江蘇省泰州市姜堰中學(225300) 王立振

構建解題思路 反思課堂教學—一類二元變量證明題的解題策略

江蘇省泰州市姜堰中學(225300) 王立振

1、前言

當下,高中生學習數學最大的困難是不知如何解題、怎樣解題,數學概念基本能聽懂,習題課的效果也不錯,但是學生一旦自己動手解題時,往往就束手無策,不知從何入手,導致功夫沒少下,效果并不佳的情況,從而喪失學習數學的興趣和動力.

著名數學家波利亞解題理論告訴我們——解題要做“七分構思”(讀題、審題、發(fā)散、聯想、歸納),“三分表達”(書寫、運算、訂正、反思與回顧).高三復習教學無外乎就是教會學生如何解題、怎樣解題及課后的自我整理消化.不只是簡簡單單地把一道題目講清楚講明白,而是教會學生如何構建條件與目標之間的關系,并引導學生在課后進行自我消化與總結,這才是高三復習教學的重中之重.

2、難在何處

二元變量的證明問題在每年的全國各地的大型考試、模擬試卷甚至高考試卷都出現過.學生心有余悸的二元變量證明題到底“難”在何處?一般來說,一是難在證明形式的復雜(2016屆陜西師大附中高三下第十次模擬文科試題);二是難在無從下手(2016屆安徽六安一中高三下模擬四理科試題);三是難在知識與方法的綜合(2015-2016學年江蘇如皋中學高二下月考試).

3、賞析解題策略

例1 已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,證明:當a＜?1時,對任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)?f(x2)|+4|x1?x2|≥0.

策略1 從目標結構出發(fā),轉化為新函數單調性的證明.如果我們單純從結論出發(fā),求|f(x1)?f(x2)|+4|x1?x2|的最小值恒大于等于零.首先討論x1,x2的大小關系,去掉絕對值,再求含有兩個變量的表達式最小值,且表達式較為復雜,可想而知這樣的解題是繁瑣的.那么有無簡化的可能?該如何簡化解題?事實上,我們觀察不等式的結構可以發(fā)現,含有x1的多項式中只有x1,x2,也是一樣的.可將含有x1,x2的多項式左右分離,分別置于不等號的左右兩邊,再利用新函數的單調性就可證明.

解析因為a＜?1,所以對于x∈(0,+∞),f′(x)＜0,有f(x)單減.不妨設0＜x1＜x2,

轉化為

令g(x)=f(x)?4x,當0＜x1＜x2時,有g(x2)≥g(x1),則函數g(x)在(0,+∞)上單減.即證明g(x)的導函數g′(x)在(0,+∞)恒有

因為a＜?1,x＞0,所以有則有?x∈(0,+∞),g′(x)≤0,故結論成立.

點評將不等式進行變形后,使得含有x1,x2式子分別置于不等式的左邊和右邊,形如:g(x1)＜g(x1).從而將兩個變量的不等式證明問題轉化為新函數單調性的證明問題,轉化為學生易知、易求的問題.

例2 已知函數f(x)=xlnx,證明,對于任意的x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)+f(x2)+x1+x2＞f(x1+x2).

策略2 從變量形式出發(fā),轉化為一元變量的恒成立問題.從目標中變量所給的形式出發(fā),若二元變量可通過適當變形,使得x1,x2都以的整體形式出現,那么我們可以通過整體換元,達到減元的目的,起到減少變量的效果.

解析將不等式進行化歸轉化:

不等式兩邊同時除以x2,可得

令函數

其導函數

令h′(t)=0,易知存在t0,有

且h(t)在(0,t0)單調減,(t0,+∞)單調增.則有

點評改變思考問題的角度.通過對不等式的變形和轉化,不等式中兩個變量都是的形式出現,將整體換元,從而將二元變量的不等式證明問題轉化為一元變量的恒成立問題,使難解的問題簡單化,熟悉化.

策略3 從變量個數出發(fā),變量轉參數構造新函數.

有多元變量不等式的證明問題,即有兩個變量且變量間沒有內在的聯系.如果我們從變量個數出發(fā),把x2看成變量x,x1看成參數,這樣不僅減少變量的個數,而且轉化為學生熟悉的、易入手的一元變量的不等式問題.

解析1 將參數x2變?yōu)槲粗獢祒,記

其導函數

令f′(x0)=0,存在

使得f(x)在(0,x0)單調減,在(x0,+∞)單調減.所以

有?x2∈D,f(x2)＞0,易知

即結論成立.

點評將不等式中x2轉化為變量x,x1看作參數,使得上述不等式的證明問題轉化含有一個變量不等式恒大于零的問題,再利用導數求出最小值,即可得證.而解題的關鍵在于轉換參數與變量的角色.(構造的新函數不唯一,本題還可有如下構造)

解析2 當x1=x2時,結論顯然成立,否則不妨設0＜x1＜x2,設

當0＜x＜x1時,F′(x)＜0,F(x)在(0,x1)上為減函數,當x＞x1時,F′(x)＞0,F(x)在(x1,+∞)上為增函數,則有

當x2＞x1時,有

化簡可得:

即

故結論成立.

解析3 對于m＞0,令F(x)=f(x)+f(m?x),0＜x＜m,則當即F′(x)＜0時,F(x)在區(qū)間上單調遞減,當即F′(x)＞0時,F(x)在區(qū)間上單調遞增;因而對所有的0＜x＜m,都有即

取x=x1,m?x=x2,得

故有

結論成立.

一種漂亮解法的得出,需要我們對以往思路構思及經驗的不斷總結,更需要我們對問題有更深層的剖析.

4、教學啟示

任何數學問題都存在于某類問題的共性之中,利用數學中這種共性結果處理數學學習的困難.通過這類題目解法及其分析可知,這類題目思維角度較小,解題方法固化,所用知識也是常規(guī)的,但學生做題還是問題不斷,漏洞百出.在平時教學中我們需要多關注的是什么呢?

4.1 解題應以“構思”為綱

在現代任職心理學中,人的任職活動并非是對外部世界的簡單被動的反映,而是一個主體在其中發(fā)揮主觀積極能動性的過程.因此,高三復習教學活動不應看成教師教授知識,學生被動接受,而是啟發(fā)學生在已有的知識和經驗的基礎上,主動構建解題思路的過程.教師可根據每節(jié)課的教學內容不同,尋找一個引發(fā)問題的“生長點”,啟發(fā)學生,積極構思,培養(yǎng)學生勤于思考,善于構思的習慣,使學生具有悟性.

4.2 課堂教學應以“反思”為魂

反思是什么?反思就是在解決完一道數學題后還需認真進行如下的探索:該題的命題意圖是什么?考查了哪些基本知識和基本方法?解題過程是否合理、是否完善?有無其他解法?該題的解法是否具有一般性(即舉一反三、一題多變、一題多解)?以上的思考就是教學反思.教學反思有助于培養(yǎng)學生思維的廣闊性,提高思維的靈活性,最終幫助學生提高發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力,從而真正實現羅增儒老師倡導的“通過有限典型例題的學習領悟解無數道題的數學機智”.