王 丹

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130014）

泰勒公式的應(yīng)用探討

王 丹

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130014）

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理,它可將一些復(fù)雜的函數(shù)近似表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù).泰勒公式是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具,在函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的求解,方程根的存在性、不等式證明及近似計(jì)算中有著重要應(yīng)用.本文對(duì)此進(jìn)行了分析探討，以供參考.

泰勒公式；極限；高階導(dǎo)數(shù)

泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x=x0)的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的公式.泰勒公式的將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)等一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為最為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)研究.是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,在函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的求解,方程根的存在性、不等式證明及近似計(jì)算中有著重要應(yīng)用.

1 利用泰勒公式求極限

極限是高等數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)概念,連續(xù)、微分、積分等基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上.未定式極限是極限計(jì)算中一種常見(jiàn)形式,等價(jià)無(wú)窮小代換及洛必達(dá)法則是學(xué)生們常選用的兩個(gè)方法.但兩種方法都具有局限性，等價(jià)無(wú)窮小代換只能用于乘、除因子,作為加、減項(xiàng)的無(wú)窮小量不能隨意用其等價(jià)無(wú)窮小替換.應(yīng)用洛必達(dá)法則是有些函數(shù)求導(dǎo)比較繁瑣甚至需要多次應(yīng)用洛必達(dá)法則,計(jì)算量很大.此時(shí),利用泰勒公式計(jì)算是一種更有效的方法.

解 當(dāng)x→0時(shí),由于

所以

該題利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式（泰勒公式在x=0處的展開(kāi)式）,如用洛必達(dá)法則求該函數(shù)極限,需要用三次,且求導(dǎo)越來(lái)越復(fù)雜.由此例可看出,泰勒公式是計(jì)算函數(shù)極限的一個(gè)重要、有效的工具.

2 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)

寫出函數(shù)y=f(x)泰勒展開(kāi)式,再比較系數(shù)是求高階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)的常用方法,具體步驟為：

⑵題目給出一個(gè)具體的無(wú)窮階可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)通過(guò)泰勒公式或麥克勞林公式展開(kāi)成冪級(jí)數(shù);

⑶根據(jù)函數(shù)展開(kāi)式的唯一性,比較系數(shù),即可求得f(n)(x0)或者f(n)(0).

例2 求函數(shù)y=ln(1-2x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(0).

解 ⑴由于y=ln(1-2x)無(wú)窮階可導(dǎo),則將其展開(kāi)為

因此y(n)(0)=-2n(n-1)!

例3 設(shè)函數(shù)c,且f"'(0)=1,求a的值.

此題若直接求,運(yùn)算量非常大.泰勒公式是求函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)基本方法.

3 利用泰勒公式證明方程根的存在

證明根的存在性的常用方法是連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理和羅爾定理,但一般地,若題設(shè)條件具有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù),應(yīng)先考慮泰勒公式.

例4 設(shè)f(x)在[-1,1]區(qū)間上三次可微,證明存在實(shí)數(shù))使得

令x分別為1,-1,得

其中 η1∈(-1,0),η2∈(0,1).上述兩式相減得

設(shè) f"'(x)在[η1,η2]上的最大值、最小值分別為 M,m,則

根據(jù)介值定理,存在 ξ∈(η1,η2)?(-1,1),使得

存在實(shí)數(shù)ξ∈(-1,1)使得

4 利用泰勒公式證明不等式

拉格朗日中值定理、泰勒公式是證明不等式的常用方法,當(dāng)命題中含有f(n)(x)(n≥2)時(shí)常選用泰勒公式.

例5 證明若f(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù),且f'(a)=f'(b)=0,則?ξ∈(a,b),使

即?ξ∈(a,b),使

〔1〕苗文靜,王昕.關(guān)于泰勒公式及其應(yīng)用的思考與討論[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2013,29(5)：18-21.

〔2〕王小玲.泰勒公式求極限[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2013,32(2)：55-58.

〔3〕黃先開(kāi),曹顯兵.2010年考研數(shù)學(xué)經(jīng)典講義(理工類)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社,2009.84-86.

〔4〕張宇.高等數(shù)學(xué) 18講[M].北京：北京理工大學(xué)出版社,2013.78-79.

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