潘小明

江蘇省泰州學院 (225300)

解題教學：重在通過解題活動深化學生數(shù)學思維*

潘小明

江蘇省泰州學院 (225300)

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，作為數(shù)學教學重要環(huán)節(jié)和重要內(nèi)容的解題教學自然也是解題活動的教學.解題教學既然是解題活動的教學，就應當是一個有著思路探究和結(jié)果整理的思維過程.由此，在解題教學過程中應當重視師生雙方解題過程的暴露.對在解題教學中起主導作用的教師而言，尤其要注意合理暴露諸如“思路尋探”“方法優(yōu)化”“結(jié)果分析”“監(jiān)控調(diào)節(jié)”和“過程反思”等關(guān)鍵性解題思維過程.缺少對解題活動過程的有效暴露，解題教學很容易淪為機械性的刺激反應活動，學生不僅難能經(jīng)由解題實踐激發(fā)有深度的數(shù)學思維，而且難能經(jīng)由“問題理解”“思路尋找”和“獲得解答”這一系列的過程學會如何解題.相反，不良的解題習慣還會使越來越多的學生在對“解題方法模仿”“解題結(jié)論記憶”的過程中走向不是深度而是表層化的數(shù)學學習.本文擬結(jié)合一則數(shù)學教學案例的分析，討論當下的數(shù)學解題教學何以會異化數(shù)學解題的活動？何以會分裂解題活動與數(shù)學思維的對接？并在此基礎(chǔ)上初步探討如何改進數(shù)學解題教學的對策.

一、教學案例的描述

Y老師在高二(3)班給學生提供了如下一道數(shù)學題：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,試探求f(-2)的取值范圍.

Y老師認為，這道題并不是太難，自己所教的班級是重點班，他想，“學生會的自己就不必多費口舌”“今天要完成的教學工作量比較大，這道題交給學生自己來解決”.基于自己的思考，Y老師在出示題目后，要求學生自己來“做一做”，并讓一位他認為解題能力不錯的學生1到講臺前的黑板上進行板演.學生1的板演如下：

Y老師一看，答案與自己的完全相同，應當沒有什么漏洞，于是笑著說：“大家看一看，這個解法是正確的.如果沒有什么問題，我們就來做下面的一道題.”

就在老師準備就此而過的時候，學生2突然舉手要求發(fā)言.“嗯，有人舉手了.好的，你有什么問題？請講！”Y老師對學生2微笑說.

解:∵f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,由已知條件有1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②∴3≤2a≤6.又∵4a-2b=2a+2(a-b),∴3+2×1≤f(-2)≤6+2×2.即所求f(-2)的取值范圍為[5,10].

學生2：老師，我的答案和黑板上的不一樣！

Y老師：你是不是哪兒不小心，算錯了？你得認真仔細地重新檢查一下！

學生2：老師，我認真檢查過了，我的答案沒問題！

師：怎么可能？你肯定在某個地方搞錯了.好吧，你也到前面來，在黑板上把你的解題過程寫出來，讓大家?guī)湍憧纯磫栴}究竟出在哪兒？

學生2根據(jù)教師的指令在黑板上寫下了自己的解題過程.

解:∵f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②①+②得3≤2a≤6,即32≤a≤3,③由②得-4≤-(a+b)≤-2,④①+④得-3≤-2b≤0,即0≤b≤32⑤③×⑤+⑤×(-2)得3≤4a-2b≤12,∴所求f(-2)的取值范圍為[3,12].

Y老師一看，答案確實不一樣!學生1的解答與自己的解答、參考書上的解答都是一樣的.學生2的解答肯定是錯了，那么，錯在哪兒呢？Y老師用眼睛再一次瞄了瞄黑板，一下子沒有看出學生2的解法致錯的原因.怎么辦？Y老師頭腦迅速地轉(zhuǎn)著，他決定將解題的皮球先踢給下面的學生們.

Y老師：同學們一起來看看，現(xiàn)在有了兩種不同的解答了，結(jié)果不同.那么誰對誰對？錯在什么地方呢？大家可以相互討論.

老師的話音一落，教室里嘰嘰喳喳地議論了起來，“第二種解答肯定是錯的！”“我的解答和第一種相同，可第二種答案看來也不錯呀！”“第一個結(jié)果是第二個結(jié)果的真子集”“第二個范圍更大”“也許這兩種解答都不對”……教室里看來有點亂.

利用學生相互討論的這段時間，Y老師自己對解答有了正確的判斷：學生2的答案是錯誤的，他問了幾個學生對學生2解答的看法，見學生說不出一個所以然，他想，“如果再問下去，肯定是浪費時間，自己還有任務(wù)要完成”“干脆自己來講吧！”于是他果斷地把自己對學生2解法的正確認識當眾揭曉.

Y老師講解后，再也沒有其他學生提出異議.Y老師終于舒出了一口氣，接著講解他預先備好的下一道題……

二、教學案例的反思

這個案例可以從多個角度來反思，從“解題活動”“數(shù)學思維”兩個角度來反思，我們可以提出如下的一些問題：Y老師是如何展開解題教學的？在這一解題教學中，存在著哪些解題活動？主導教師解題活動的內(nèi)在因素是什么？Y老師的解題價值觀可能是什么？從學生的表現(xiàn)看，Y老師解題教學能否算成功？為什么？在這一解題教學中，學生在思維訓練方面有哪些收獲？存在哪些不足？為了進一步深化學生的數(shù)學思維，類似的解題教學還可做哪些改進？下面就嘗試所提出的問題作一些分析.

Y老師主要是通過“讓學生做題”“讓學生板演”“讓學生提問”“自己講解”來展開教學的，之所以這樣展開教學，是因為Y老師有著諸如“這道題并不是太難”“所教的班級是重點班”“學生會的自己就不必多費口舌”“今天要完成的教學工作量比較大，這道題交給學生自己來解決”等一系列的教學預設(shè).表面看來，Y老師的教學預設(shè)中也有著濃濃的“學生主體意識”“課堂效率意識”.所謂的“學生主體意識”，在這里主要表現(xiàn)為數(shù)學教學要讓學生動腦、動手，先有學生的做數(shù)學，再有教師的講數(shù)學.而所謂的“課堂效率意識”，在這里主要表現(xiàn)為“學生會的教師就不講”“教師課堂語言精練”，盡可能節(jié)約時間、盡可能多講解一些題目.然而從實際效果來說，教師并沒有真正體現(xiàn)“學生主體意識”，比如，對學生2解法的分析最終仍是教師“塞給學生的”“是直接向?qū)W生奉送答案的”.Y老師沒有真正地認識到，自己所教的班級有著近50名的學生，他們有著不同的數(shù)學基礎(chǔ)、思維風格，他們不是空著腦袋走進教室的，他們不應象一張白紙一樣任由教師涂畫，也不應象一個空洞的容器一樣任由教師直接塞正確的解法.教學認識的缺失必然導致教學行為的不當，由Y教師主導的解題教學中就實然地喪失或減弱了學生的主體性.事實上，盡管有許多學生在解法上與學生1的解法相同，但是，他們?yōu)槭裁催@樣解？同一解法背后是否都有著同樣的數(shù)學思維？教師沒有探究，也不知曉.此外，在Y老師講解學生2解法錯誤的原因之前，他也聽到了教室里一些嘰嘰喳喳的議論——“第二種解答肯定是錯的！”“我的解答和第一種相同，可第二種答案看來也不錯呀！”第一個結(jié)果是第二個結(jié)果的真子集”“第二個范圍更大”“也許這兩種解答都不對”，由于當時忙于思考如何評判學生2解答的科學性，所以，盡管Y老師聽到了議論，而且這些議論中可能會有一些值得進一步挖掘的教學資源，但他并沒有真正有效利用學生的議論，本質(zhì)上就是無視學生的存在.其次，教師也沒有真正體現(xiàn)“課堂效率意識”，簡單地把一道題一帶而過，教師內(nèi)心貪圖的是講更多的題，本質(zhì)上是長期存在的“題海戰(zhàn)術(shù)”教學思想在作怪.數(shù)學問題似海洋，題海戰(zhàn)術(shù)很荒唐，所以盡管人們強調(diào)數(shù)學學習要多做題，但不主張題海戰(zhàn)術(shù).比如，曾經(jīng)用麻袋裝草稿的數(shù)學家陳景潤在與他的學生討論數(shù)學解題時也強調(diào)“題有千變，貴在有根”，認為只有尋探到了題目的“根”，才能促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提高.這也表明，做數(shù)學題目、教數(shù)學題目，貴在將題目做透，貴在將學生的數(shù)學思考通達至題目的“根子上”，只有這樣，學生才能“舉一反三”“觸類旁通”，讓做過的數(shù)學題目具有真正的“生長性”和教學效益.在解題教學中顧數(shù)量不顧質(zhì)量顯然不是真正意義上的“講效率”，也不是“精講精練”的內(nèi)在要求.

從總體上說，Y老師對于這道題目的教學盡管有一些優(yōu)點，但確實不能算成功.雖然我們可以看到，在這一解題教學過程中已經(jīng)有學生“動了起來”——“做題”“板演”“交流”“討論”，等等，但這些“動起來”并非是真正意義上的數(shù)學活動，因為這些“動起來”并未與思維暴露、思維內(nèi)容、思維深化有機融合起來.學生1的解答雖然是正確的，但他是如何思考的？不得而知.學生2的解答雖然是錯誤的，但他錯誤的結(jié)果與學生1正確的結(jié)果又存在著一定的關(guān)系(學生2所求解集真包含學生1所求解集)，為什么會這樣？學生在解題活動過程中出現(xiàn)錯誤是一種正常甚至是必然的現(xiàn)象，由此對于解題教學而言，教師就應當認識到對學生錯解的分析與處理是解題教學重要、必要而又非常正常的業(yè)務(wù)，并且，由于來自學生的錯解具有“正例示范所不可替代的作用”，所以合理處理學生的錯解有利于發(fā)展學生的批判性思維和提高解題教學的完整性.特別地，應當看到，來自學生的錯解或相關(guān)的疏忽，既可能產(chǎn)生一些消極的教學因素(如耗時、費口舌、學生喪失信心、影響士氣)，也有可能產(chǎn)生一些積極的教學因素(如借機完善學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)、加強數(shù)學知識的聯(lián)結(jié)).在本教學中，Y老師對此顯然缺少正確的認識.從邏輯上講，教學過程中出現(xiàn)了兩種具有包含關(guān)系的結(jié)果可以證明至少有一種解答是錯誤的，利用學生討論的時機，教師把學生2出錯的原因想通了，并進行了講解，但這樣的教學并沒有能正視學生“也許這兩種解答都不對”的擔心，源于數(shù)學知識的邏輯分析并不等于學生心理上的接受，更不等于學生有深度的數(shù)學思維和更本質(zhì)的數(shù)學理解.這是因為，學生2的出錯并不能保證學生1的正確，即使學生1的解答與參考答案以及老師本人的解法相同，也不能保證這種解法一定是正確的(盡管它確實是正確的).至少，僅僅用教師本人對一種錯誤分析的講解還不能揭示數(shù)學題目真正的“數(shù)學化”本質(zhì)，教師替代性數(shù)學思考遠遠不能等同于學生建構(gòu)性數(shù)學思考.

從根本上說，Y老師在解題教學中并未將“解題活動”與“思維活動”有效對接.解題思路的探求主要反映解題者的思維活動過程，所求問題答案的呈現(xiàn)主要反映解題者數(shù)學思維活動的結(jié)果.Y老師在解題過程中更多關(guān)注了解題的結(jié)果，對解題思路的探求過程還沒有高度重視，比如，除了如學生1的解題思路外，還有沒有其他的解題思路？在不同的解題思路中，哪些或哪一個是更為本質(zhì)的？不同的解題思路之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？諸如此類的問題，教學中都沒有涉及.當然，Y老師自己本人也存在著“麻痹”“輕視”的心理，他因為自己在備課時很快做出了答案并且和參考答案相符，就沒有對題目進行深究，這其實也反映了教師解題習慣和數(shù)學核心素養(yǎng)的不足，特別是當他看到學生2錯誤的解答后并未能迅速定位學生出錯的原因和有效的教學，也進一步反映了數(shù)學功底和教學能力的欠缺.在現(xiàn)實的數(shù)學解題教學中，象Y老師這樣的數(shù)學教師人數(shù)眾多，他們喜歡將解題教學的關(guān)注點停留于最終解題結(jié)果的呈現(xiàn)，對于解題過程要么不敢暴露(教師自己事先看了參考答案然后照本宣科)，要么不會暴露，不能處理好暴露什么？如何暴露？暴露到什么程度？由于教師不會暴露解題思維，不少學生雖然能看得懂教師所提供的一些解法，但是相應的解法究竟怎么來的不得而知，長此以往，學生會感覺到從教師那里會有越來越多解題方法的簡單堆積或者各種各樣解題技巧的神秘出現(xiàn).解題教學不僅要求教師懂數(shù)學、會做題，而且要求教師會暴露解題思維、揭示數(shù)學方法，只有合理暴露數(shù)學解題的過程和透徹地分析問題中所涉及數(shù)學知識和數(shù)學方法的本質(zhì)，數(shù)學解題教學才能有較強的數(shù)學感染力和思維穿透力.忽視解題活動與數(shù)學思維的對接，教師講題目覺得無聊，學生做題目覺得無奈，教和學的興趣共同淹沒在題海中，教和學的智慧共同喪失于傻練中.

三、改進教學的意見

就核心價值而言，解題教學要引導學生通過解題活動與數(shù)學思維的對接實現(xiàn)相關(guān)數(shù)學知識的掌握和數(shù)學能力的提高，為了實現(xiàn)這一核心理想，這道題的教學還可以從如下方面作一些優(yōu)化或改進：

其一，教師本人要在事先立足于學生的深度學習進行充分的備課.深度學習更注重學習者的主動性、協(xié)作性和探究性，“三性”究竟如何通過教學設(shè)計來實現(xiàn)？數(shù)學問題背后隱藏著許多思想和方法，教師如何通過有效而深入分析予以揭示？提高解題教學的預見性關(guān)于在于對問題和學生的深研，為此，教師要深度預測學生在解題活動中可能性的解法及其可能性的錯誤，要自覺地防范和克服僅僅因教師個人解法與參考書“不謀而合”就不再深究的教學行為，要在平時加強自己的解題修養(yǎng)，要通過解題、讀書(包括數(shù)學、教育和心理學等方面的書)、和他人交流和自主反思不斷開闊自己的解題視野，要有意識地從數(shù)學教材、教參、教輔等現(xiàn)有資料的局限性中跳出來，除了將題目“做全”“做對”，還要將題目“做深”“做透”，要善于在更高的層次、更高的觀點下看待自己的數(shù)學解題與教學實踐，不斷增強對數(shù)學題目和所教學生的理解.

其次，就學生解答，除了讓學生板演“怎樣解的”，還應當讓學生說明“為什么這樣解？是如何想到？”比如，對于學生1的正確解答，要防止“碰巧”產(chǎn)生的做法，而是要讓學生說出對題目的理解，認識到其本質(zhì)是已知a+b和a-b的范圍，并據(jù)此求4a-2b的范圍，在此基礎(chǔ)上說明自己的解題思路的關(guān)鍵是“設(shè)法將4a-2b用a+b和a-b來表示”，本質(zhì)上是一種從整體進行數(shù)學思考的方法.針對學生2的錯解，教師自己明白了錯因后，不能立即向?qū)W生講解，而是引導學生對學生2的思維過程進行討論，由于錯誤具有一定的隱蔽性，所以要舍得留時間給學生思考、討論和交流，自己講解后，要有恰當?shù)臋C制評價學生“是否真的懂了”“是否真的掌握了”.

(1)若f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，那么f(k)的范圍是什么？(2)若f(x)=ax2+bx，且a1≤f(x1)≤b1,a2≤f(x2)≤b2,那么f(k)的范圍是什么？(3)如果f(x)=ax2+bx+c，且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,5≤f(2)≤10，能否求出f(3)的范圍？

解題教學的重心不是解題，而是想法，如果教師僅僅引導學生根據(jù)已知條件和問題目標進行形式化的計算、推理、演繹，而不能涉及所求解問題背后的數(shù)學本質(zhì)，即使做了很多題目，也無異于豬八戒吃了許多人參果食而不知其滋味，這樣的解題教學就很難體現(xiàn)解題活動和數(shù)學思維的應有價值.為了提高解題教學的價值，教師在解題教學中應通過“解題活動”與“數(shù)學思維”自覺、主動的對接，鞏固所學的數(shù)學知識與技能，增強對所學概念和命題的理解，優(yōu)化數(shù)學思維的品質(zhì)，將真正數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落細、落實.

泰州學院教授博士基金項目“數(shù)學教師實踐性知識研究”(TZXYJB/201502)階段性成果之一.江蘇省高校自然科學基金項目“關(guān)于拓撲空間中反射族的研究”(14KJB110024)階段性成果之一.