劉 剛 趙 毅

北京市第十二中學(xué) (100071)

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽15題的探究與推廣

劉 剛 趙 毅

北京市第十二中學(xué) (100071)

1試題

圖1

(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽)如圖1，已知拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A，直線AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B．

(1)求證：直線AB過定點(diǎn)；

(2)求△ABC面積的最小值．

試題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系及定點(diǎn)、面積最值問題，考查了方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想以及坐標(biāo)法的應(yīng)用，檢驗(yàn)了運(yùn)算求解、分析問題與解決問題的能力．試題解法靈活，內(nèi)涵豐富，是一道好題．

2解法探究

(1)問的探究

分析1:先設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AC的方程，與直線y=x+3的方程聯(lián)立得到P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)直線PB與x軸平行求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后建立直線AB的方程從而得到答案．

分析2:先設(shè)出直線AB的方程以及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線PB與x軸平行表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用A，P，C三點(diǎn)共線，由斜率建立等式關(guān)系，最后借助根系關(guān)系并消元得到一元一次方程，根據(jù)一元一次方程恒成立進(jìn)行求解．

(2)問的探究

3推廣

經(jīng)過對本題的深入研究，可得以下定理及推論．

推論1 在拋物線y2=2px(p>0)上任取不同于頂點(diǎn)O的一點(diǎn)A，直線AO與直線x=a(a<0)交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B，則直線AB過定點(diǎn)(-a,0)．

推論2 過定點(diǎn)Q(a,0)(a>0)的直線交拋物線y2=2px(p>0)于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的平行線交直線AO(O為拋物線的頂點(diǎn))于點(diǎn)P，點(diǎn)Q關(guān)于O的對稱點(diǎn)為M，則直線PM為x=-a．

推論3 過定點(diǎn)Q(a,0)(a>0)的直線交拋物線y2=2px(p>0)于A，B兩點(diǎn)，直線AO與直線x=-a交于點(diǎn)P，則直線PB∥x軸．

推論4 過定點(diǎn)Q(a,0)(a>0)的直線交拋物線y2=2px(p>0)于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的平行線交直線x=-a于點(diǎn)P，則直線AP經(jīng)過原點(diǎn)O．

經(jīng)過以上探究可以看出，這道競賽題是在課本及高考題的基礎(chǔ)上改編得來的．教材是集體智慧的結(jié)晶，對教學(xué)及各類考試有著導(dǎo)向作用，所以在習(xí)題教學(xué)中，要重視課本中的例習(xí)題，這樣可以最大化的提高教學(xué)效率．