龐良緒

上海市市西中學(xué) (200040)

例析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺思維培養(yǎng)

龐良緒

上海市市西中學(xué) (200040)

數(shù)學(xué)直覺思維是指人們不受固定的邏輯規(guī)則約束,對數(shù)學(xué)對象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接領(lǐng)悟和洞察,它是人們運(yùn)用已有的知識(shí)組塊和形象直感,對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的觀察,細(xì)致的分析,透徹的理解,并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑的一種思維形式.

作為科學(xué)探索能力，直覺顯然是十分重要的，這正如數(shù)學(xué)家龐加萊所指出的：“邏輯是證明的工具，而直覺則是發(fā)現(xiàn)的工具.” 那么，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要直覺嗎？“一個(gè)懸而未決的難題，幾年來苦苦地在我腦海中反復(fù)盤旋.兩天之前我成功了……謎在一瞬間解開，像閃電一樣！我自己也說不清是什么導(dǎo)線，把我原先的知識(shí)和使我成功的東西連結(jié)了起來”.這是“數(shù)學(xué)王子”高斯在興奮地講述自己在一次重要突破中的體驗(yàn).這就是人類創(chuàng)造性思維中一朵神秘之花:靈感.身無彩鳳雙飛翼，心有靈犀一點(diǎn)通.龐加萊也指出：“直覺……對有創(chuàng)造性的科學(xué)家來說，是須臾不可缺的.”為此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是不可缺少的.

本文試從以下幾個(gè)方面探析數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng).

1.追求美感，誘發(fā)直覺思維

數(shù)學(xué)教育的目的之一就是應(yīng)該讓學(xué)生獲得對于數(shù)學(xué)美的鑒賞能力，這不僅有利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的愛好，也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的提高，感覺不到數(shù)學(xué)的美與優(yōu)雅，就不會(huì)有數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬曾指出：發(fā)明就是選擇，而選擇則唯一地是由科學(xué)美感所支配的，數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)是某種‘美感’或‘美的意識(shí)’，美的意識(shí)越強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)和辯證隱蔽的和諧關(guān)系的直覺也就越強(qiáng).

分析：觀察題目中條件與結(jié)論之間的結(jié)構(gòu)后會(huì)發(fā)現(xiàn)：在a,b,c是任意值時(shí)等式是不成立的，從而在a,b,c之間存在比條件更簡潔的關(guān)系；作為特例考慮，顯然三個(gè)數(shù)有兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，條件與結(jié)論均成立，這意味著條件式子含有因式(a+b)或(a+c)或(b+c)，由于輪換對稱性，則必含有因式(a+b)·(a+c)·(b+c).于是數(shù)學(xué)直覺形成，只需化簡至既定目標(biāo)即可推得結(jié)論.這個(gè)直覺來源于條件式子的輪換對稱美，和諧美.這也來源于對題目條件的直覺.

2.類比聯(lián)想，激發(fā)直覺思維

類比是根據(jù)兩個(gè)或兩個(gè)以上的對象之間某些方面的相似或相同，從而推斷出它們在其它方面的相似或相同的一種邏輯推理方法，數(shù)學(xué)模型方法是類比在數(shù)學(xué)中得到廣泛應(yīng)用的一種形式，通過類比，迅速構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將大腦中儲(chǔ)存的知識(shí)信息進(jìn)行加工，形成思維組塊，從而啟迪思維，促使直覺產(chǎn)生.

案例4 求證:10092017>2017!.

這些解題中突然涌現(xiàn)出來的“靈機(jī)”，就是直覺的表現(xiàn).相信每個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者都希望自己多擁有一些這種才能.

應(yīng)該指出，這種迅速識(shí)別、直接證明、綜合判斷的“數(shù)學(xué)洞察力”并非天生的，而恰恰是學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種集中反映.扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，靈活的變通思維能力，一定時(shí)間的冥思苦想加上適當(dāng)?shù)募ぐl(fā)情境(如心情好，與別人進(jìn)行研討，觸景生情等)，“直覺”也會(huì)垂青于你的.

請注意，別忘了記下自己產(chǎn)生“直覺”時(shí)的感受，因?yàn)?，這還是一個(gè)值得深入研究的有趣的課題.

3.大膽猜想，構(gòu)建直覺思維

猜想是一種合情推理，對于未給出結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導(dǎo).對于已有結(jié)論的問題，猜想也是尋求解題思路策略的重要手段，數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，并且要以數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為支柱，而培養(yǎng)敢于猜想，善于探索的思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素養(yǎng).按照學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律，兒童階段的直覺思維在整個(gè)的思維活動(dòng)過程中占有主導(dǎo)地位，但隨著年齡的增大，受到的挫折和傷害增多，直覺思維漸漸受到了抑制.事實(shí)上，直覺思維既容易由于受到鼓勵(lì)使之得到發(fā)展，也極易受到傷害而被扼殺，因此在教學(xué)活動(dòng)中，要發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力，就要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想.

當(dāng)然，直覺得到的結(jié)果也可能不完善，也可能是錯(cuò)誤的，這時(shí)，還應(yīng)與邏輯思維相結(jié)合，以導(dǎo)向正確的證明和演算.

案例6 曲線C:y=x2,有一條長為m的線段兩端在C上滑動(dòng),求它的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.

直覺繼續(xù)猜想,這條長度一定的線段兩端在拋物線上滑動(dòng),滑動(dòng)…,它滑動(dòng)時(shí),中點(diǎn)坐標(biāo)的改變只與直線的傾斜程度有關(guān),可以用傾斜角作為中間變量.用分析思維驗(yàn)證直覺猜想估計(jì)的結(jié)果:

4.觀察特征，引發(fā)直覺思維

直覺思維是把問題當(dāng)作一個(gè)整體來分析，從全局出發(fā)，觀察其特征，避開具體細(xì)節(jié)的邏輯分析，直觀洞察，領(lǐng)悟本質(zhì)，迅速產(chǎn)生解題思路.

案例7 已知x,y滿足x≥1,y≥1及(logax)2+(logay)2=loga(ax2)+loga(ay2) (a>0且a≠1)，當(dāng)a∈(1,+∞)范圍內(nèi)變化時(shí)，求loga(xy)的最值.

分析：由于已知條件的數(shù)量關(guān)系不夠明朗，觀察其結(jié)構(gòu)特征，為使復(fù)雜的關(guān)系簡單化，直覺思維告訴我們采用換元法.

圖1

令s=logax,t=logay(s≥0,t≥0) ，題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為(s-1)2+(t-1)2=4,(s≥0,t≥0)表示圓在第一象限內(nèi)的一部分(如圖1).而所求loga(xy)=s+t，令s+t=k，則聯(lián)想為直線，k為截距.

直覺思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵因素,是邏輯的飛躍和升華,是人腦對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)敏銳的想象.直覺的領(lǐng)悟,迅速的判斷,是數(shù)學(xué)的洞察力.重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力有利于創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中將直覺思維與邏輯思維有機(jī)地結(jié)合、相互補(bǔ)充，才能相映成趣、取得成效.至于怎樣培養(yǎng)自己的直覺能力，貝弗里奇提出過一些好的建議，諸如：對問題作長時(shí)間的思考，緊張思考后的“悠閑放松”，與別人交流，隨時(shí)記下思維的“閃光 ”……