上海市育才初級中學(xué)(200041) 但水平

關(guān)注課堂對話,以題論道論法,促進(jìn)數(shù)學(xué)理解—與面積有關(guān)的幾何問題

上海市育才初級中學(xué)(200041) 但水平

圖形面積在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)教材中都沒有進(jìn)行系統(tǒng)講解,而是散落在有關(guān)章節(jié)中,因此學(xué)生經(jīng)過近九年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),已經(jīng)了解了圖形面積的相關(guān)知識,會運(yùn)用圖形面積的有關(guān)知識解決簡單的問題.但由于沒有進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí),因此學(xué)生對面積知識的掌握是零碎的,沒有形成知識體系;應(yīng)用是純樸的,沒有形成自覺運(yùn)用的意識;思維是粗淺的,沒有形成靈活應(yīng)用的能力.因此在初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中,安排圖形面積問題的專題是必要的.

現(xiàn)狀分析

本節(jié)課是學(xué)好相似三角形后的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課.通過本章的學(xué)習(xí),學(xué)生對三角形的面積有關(guān)計算以及一些性質(zhì)的應(yīng)用有比較清晰地認(rèn)識和理解.考慮本專題內(nèi)容是歷年中考的熱點(diǎn)之一,也是難點(diǎn)之一,部分學(xué)生利用本專題相關(guān)知識解決問題的能力尚不足,尤其對合情推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性、計算的正確性及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題等均有一定的缺陷,因此,計劃上一節(jié)專題復(fù)習(xí)課.

創(chuàng)意設(shè)想

中考試題一般具有典型性、示范性、和遷移性,它們滲透了某些數(shù)學(xué)方法、體現(xiàn)某些數(shù)學(xué)思想、提供了某些重要結(jié)論,因此具有較高的開放性和應(yīng)用價值.對其深入研究、充分挖掘、并借題發(fā)揮,使其在更大范圍內(nèi)發(fā)揮效能.本設(shè)計針對不同程度的學(xué)生,兼顧不同層次,以課本知識為主線,以問題的變式為載體,幫助學(xué)生系統(tǒng)整理面積知識的脈絡(luò),提煉解決面積問題的方法,增強(qiáng)運(yùn)用面積知識解題思維水平,讓不同層次的學(xué)生都得到不同的發(fā)展.

課堂預(yù)期

(1)提出問題比解決問題更重要;

(2)學(xué)會分析比只會解答更有效;

(3)學(xué)生歸納比教師總結(jié)更精彩;

(4)改造訓(xùn)練系統(tǒng)更符合新課程.

問題背景

(1)如 圖 1,△ABC中,DE//BC分別交AB,AC于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)E作EF//AB交BC于點(diǎn)F.請按圖示數(shù)據(jù)填空:

四邊形DBFE的面積___;

△EFC的面積____;

△ADE的面積___.

探究發(fā)現(xiàn)(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE與BC間的距離為h.請證明S2=4S1S2.

拓展遷移

(3)如圖2,四邊形DEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的三邊上,若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為 2、5、3,試?yán)?2)中的結(jié)論求△ABC的面積.

圖2

試題探究

(1)試題解法探究

對于解題,波利亞曾說過:解題的成功,要靠正確的轉(zhuǎn)化.解決問題的過程是創(chuàng)造性的思維活動過程,其重要特點(diǎn)是思維的變通性和流暢性.當(dāng)我們面臨的問題難于入手時,不應(yīng)將思維停留在原問題上,而是將原問題轉(zhuǎn)化為較熟悉、容易解決的問題(化歸思想).

解(1)S=6,S1=9,S2=1.

設(shè)計意圖本題第(1)問實(shí)際上是對第(2)問的提示,這樣做有助于降低思維的難度,給學(xué)生解題提供一個寬松的入口,也為后面的過程作了一點(diǎn)暗示.三個問題的設(shè)置不是簡單的重復(fù),而是步步深入,只有拾階而上才有可能使問題解決..而S=ah,所以S2=4S1S2.

設(shè)計意圖“一題多解”是教師最常用的教學(xué)方法,也是學(xué)生最喜愛的解題學(xué)習(xí)方式,通過“一題多解”優(yōu)化解題過程,既新穎,由獨(dú)特的“最佳解”使學(xué)生思之廣、悟之深、愛之切、難之忘;解題教學(xué)中,適當(dāng)應(yīng)用“一題多解”,可以激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的求知欲望,加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解,增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的嫻熟運(yùn)用,鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性;同時使學(xué)生有一種成就感,最大限度地增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力和思維能力,提高學(xué)習(xí)的實(shí)效性、實(shí)效性和發(fā)展性.

(3)解如圖3,過點(diǎn)G作GH//AB交BC于H,則四邊形DBHG為平行四邊形.所以 ∠GHC= ∠B,BD=HG,DG=BH.因?yàn)樗倪呅蜠EFG為平行四邊形,所以DG=EF.所以BH=EF.所以BE=HF.所以△DBE≌△GHF.所以△GHC的面積為5+3=8.由(2)得,四邊形DBHG的面積為所以△ABC的面積為2+8+8=18.

圖3

設(shè)計意圖第(3)問具有一定的隱蔽性,通過適當(dāng)添加輔助線,把問題轉(zhuǎn)化為第(2)問,更有助于學(xué)生對知識的應(yīng)用.這告訴我們在平時的教學(xué)過程中,要善于對問題進(jìn)行變式,讓學(xué)生真正懂得問題的本質(zhì)、把握問題的核心思想,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

(2)模型結(jié)論探究

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,結(jié)合探索性問題結(jié)論進(jìn)行動態(tài)研究,培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思想、運(yùn)動變化思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升學(xué)生思維深度的有效途徑.下面我們來探究本題的相關(guān)結(jié)論.

如圖4,在△ABC中,DE//BC,EF//AB,設(shè)△ABC的面積為S,△ADE的面積為S1,△EFC的面積為S2,四邊形DBFE的面積為S3.試探究S、S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系.

圖4

圖5

如圖5,平行四邊形DEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的三邊上,設(shè)平行四邊形DEFG、△ADG、△GFC、△DBE的面積分別為S、S1、S2、S3.試探究S、S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)試題模型拓展

題目變式包括條件探究(增加、減少或變更條件)、結(jié)論探究(結(jié)論是否唯一)、引申探究(命題是否可以推廣)等等.利用此類變式方法可使學(xué)生掌握一類題的解法,筆者稱之為“解題通法”.通過上述研究,同學(xué)們已經(jīng)建立了數(shù)學(xué)模型,再把該模型具體化,我們可以得到如下試題.

例1 如圖6,在△ABC中,DE//BC,BC//GH,EF//AB//HI,若 已 知S△ADE= 36,S△HIC= 9,S△ABC=121.求四邊形GHIF的面積.

圖6

圖7

例2 如圖7,已知正方形DEFG內(nèi)接于△ABC,S1=4、S2=3、S3=1,那么正方形DEFG的邊長是多少?

(4)試題模型延伸

注重圖形的內(nèi)涵拓展,改變問題的呈現(xiàn)方式,突出對數(shù)學(xué)思維能力的考查,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題、探索創(chuàng)新以及靈活多變的思維能力(3)試題模型拓展.有可作如下改編.

例3 如圖8,已知△ABC,D為BC上一點(diǎn),DG//BC,平行四邊形DEFG的邊EF在直線BC上.求證:S四邊形DEFG≤

圖8

例1、2、3設(shè)計意圖創(chuàng)造性地使用素材是教學(xué)中的一個永恒話題,教師有效地開發(fā)利用素材資源,使試題內(nèi)容更加豐富,從而讓試題發(fā)揮出新的活力,更好地服務(wù)于教學(xué),這是提高課堂效率的必然選擇.因此選擇符合初中生特點(diǎn)的教學(xué)素材,并引導(dǎo)學(xué)生分析、整合、拓展、創(chuàng)新,進(jìn)行新的建構(gòu),從而發(fā)展學(xué)生解決問題的能力,對于我們一線教師來說任重道遠(yuǎn).作業(yè)設(shè)計:

某人用一張面積為S的三角形紙片ABC,箭出一個平行四邊形DEFG.記四邊形DEFG的面積為T.

圖9

圖10

備用圖

備用圖

(1)如圖9,如果平行四邊形DEFG的頂點(diǎn)都在的△ABC邊上,D、G分別為AB、AC的中點(diǎn).求T(用S表示).

(2)如圖10,如果平行四邊形DEFG的頂點(diǎn)都在的△ABC的各邊上.求

(3)對任意剪得的平行四邊形DEFG,還成立嗎?請說明理由.

作業(yè)設(shè)計意圖適當(dāng)?shù)?xùn)練模式的學(xué)術(shù)性和“學(xué)研氣”,使訓(xùn)練呈現(xiàn)生活化、情趣化、探究性、開放性和互動性.結(jié)合學(xué)生身邊的生活情境設(shè)計訓(xùn)練習(xí)題,鼓勵學(xué)生在情境資料中產(chǎn)生問題自主探究,不求唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案,追求讓學(xué)生有興趣有創(chuàng)意地參與訓(xùn)練,鞏固基礎(chǔ).

教學(xué)感悟

構(gòu)建主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為學(xué)習(xí)過程包括兩個方面的建構(gòu),一方面是對新信息的意義的建構(gòu),另一方面是對原有經(jīng)驗(yàn)的改造和重組.建構(gòu)主義教學(xué)觀強(qiáng)調(diào):教學(xué)應(yīng)在教師的指導(dǎo)下,以學(xué)習(xí)者為中心,教師的作用由傳統(tǒng)的傳遞知識的權(quán)威轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的輔導(dǎo)者、合作者和高級伙伴.

縱觀近幾年的中考,一些中考題來源于傳統(tǒng)的經(jīng)典試題,對其作一些變形、變式、加強(qiáng)、引申、拓展等,這告訴我們在平時的教學(xué)過程中,要通過對一些典型的試題作深入研究,如對問題的解法做深入探討,挖掘一題對解和最優(yōu)解,引導(dǎo)學(xué)生去思考、去探究、去創(chuàng)新,做到一點(diǎn)帶線、以線帶面,從而達(dá)到鞏固知識,培養(yǎng)能力,提高學(xué)生綜合素質(zhì)的目的這告訴我們在平時的教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)問題是多樣化的,教師要引導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多變的練習(xí),但不要一味地追求教學(xué)形式的多樣化,為應(yīng)注重教學(xué)過程,由目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中探究你“變”的規(guī)律,使所有的知識融會貫通,使思維在所學(xué)知識中游刃有余、順暢飛翔,這樣才能收到事半功倍的效果.

總之,要通過本專題的復(fù)習(xí),幫助學(xué)生將零碎的圖形面積知識系統(tǒng)化,將隱含的圖形面積性質(zhì)顯性化,將常見的圖形面積計算方法化,將粗淺的圖形面積思維深刻化,學(xué)會靈活應(yīng)用圖形面積來智慧地分析問題,巧妙地解決問題,提升學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng),進(jìn)而使得本專題的復(fù)習(xí)既符合課標(biāo)要求,又切合中考需要,切實(shí)提高復(fù)習(xí)課的效度,讓不同的學(xué)生通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)得到不同層次的發(fā)展.

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