沈 瑜

(江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)，江蘇 蘇州 215500)

高中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)案例探討——以《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)為例

沈 瑜

(江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)，江蘇 蘇州 215500)

本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)為例，探討了“橢圓”不同設(shè)計策略和教學(xué)方式.在教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注“過程”，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生自主探索，突破難點(diǎn)，增強(qiáng)核心概念理解，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)核心知識體系.

高中數(shù)學(xué)；核心概念；教學(xué)案例

作為連接知識與知識，構(gòu)成知識體系的核心，數(shù)學(xué)核心概念對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有重要的支撐作用，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展、數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ).而《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》一直是蘇教版高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)知識，不僅包含了模型、數(shù)形結(jié)合等思想，而且在學(xué)習(xí)過程中滲透了運(yùn)算、推理等能力的考察.這就要求教師應(yīng)建構(gòu)以核心概念為中心，采用不同的不同設(shè)計策略和教學(xué)方式，關(guān)注“過程”，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生自主探索，以增強(qiáng)核心概念理解，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)核心知識體系.

一、探究學(xué)習(xí)法

1.創(chuàng)設(shè)時代背景，引發(fā)學(xué)生共鳴.高中學(xué)生好奇心強(qiáng)，教師應(yīng)結(jié)合時代背景，最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.例如，通過視頻的形式展示神州十一號飛船與天空2號對接的場景，讓學(xué)生知道對接后形成的組合體運(yùn)行的軌跡就是橢圓，從而激發(fā)學(xué)生對橢圓知識學(xué)習(xí)的興趣.

2.總結(jié)已學(xué)軌跡，提出研究課題.根據(jù)已學(xué)知識，通過改變已學(xué)知識的條件、假設(shè)等合情推理出新的研究課題.例如，在講解《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》時，學(xué)生已學(xué)習(xí)過圓、角平分線、線段的垂直平分線等軌跡，筆者從距離、定值等多個角度引導(dǎo)學(xué)生提出“到兩個定點(diǎn)距離之和是定值的點(diǎn)的軌跡是什么圖形”這個研究課題.

3.研究軌跡形狀，經(jīng)歷合情推理.尺規(guī)作圖是學(xué)生常用的作圖方式，但根據(jù)“到兩個定點(diǎn)的距離之和是定值”這個條件，似乎很難找到問題的答案.此時，教師應(yīng)讓學(xué)生回顧以前學(xué)習(xí)圓的軌跡的作圖方式，即為了達(dá)到“到兩個定點(diǎn)的距離之和是定值”這一條件，可以把繩子的兩端固定在兩個定點(diǎn)的位置上，并鼓勵學(xué)生實地探究，通過小組的形式畫出橢圓圖形.

5.特例鞏固練習(xí)，再探橢圓性質(zhì).為了進(jìn)一步研究橢圓的性質(zhì)，加深對橢圓概念的理解，筆者設(shè)置了以下問題組織學(xué)生探討：

已知橢圓上點(diǎn)A到兩焦點(diǎn)間的距離是10，焦距為8，求該橢圓的方程式.

面對這一問題，筆者引導(dǎo)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，探索如何將具體問題數(shù)學(xué)化，并且在直角坐標(biāo)系中表示出具體的數(shù)值：

由焦距為8得出焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)為(-4,0)、(4,0)；

由點(diǎn)A(x,y)到兩焦點(diǎn)間的距離是10得到|MF1|+|MF2|=10;

二、類比教學(xué)法

類比教學(xué)法是在學(xué)生已學(xué)數(shù)學(xué)知識和結(jié)論的前提下，通過形象直觀的經(jīng)驗和直覺，推測出某種推理的一種教學(xué)方式，從而達(dá)到得出數(shù)學(xué)概念.但是通過這種推理而得出的結(jié)論不一定正確，需要教師進(jìn)一步的驗證和推理.橢圓概念類比教學(xué)法教學(xué)過程如下：

1.理論鋪墊，理解曲線方程.建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合該圖形代表的方程研究橢圓幾何圖形性質(zhì).例如，在前面課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這兩個知識點(diǎn)，筆者以該知識為出發(fā)點(diǎn)，從而引入本節(jié)課程知識.

2.辨析確認(rèn)，理解橢圓概念.在學(xué)生課前復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，有意識地呈現(xiàn)學(xué)生關(guān)注不夠細(xì)致的問題，啟發(fā)學(xué)生尋找到問題產(chǎn)生的本質(zhì).例如，當(dāng)學(xué)生初步掌握橢圓就是平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡時，筆者以常數(shù)為問題，進(jìn)一步探討常數(shù)的條件，即當(dāng)這個常數(shù)等于兩個定點(diǎn)的距離時，軌跡是以這兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段；當(dāng)這個常數(shù)小于兩個定點(diǎn)的距離時，無法構(gòu)成圖形，軌跡不存在；只有當(dāng)這個常數(shù)大于這兩個定點(diǎn)的距離時，才能夠成橢圓.通過這樣有意識地反思，幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解橢圓的概念.

3.操作類比，感受思想方法.充分利用所學(xué)圓等方面的知識，通過知識遷移深入理解橢圓的性質(zhì).然后充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，組織學(xué)生以小組的形式探討圓和橢圓的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，通過圓與橢圓在概念、思想方法、標(biāo)準(zhǔn)方程式等方面的異同加深橢圓性質(zhì)的理解.

三、預(yù)習(xí)教學(xué)法

課前預(yù)習(xí)是學(xué)生掌握好課堂內(nèi)容的必要條件，只有在課前預(yù)習(xí)的前提下，才能將抽象的數(shù)學(xué)核心概念理解深刻.橢圓概念預(yù)習(xí)教學(xué)法的教學(xué)過程如下：

1.做好課前定位，列出預(yù)習(xí)提綱.筆者在深入分析教材和學(xué)情的基礎(chǔ)上，設(shè)計出了以下預(yù)習(xí)提綱：

(1)什么是圓錐曲線？為什么要研究圓錐曲線？

(2)從集合角度，闡述{(x，y)|x2+y2=1}和{(x，y)|x2+y2≤1}所表示的意義.

(3)總結(jié)出求曲線方程的步驟，深刻體會平面直角坐標(biāo)系在研究幾何形狀中的重要作用.

⑷橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何表示，嘗試對教材中的例題做出變式并解答.

2.把握課堂起點(diǎn)，檢測預(yù)習(xí)效果.對課前預(yù)習(xí)情況進(jìn)行檢查，對于未預(yù)習(xí)學(xué)生，在得知具體原因的基礎(chǔ)上讓學(xué)生理解課前預(yù)習(xí)的重要性；對于預(yù)習(xí)學(xué)生，通過“為什么要學(xué)習(xí)這節(jié)課、“你認(rèn)為這節(jié)課主要講了什么”、“不懂的地方有哪些”等問題準(zhǔn)確定位課堂內(nèi)容.

4.落實新課目標(biāo)，做好總結(jié)反思.及時總結(jié)課堂知識，促進(jìn)學(xué)生不斷完善自己的知識結(jié)構(gòu).同時，做好課后作業(yè)布置，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)習(xí)效果.

四、欣賞教學(xué)法

數(shù)學(xué)概念源于生活，但卻是個別數(shù)學(xué)家應(yīng)用理性思維抽象而得到的，要想在課堂上展示發(fā)展歷程是相當(dāng)困難的，即使教學(xué)再現(xiàn)情境，學(xué)生也會感到牽強(qiáng)附會.因此，教師對于學(xué)生“你是怎么想到橢圓就是通過筆尖在固定的繩子上移動得到的”、“怎么從鴨蛋中抽象出橢圓的概念呢”等類似問題應(yīng)通過欣賞的角度組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí).

1.欣賞實例，了解概念.通過一些學(xué)生非常熟悉的事物深刻理解橢圓圖形，如水杯傾斜時水面的形狀、球在斜射陽光下的影子的邊界.

2.歷史觀點(diǎn)，揭示概念.閱讀教材中給出的橢圓概念，展示1822年旦德林發(fā)現(xiàn)橢圓的焦半徑性質(zhì)，并應(yīng)用旦德林球模型深刻揭示“到定點(diǎn)的距離等于定長”這一性質(zhì).

3、概念得出，制作模型.通過筆尖在固定的繩子上移動操作畫出橢圓模型，理解繩子的長度、筆尖到兩個定點(diǎn)的距離之和所代表的幾何意義，并推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

綜上所述，傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)較為呆板，只是將其作為一個既定的理論進(jìn)行講解，學(xué)生學(xué)習(xí)效果較差，而探究學(xué)習(xí)法、類比教學(xué)法、預(yù)習(xí)教學(xué)法、欣賞教學(xué)法更加注重核心概念的演繹和推理，注重教學(xué)過程中的創(chuàng)新和學(xué)生能力的培養(yǎng)，有利于高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí).

[1]郝俊鵬.對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].學(xué)周刊,2017(14).

[2]章建躍.“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計研究與實踐”中期研究報告[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2008(13).

[3]周宏燕.數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)實踐感悟[J].教育科學(xué)論壇,2013(08).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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2017-06-01

沈瑜(1987.04-)，女(漢族)，江蘇省蘇州人，本科，中學(xué)二級教師.