(qū)間或區(qū)間端點(diǎn),也可能解題不規(guī)范.

師推進(jìn)2:我們做了這一道題,自然想到如果“?”變成“+”怎么解?

變式一、(2016年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷1)已知函數(shù)

M為不等式f(x)＜2的解集.

(I)求M;

(II)略.

師推進(jìn)3:函數(shù)解析式有什么幾何意義?

生4:f(x)可以看成點(diǎn)P(x,0)到的距離.

師推進(jìn)4:函數(shù)解析式中含有兩個(gè)無(wú)參數(shù)絕對(duì)值都解決了,那么含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式怎么來(lái)解呢?

變式二(2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷1改編)已知函數(shù)f(x)=|x+1|?2|x?a|,a＞0,求不等式f(x)＞1的解集;

試題分析利用零點(diǎn)分析法將不等式f(x)＞1化為一元一次不等式組來(lái)解;

(II)根據(jù)函數(shù)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)?1和a＞0分為三個(gè)區(qū)間,根據(jù)題意列出關(guān)于a的不等式,即可解出a的取值范圍.

試題解析由于?1和a＞0是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),因此討論如下:當(dāng)x≤?1時(shí),

因?yàn)閒(x)＞ 1,所以x＞2a+2,所以不等式無(wú)解.當(dāng)?1＜x≤a時(shí),

因?yàn)閒(x)＞1,所以當(dāng)x＞a時(shí),

因?yàn)閒(x)＞1,所以x＜2a,所以a＜x＜2a.綜上所述,所以不等式的解集為0}.

為了進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于含參數(shù)不等式的知識(shí)的運(yùn)用,在前三題的基礎(chǔ)上,進(jìn)行了如下六種變式.

變式三已知函數(shù)f(x)=|x+1|?2|x?a|=x?2a?1,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＞1的解集.

變式四已知函數(shù)f(x)=|ax+1|?2|x?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＞1的解集.

變式五已知函數(shù)f(x)=|x+1|?2|ax?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＞1的解集.

變式六已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x?a|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

變式七已知函數(shù)f(x)=|ax+1|+2|x?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

變式八已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|ax?1|,a∈R求關(guān)于x的不等式f(x)＜1的解集.

師:這六道變式題在變式二的基礎(chǔ)上,函數(shù)包含了兩個(gè)絕對(duì)值的和與差,以及解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式f(x)＜1與f(x)＞1.

教學(xué)反思本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是利用學(xué)生的直觀(guān)想象來(lái)培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教學(xué)過(guò)程中從求絕對(duì)值不等式

的解集出發(fā),類(lèi)比求絕對(duì)值不等式

的解集,聯(lián)想到求含參數(shù)絕對(duì)值不等式

的解集,推廣到求含參數(shù)絕對(duì)值不等式

的解集,再拓廣到另外六種變式,從而不斷挖掘題目的內(nèi)涵,拓廣其外延,增強(qiáng)學(xué)生的直觀(guān)想象能力,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目的.通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的知識(shí)、方法積累與掌握、運(yùn)用與內(nèi)化,創(chuàng)設(shè)不同情境讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)多角度思考問(wèn)題,用數(shù)學(xué)思想來(lái)分析問(wèn)題,用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題,從而形成具有良好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的能力、習(xí)慣和品質(zhì)等.