田小麗，王建榮

(太原科技大學應用科學學院，太原 030024)

自量子光學理論誕生以來，光與物質之間的相互作用已被人們關注多年，成為量子光學領域研究的熱門課題。量子糾纏的概念提出后[1]，人們用量子糾纏研究了光場和原子相互作用的動力學特性，二項式光場的產生[2-3]，二項式光場與級聯二能級原子的量子糾纏，及單模多模光場和二能級原子的互相作用等。近來發(fā)現，在量子信息表示方面，三能級系統比二能級系統表現出更多突出優(yōu)點，所以人們對三能級或多能級系統的研究日益廣泛，有人研究了二項式光場與級聯三能級原子的量子糾纏性質[4-5];研究原子間的失諧量在光場與原子相互作用系統中影響[6];研究Kerr介質的非線性系數在光場與原子相互作用系統中影響[7]，但都沒有考慮Kerr介質的非線性系數和原子間的失諧量在光場與原子相互作用系統中的影響。本文利用全量子理論討論了非線性系數和原子間的失諧量對二項式光場與級聯型三能級原子相互作用過程中場熵的影響。

1 二項式光場

單模二項式光場定義為[2]:

其中，M表示最大光子數;η為光場強度參量，當η=0，1時，|ηM〉分別約化為真空態(tài)|0〉和Fock態(tài);當 η →0，M→ ∞ 但 ηM= α2= 常數，則|ηM〉約化為相干態(tài)。因此二項式態(tài)是介于相干態(tài)和Fock態(tài)之間的一種量子中間態(tài)，研究二項式光場和原子的相互作用具有理論及應用價值。

2 理論模型

圖1 與二項式光場相互作用的三能級原子圖Fig.1 Cascade three-atom interaction energy-level diagram with binomial light field

如圖1所示的級聯型三能級原子模型，|3〉為最高激發(fā)態(tài)，|2〉為激發(fā)態(tài)，|1〉為原子的基態(tài)。原子在能級|3〉與|2〉，|2〉與|1〉之間躍遷，能級|3〉與|1〉之間為禁戒躍遷。在旋波近似及相互作用繪景中，二項式光場與原子相互作用的哈密頓量為:

其中a+和a為光場的產生和湮滅算符，g1和g2為原子與光場的耦合系數，本文取g1=g2=g，x為表示介質的三階非線性電極化現象強弱程度的參量，△ =ω2－v2=ω1－v1為光場與原子耦合的失諧量。

設原子初態(tài)處在三個能級的疊加態(tài):

光場處于二項式態(tài)，則系統量子態(tài)的時間演化可表示為:

兩體純態(tài)糾纏度(部分熵糾纏度)為[8-10]:

而SIρ(t)的定義為:

其中:ρa(t)=Trf(|ΨI(t)〉〈ΨI(t)|)，

可以證明，糾纏度在0和1.1之間，表征系統局域的混亂程度，量子態(tài)的糾纏度越大，從局部上看“局部態(tài)”的“不確定程度”就越大。

利用式(3)可得原子和二項式光場相互作用的約化密度矩陣:

二項式光場的約化密度矩陣的本征值λf(t)滿足:

方程中系數 u、v、u、w 滿足:

因此，光場和級聯三能級原子的量子約化熵可表示為:

3 數值計算及結果分析

取二項式光場的最大光子數M=200，當光場強度η、Kerr介質參數x、失諧量△取不同值，對原子處于不同初始狀態(tài)時對(5)式進行數值分析計算，可得到場熵隨時間的演化特性。場熵的時間演化可以反映光場與原子關聯程度的演化特性，熵越高，關聯越強，糾纏度越大。在場熵演化曲線中，gt表示時間因子，sf(t)表示場熵值。

3.1 原子的初始狀態(tài)處于非相干迭加態(tài)

原子處于激發(fā)態(tài)時，取A=0，B=1，C=0數值計算結果如圖2，圖3所示。

圖2 η=0.09 x=0.13時失諧量對場熵演化的影響Fig.2 Entropy evolution of the field with the frequency detuning when η =0.09 x=0.13

由圖2可知，在光場強度較小和失諧量為零時，x=0.13時原子間糾纏強烈，周期方面:前期熵值的振蕩幅度較大，但隨時間的延長，平均熵值趨于平緩且維持較大值。在此過程中增加失諧量的值，即考慮到非共振因素。從圖中我們可以看到，體系的熵場值整體下移，即糾纏強度減弱。但會在較短時間內達到穩(wěn)定。

由圖3可知，在光場較強時，x取0.03時原子間糾纏量會達到最值，但場熵值振蕩幅度較大，失諧量值的變化對振幅的影響不大。即在此情況下原子間的糾纏不穩(wěn)定。

3.2 原子的初始狀態(tài)處于等權相干迭加態(tài)

從圖4我們可以看出，在Kerr介質系數取1時，體系熵值基本上都在最大值和光場的強弱無關。失諧量在光場較強時對體系熵值影響不大，對周期也沒有較大的影響。但是，在弱光場中如果適當地增大失諧量的值卻可以使體系的糾纏量的振蕩幅度變小，即原子較好的糾纏在一起。

圖4 光場強弱，介質系數和失諧量對場熵的影響Fig.4 Entropy evolution of the field with parameters of coherent light field，kerr coefficient and frequency detuning

4 結論

本文從理論上數值分析了二項式光場中Kerr介質系數和失諧量對級聯三能級原子糾纏量的影響，得出:當原子處在非相干迭加態(tài)時，二項式光場的強弱、Kerr介質系數和失諧量對體系的熵值影響不同。當光場較弱時，能得到穩(wěn)定的糾纏態(tài)，此時Kerr介質的系數決定了糾纏量的最值，且失諧量的大小對糾纏量的幅值有影響;當光場較強時，得不到穩(wěn)定的糾纏態(tài)，此時Kerr介質的系數的影響同上，而失諧量對周期和幅值均沒有影響。若原子處在等權迭加態(tài)時，當光場較弱時，Kerr介質的系數影響場熵的最大值，且失諧量影響振蕩幅值;當光場較強時，Kerr介質的系數的影響同上，而失諧量對體系的熵值沒有太大影響。選擇合適的Kerr介質的系數和失諧量的值可以得到穩(wěn)定的糾纏態(tài)，這對量子糾纏態(tài)的制備有一定的參考價值。

[1]EINSTEIN A，PODOLSKY B，ROSEN N.Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete[J].Phys Rev，1935，71:777-780.

[2]STOLER D，SALEH B E A，TEICH M C.Binomial states of the quantized radiation field[J].Opt Acta，1985，32:345.

[3]DATTOLI G，GALLARRDO J.Binomiel state of the quantized radiation field:comment[J].Opt Soc Am B，1987(4):185-191.

[4]胡要花，方卯發(fā)，廖湘萍，等，二項式光場與級聯三能級原子的量子糾纏[J].物理學報，2006，55:4631-4637

[5]李小平，聶義友，胡菊菊.二項式光場與級聯型三能級原子相互作用的場嫡演化特性[J].量子電子學報，2005，22:217-221

[6]田永紅，彭金生.失諧量對雙模真空場作用下級聯型三能級原子中光場性質的影響[J].量子電子學報，1999，16(5):29-37.

[7]王建榮，李坤，賴云忠.Kerr介質對真空場級聯三能級原子糾纏量的影響[J].太原科技大學學報，2010，31(5):417-419.

[8]SINGH S.Field statistics in some generalized Jaynes-Cummings models[J].Phys Rev A，1982，25:3206-3216.

[9]BARNETT S M，PHONIX S J D.Entropy as measure of quantum optical correlation[J].Phys Rev A，1989 ，40(5):2404-2409.

[10]曾謹言.量子力學新進展[M].北京:清華大學出版社，2003.