寧萬正

(江蘇自動化研究所，江蘇 連云港 222006)

艦船輻射信號中壓縮感知降噪性能的研究

寧萬正

(江蘇自動化研究所，江蘇 連云港 222006)

研究了含噪信號的壓縮感知方法，分析得出，在壓縮采樣過程中，原始信號的信息得到保留，而噪聲信號的信息則被壓縮和丟失，從而在信號重構(gòu)時起到降低噪聲的性能。采用含有高斯噪聲的艦船輻射信號為例，仿真實驗表明，當(dāng)信噪比小于20 dB時，總存在合理的觀測值，使得重構(gòu)信號與原始信號的均方差比含噪信號與原始信號的均方差更小，從而起到提高信噪比的作用。

艦船輻射信號；壓縮感知；降噪

0 引 言

被動聲吶探測利用各種信號處理技術(shù)對接收到的艦船輻射噪聲進(jìn)行處理，以達(dá)到從復(fù)雜的背景噪聲中檢測目標(biāo)的存在，并對其各種參數(shù)進(jìn)行估計的目的。

隨著減振降噪技術(shù)的發(fā)展，艦船輻射噪聲越來越微弱。21世紀(jì)各類艦船輻射噪聲的聲源級由于新型隔音材料和消聲瓦等的使用而不斷降低。潛艇的輻射噪聲級由原來的160 dB左右降到110 dB左右。美國90年代建造的SN21（海狼級）核潛艇噪聲僅為95 dB，已經(jīng)低于海洋環(huán)境噪聲。再加之遠(yuǎn)距離傳播的損失以及復(fù)雜的背景噪聲的干擾，到達(dá)接收機(jī)的信號往往具有很低的信噪比。要想探測到目標(biāo)并獲取它的方位信息，就要盡量消除噪聲的干擾。因此，要想從復(fù)雜的背景噪聲中檢測到目標(biāo)的存在并獲取相應(yīng)的參數(shù)信息，同時還要盡量的遠(yuǎn)和準(zhǔn)，就必須想辦法提高信噪比。筆者在研究含噪信號的壓縮感知方法時發(fā)現(xiàn)，壓縮感知本身可以降低噪聲，提高信噪比，這無疑是有利于艦船輻射信號的檢測和跟蹤。而要將壓縮感知理論應(yīng)用到艦船輻射信號的處理上，則需要后者滿足壓縮感知理論的基本條件。

1 壓縮感知的基本理論

壓縮感知理論包括3個基本要素：信號的稀疏表示，觀測矩陣的選擇以及信號重構(gòu)算法。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Candès和Tao在文獻(xiàn)[1]中指出，信號如果在某領(lǐng)域的變換系數(shù)滿足具有冪次速度衰減，就可以用壓縮感知理論得到恢復(fù)，同時指出，光滑信號的Fourier系數(shù)、小波系數(shù)、離散余弦系數(shù)等都具有足夠的稀疏性，可以通過壓縮感知理論恢復(fù)信號。如果變換系數(shù)的非零個數(shù)（或絕對值較大的系數(shù)個數(shù)）為K，則稱信號為K-稀疏信號，K為信號的稀疏度。

2 艦船輻射噪聲的稀疏性

如果要將壓縮感知理論應(yīng)用到艦船輻射噪聲，則后者需滿足壓縮感知理論的基本條件，即信號的稀疏性。以某類艦船噪聲為例，圖1是該噪聲時域波形的一段，共4 800個采樣點。在時域內(nèi)，艦船輻射噪聲顯然不是稀疏信號?，F(xiàn)分析并驗證其傅里葉變換（FFT）系數(shù)以及離散余弦變換（DCT）系數(shù)的稀疏性。

對該信號進(jìn)行傅里葉變換，頻域波形如圖2所示。從圖中可見艦船輻射噪聲的頻譜包括線譜和連續(xù)譜2種，且線譜幅值高于連續(xù)譜幅值。根據(jù)壓縮感知理論，對于存在少量大系數(shù)和大量接近零值的小系數(shù)組成的信號也可以視為稀疏信號。利用文獻(xiàn)[1]給出的稀疏性的定義進(jìn)行驗證。

圖1 某艦船輻射噪聲信號時域波形Fig. 1 Time-domain waveform of ship-radiated noise

圖2 艦船輻射噪聲的頻域波形Fig. 2 Frequency-domain waveform of ship-radiated noise

將艦船輻射噪聲的傅里葉變換系數(shù)按從大到小的順序排列，得到并對其進(jìn)行指數(shù)形式的擬合，得到擬合曲線為擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)之間的均方誤差為0.04。實際衰減曲線和擬合曲線如圖3所示。為直觀起見，圖中只顯示前100個值。

圖3 艦船輻射噪聲FFT系數(shù)衰減曲線Fig. 3 FFT attenuation of ship-radiated noise

對艦船輻射噪聲進(jìn)行離散余弦變換，其變換系數(shù)波形如圖4所示，用相同的辦法驗證。將該系數(shù)按從大到小排列，并對其進(jìn)行指數(shù)形式的擬合，得到擬合曲線仍為，擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)之間的均方誤差為0.02。實際衰減曲線和擬合曲線如圖5所示。

明顯地，艦船輻射噪聲在傅里葉變換下和離散余弦變換下都稀疏，可以利用壓縮感知理論。

圖4 艦船輻射噪聲的DCT波形Fig. 4 DCT waveform of ship=radiated noise

圖5 艦船輻射噪聲DCT系數(shù)衰減曲線Fig. 5 DCT attenuation of ship-radiated noise

3 壓縮感知的降噪性能研究

筆者在將壓縮感知理論應(yīng)用到含有背景噪聲的艦船輻射信號時發(fā)現(xiàn)，如果信號的變換域（稀疏空間）已知，壓縮感知過程本身具有抑制噪聲的功能。下面對壓縮感知的降噪性能進(jìn)行深入的分析與研究，并結(jié)合實際數(shù)據(jù)計算在不同信噪比下，重構(gòu)效果隨觀測值個數(shù)的變化情況。

一般情況下，信號含有服從高斯分布的加性噪聲，可建立如下數(shù)學(xué)模型：

噪聲的存在也使觀測值發(fā)生了變化，含噪情況下觀測值Y變?yōu)?/p>

在一定重構(gòu)誤差要求下，不同的觀測矩陣、不同的重構(gòu)算法所需的觀測值數(shù)目也不相同。以高斯隨機(jī)觀測矩陣和OMP重構(gòu)算法為例，根據(jù)經(jīng)驗公式[5]知，當(dāng)觀測值數(shù)目M大于或等于M0時，觀測值中幾乎包含了信號的全部信息，利用OMP算法可以近似完全重構(gòu)原始信號。當(dāng)M小于M0時，M越小，觀測值中含有信號的信息量越少，重構(gòu)誤差越大；相反，M越小，觀測值中噪聲信息量越少，越有利于信號的重構(gòu)。因此，可以推知，在一定信噪比下，必然存在最佳觀測值數(shù)目（該數(shù)目應(yīng)小于M0）或最佳壓縮比，使得信號的重構(gòu)誤差最小。下面將利用仿真結(jié)果對此結(jié)論進(jìn)行驗證。

4 仿真試驗

仿真實例采用艦船輻射噪聲信號，觀測矩陣采用高斯隨機(jī)矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤法。取艦船輻射噪聲其中的256個采樣點。

1）一定信噪比、一定觀測值數(shù)目下的信號重構(gòu)情況仿真

將艦船輻射噪聲信號加入一定信噪比的背景噪聲，取信噪比SNR=5 dB和SNR=10 dB，時域波形分別如圖6和圖7所示。

圖6 SNR=5 dB的艦船輻射信號Fig. 6 The ship-radiated noise when SNR=5 dB

圖7 SNR=10 dB的艦船輻射信號Fig. 7 The ship-radiated noise when SNR=10 dB

圖8 中，SNR=5 dB，觀測值數(shù)目為M=58，重構(gòu)信號X 和原始艦船輻射信號X之間的均方誤差，含有背景噪聲的艦船信號S和原始信號X之間的均方誤差。

圖9中，SNR=10 dB，觀測值數(shù)目為M=62，重構(gòu)信號X和原始艦船輻射信號X之間的均方誤差，含有背景噪聲的艦船信號S和原始信號X之間的均方誤差。

圖8 SNR=5 dB M=58時的重構(gòu)性能Fig. 8 The reconstruction effect when SNR=5 dB and M=58

圖9 SNR=10 dB M=62時的重構(gòu)性能Fig. 9 The reconstruction effect when SNR=10 dB and M=62

2種情況下，觀測值數(shù)目均小于M0，重構(gòu)信號的均方誤差也都小于含有背景噪聲的信號誤差，即重構(gòu)信號比含噪信號本身更接近原始信號，壓縮感知過程間接起到了提高信噪比的作用。這顯然有利于艦船輻射噪聲的檢測與跟蹤。

2）不同信噪比下，重構(gòu)效果隨觀測值數(shù)目變化趨勢的仿真

在不同信噪比條件下，需要的最佳觀測值個數(shù)也不相同。為得出一定信噪比下存在的最佳壓縮比，現(xiàn)對不同信噪比條件下重構(gòu)效果隨觀測數(shù)目的變化情況進(jìn)行仿真。重構(gòu)效果的衡量采用文獻(xiàn)[6]給出的匹配度，定義如下：

從定義式可以看出，匹配度的取值一定為正，且介于0～1之間，重構(gòu)信號和原始信號之間的誤差越小，匹配度越大，其值越接近1，說明匹配性越好，重構(gòu)效果也就越好。

分別取信噪比SNR為0 dB，5 dB，10 dB，20 dB，得到匹配度隨觀測值數(shù)目的變化曲線如圖10～圖13所示。

分析圖10～圖13，當(dāng)信噪比取0 dB，5 dB，10 dB時，重構(gòu)信號的匹配度隨觀測值個數(shù)的變化曲線均出現(xiàn)一個峰值，且該峰值大于相應(yīng)信噪比下含噪信號的匹配度。峰值左邊，重構(gòu)信號的匹配度隨著觀測值數(shù)目的增加而增大；峰值右邊，觀測值數(shù)目增加，匹配度逐漸下降，并趨于相應(yīng)信噪比下含噪信號的匹配度。3種信噪比下峰值對應(yīng)的觀測值個數(shù)分別為52，58，62，均小于67。因此可以得出在固定信噪比下，總存在最佳觀測值使得重構(gòu)信號比含噪信號本身更接近原始信號。

圖10 SNR=0 dB時匹配度隨觀測值變化曲線Fig. 10 MR cure along with the number of measurements when SNR=0 dB

圖11 SNR=5 dB時匹配度隨觀測值變換曲線Fig. 11 MR cure along with the number of measurements when SNR=5 dB

另外，從圖中還可以看出，峰的尖銳程度隨著信噪比的增大而減小，表明信噪比越高，壓縮感知的降噪性能越不明顯。當(dāng)信噪比為20 dB時，重構(gòu)信號的匹配度就基本不存在峰值，而是隨著觀測值數(shù)目的增加單調(diào)上升。這是因為，信噪比較高時，噪聲對信號的影響幾乎消失，重構(gòu)信號的誤差只和重構(gòu)算法本身有關(guān)。

5 結(jié) 語

壓縮感知具有降噪功能，主要是因為信號在稀疏空間內(nèi)被完整地保留，而具有非稀疏特性的噪聲卻沒有，從而在信號重構(gòu)時，原始信號得以完全重構(gòu)，而噪聲不能完全重構(gòu)，間接起到提高信噪比的作用，這在艦船輻射噪聲的探測和跟蹤方面幫助很大，而對于含有非高斯背景噪聲的艦船輻射信號，則需要做進(jìn)一步的研究工作。

圖12 SNR=10 dB時匹配度隨觀測值變化曲線Fig. 12 MR cure along with the number of measurements when SNR=10 dB

圖13 SNR=20 dB時匹配度隨觀測值變換曲線Fig. 13 MR cure along with the number of measurements when SNR=20 dB

[1]BARANIUK R. A lecture on compressive sensing [J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2007, 24 (4): 118–121.

[2]CANDèS E, ROMBERG J, TAO.T. Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J]. IEEE Trans on Information Theory,2006, 52(2): 489–509.

[3]DONOHO D L. Compressed sensing [J], IEEE Trans on Information Theory. 2006, 52(4): 1289–1306.

[4]NEEDELL D, TROPP J A. CoSaMP: Iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples [J]. Appl Comp Harmonic Anal, 2009, 26(3): 301–321.

[5]LI Xiao-bo. The research of measurement matrix based on compressed sensing[D], Beijing: Beijing Jiaotong University,2010.

[6]周燦梅. 基于壓縮感知的信號重建算法研究[D]. 北京：北京交通大學(xué), 2010.

Research on noise reduction function of compressed sensing in ship-radiated noise

NING Wan-zheng
(Jiangsu Automation Research Institute, Lianyungang 222006, China)

For the problem of signal with noise in Compressed Sensing (CS), it is studied that, in the compression sampling process, the information of the pure signal is retained, but the information of the noisy signal is compressed and lost. Thereby the CS itself has the function of noise reduction. Taking the ship radiation signal with Gaussian noise as an example, when the Signal to Noise Ratio (SNR) is less than 20 dB, there is always a reasonable number of measurements to make the Mean Square Error (MSE) between reconstruction signal and pure signal is lower than the MSE between noisy signal and pure signal. So, it can increase the SNR indirectly.

ship-radiated noise；compressed sensing；noise reduction

TB53

A

1672 – 7649(2017)10 – 0112 – 05

10.3404/j.issn.1672 – 7649.2017.10.022

2017 – 02 – 23

寧萬正(1985 – )，男，碩士，工程師，研究方向為水聲通信、反潛、壓縮感知。