彭耿鈴

福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

兩類數(shù)列不等式的證明探析

彭耿鈴

福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

不等式的證明因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)潛能，因而成為高考試題考查的極好素材，倍受青睞.本文就此類題目進(jìn)行總結(jié)梳理，希望讀者能決勝于高考.

一、對數(shù)型數(shù)列不等式的證明探析

例1 (2014年陜西理科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x)(x≥0)，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x))(n∈N+)，求gn(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)n∈N，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

(Ⅰ)用a表示b,c；

(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

小結(jié)：在證明對數(shù)型數(shù)列不等式，其常用的證明方法是設(shè)數(shù)列不等式的左、右兩邊分別為Sn、Tn，只要控制Sn的通項(xiàng)an大于或小于Tn的通項(xiàng)bn即可，而證明an>bn(an

二、常數(shù)形數(shù)列不等式的證明探析

例3 (2014年新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

(Ⅰ)若x1,x3,x5成等比數(shù)列，求參數(shù)λ的值；

總結(jié)：在證明常數(shù)形數(shù)列不等式，其常用的證明方法是構(gòu)造一個(gè)小于或大于不等式的右邊常數(shù)的數(shù)列和Tn，只要控制不等式左邊的通項(xiàng)an大于或小于Tn的通項(xiàng)bn即可.