岳 田， 宋曉秋

(1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 十堰 442002； 2.中國礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

Banach空間中發(fā)展算子一致指數(shù)穩(wěn)定的新標(biāo)準(zhǔn)

岳 田1*， 宋曉秋2

(1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 十堰 442002； 2.中國礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

利用Lyapunov范數(shù)給出了Banach空間中發(fā)展算子的一致指數(shù)穩(wěn)定性的新的Datko型標(biāo)準(zhǔn)，所得結(jié)果推廣了指數(shù)穩(wěn)定性理論中的已有結(jié)果．

一致指數(shù)穩(wěn)定性； 發(fā)展算子； Lyapunov范數(shù)

關(guān)于Lyapunov范數(shù)的概念首先由Barreira與Valls[9]在研究非一致指數(shù)壓縮的容許性條件時所提出， 隨后文獻(xiàn)[10]利用該范數(shù)得到了線性斜積半流一致指數(shù)穩(wěn)定的Datko型結(jié)論， 從而拓展了Datko定理. 本文將在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)之上， 借助Lyapunov范數(shù)， 探討B(tài)anach空間中發(fā)展算子一致指數(shù)穩(wěn)定的Datko型定理.本文構(gòu)成如下， 在第1節(jié)給出文后需要的預(yù)備知識， 在第2節(jié)中討論發(fā)展算子的一致指數(shù)穩(wěn)定性的Datko型充要條件， 從而推廣文獻(xiàn)[3]和[10]中的結(jié)果．

1 預(yù)備知識

定義1稱Φ(t，t0):Δ→B(X)為X上的發(fā)展算子，如果它滿足如下4條性質(zhì)：

(i)Φ(t，t)=I，?t≥0；

(ii)Φ(t，s)Φ(s，t0)=Φ(t，t0)，?(t，s)，(s，t0)∈Δ；

(iii)Φ(·，t0)在[t0，∞)上連續(xù)；

定義2[9]設(shè)x∈X，t0≥0. 稱映射x+定義了Lyapunov范數(shù)，如果

(1)

注1易知對?t0≥0，x∈X，有下面不等式成立：

僅對于注1(ii)進(jìn)行說明，事實上

定義3發(fā)展算子Φ(t，t0)稱為一致指數(shù)穩(wěn)定的如果存在常數(shù)N>0和v>0使得對所有t≥t0≥0和x∈X，有

(2)

2 主要結(jié)果

定理1發(fā)展算子Φ(t，t0)一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件是存在兩個常數(shù)h>0和q∈(0，1)使得對每個x∈X和t0≥0存在τx，t0∈(0，h]滿足

(3)

(4)

綜上可得，Φ(t，t0)是一致指數(shù)穩(wěn)定的．

定理2發(fā)展算子Φ(t，t0)一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件是存在兩個常數(shù)K>0和p>0使得對任一x∈X及t0≥0，有

(5)

證明必要性.由定義3立即可得．

充分性. 對于任一x∈X及t0≥0，設(shè)t≥t0+1，τ∈[t-1，t]. 則

故有

進(jìn)一步地，

如果t∈[t0，t0+1)，則

綜上可得

現(xiàn)在設(shè)t≥t0，τ∈[t0，t]. 則有

對任一x∈X及t0≥0成立. 進(jìn)而

進(jìn)一步地，

故

定理3發(fā)展算子Φ(t，t0)一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件是存在W:+×X→+及常數(shù)K′，p>0使得對于任一x∈X及(t，t0)∈Δ，有

(6)

(7)

充分性.由于

進(jìn)而

對任一x∈X及t0≥0成立，利用定理2可得Φ(t，t0)是一致指數(shù)穩(wěn)定的．

[1] DATKO R. Extending a theorem of Liapunov to Hilbert spaces[J]. J Math Anal Appl， 1970，32(3): 610-616．

[2] PAZY A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations[M]．New York: Springer Verlag， 1983．

[3] DATKO R. Uniform asymptotic stability of evolutionary processes in a Banach space[J]. Siam J Math Anal， 1973，3(3): 428-445.

[4] ROLEWICZ S. On uniform N-equistability[J]. J Math Anal Appl， 1986，115(2): 434-441．

[5] MEGAN M， SASU A L， SASU B. On uniform exponential stability of linear skew-product semiflows in Banach spaces[J]. Bull Belg Math Soc Simon Stevin， 2002，9(1): 143-154．

[6] MEGAN M， SASU A L， SASU B. Integral characterizations for stability of linear skew-product semiflows[J]. Math Inequal Appl， 2004，7(4): 535-541．

[7] PREDA C. On the uniform exponential stability of linear skew-product semiflows[J]. J Funct Spaces Appl， 2006，4(2): 145-161．

[8] LUPA N， MEGAN M， POPA I L. On weak exponential stability of evolution operators in Banach spaces[J]. Nolinear Anal， 2010，73(8): 2445-2450．

[9] BARREIRA L， VALLS C. Admissibility for nonuniform exponential contractions[J]. J Differ Equations， 2010，249(11): 2889-2904．

[11] 葛照強(qiáng)， 朱廣田， 馮德興. 退化C0-半群族的指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報， 2011，54(1): 89-96．

[12] 葛照強(qiáng)， 馮德興. Banach空間中廣義發(fā)展算子的一致指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報， 2016，39(6): 811-822．

[13] 岳 田， 雷國梁， 宋曉秋. 線性斜演化半流一致指數(shù)膨脹性的若干刻畫[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展， 2016，45(3): 433-442.

[14] 岳 田， 宋曉秋. 巴拿赫空間上斜演化半流的非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)， 2016，43(2): 181-183．

NewcriteriaforuniformexponentialstabilityofevolutionoperatorsinBanachspaces

YUE Tian1， SONG Xiaoqiu2

(1.School of Science， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan， Hubei 442002;2.School of Mathematics， China University of Mining and Technology， Xuzhou， Jiangsu 221116)

The new Datko type criteria for uniform exponential stability of evolution operators in Banach spaces is obtained via Lyapunov norms. Variants for uniform exponential stability of some well-known results in stability theory are obtained．

uniform exponential stability; evolution operators; Lyapunov norms

O175.13

A

2017-05-27.

湖北省自然科學(xué)基金項目(2014CFB629)；湖北汽車工業(yè)學(xué)院校預(yù)研基金項目(2014XY06)；湖北汽車工業(yè)學(xué)院“本科教學(xué)建設(shè)與改革”項目(JX201766)．

*E-mail: ytcumt@163.com.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.05.003

1000-1190(2017)05-0578-03