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        滿園春色“等”不及,有效策略花更艷

        2017-11-01 16:03:35嚴(yán)玉芳
        初中生世界 2017年39期
        關(guān)鍵詞:白球概型紅球

        嚴(yán)玉芳

        滿園春色“等”不及,有效策略花更艷

        嚴(yán)玉芳

        初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),豐富多彩,數(shù)與式、幾何推理、圖形的變換、函數(shù)的變化、統(tǒng)計(jì)概率……構(gòu)成了數(shù)學(xué)的“滿園春色”,其中概率是研究不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,概率的學(xué)習(xí)有利于我們培養(yǎng)和發(fā)展隨機(jī)觀念,初步形成觀察和分析問題的意識(shí)“.認(rèn)識(shí)概率”主要是從概率統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)了解概率初步知識(shí),“等可能條件下的概率”將研究如何運(yùn)用古典概型計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.古典概型具有以下兩個(gè)特征:一是試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果只有有限個(gè)(有限性);二是每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同(等可能性).如果一個(gè)試驗(yàn)的所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為m,事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為n,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=在古典概型中,利用有限性和等可能性成功解決了一類問題的概率,在解決問題的過程中選擇有效的方法與策略是至關(guān)重要的.

        一、對(duì)比內(nèi)化,明朗概念

        我們?cè)谔幚磔^為復(fù)雜的概率問題時(shí),有時(shí)會(huì)忽視古典概型的使用條件:等可能.在解決這一問題時(shí),我們可用實(shí)例進(jìn)行對(duì)比,從而感知和辨析“等可能”和“不等可能”,明確古典定義的適用對(duì)象須具備的條件.

        例如:一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球,這些球除了顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出一個(gè)球,問:(1)摸到每個(gè)球是等可能的嗎?(2)摸到白球和紅球是等可能的嗎?(3)摸到紅球和白球的概率為多少?

        第1問和第2問便于我們對(duì)“等可能性”進(jìn)行對(duì)比理解,因?yàn)檫@三個(gè)球除了顏色外都相同,所以攪勻后從中摸出每個(gè)球的可能性相同,紅球有2個(gè),如果把它們編號(hào)為紅球1、紅球2,那么攪勻后從中摸出一個(gè)球會(huì)出現(xiàn)三種可能結(jié)果:摸到白球,摸到紅球1,摸到紅球2,這三種結(jié)果是等可能的,其中摸到紅球有兩種等可能結(jié)果,摸到白球有一種等可能結(jié)果,所以摸到紅球的概率為摸到白球的概率為這樣對(duì)“等可能”概念的內(nèi)化就非常明朗了.

        二、情境有序化,清晰思路

        對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題,可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決,解決問題的關(guān)鍵在于找出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,為了既不重復(fù)也不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,我們運(yùn)用列舉法(包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖)來計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率.對(duì)于有些情境本身就是有序的,用列舉法能很快找出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果,但對(duì)于本無序的實(shí)際情境,我們也可以人為地有序化,再利用列舉法(包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖)分析,也可以有效地列出所有的等可能出現(xiàn)的結(jié)果,從而求出概率.

        例如:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次,兩次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是多少?

        這一情境本是有序的,可對(duì)這枚質(zhì)地均勻的硬幣第一次拋擲和第二次拋擲的結(jié)果分別討論,通過列表法或畫樹狀圖法列出所有的等可能出現(xiàn)的結(jié)果,快速求出兩次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率.

        列表法:如果我們把“第一次正面朝上和第二次正面朝上”記作(正,正),則列表如下:

        由上表可得本題共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果,其中兩次拋擲的結(jié)果都是“正面朝上”只有1種,所以P(正,正).通過列表,把等可能結(jié)果的記法有序化了.

        又如:小明有紅色、黃色、藍(lán)色上衣各一件,有藍(lán)色、棕色褲子各一條,小明任意取出一件上衣和一條褲子穿上,恰好是藍(lán)色上衣和藍(lán)色褲子的概率是多少?

        這類情境選擇上衣和褲子本是任意的、無序的,我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí),可以認(rèn)為設(shè)定先選衣服或褲子進(jìn)行等可能結(jié)果的討論,再在選定的基礎(chǔ)上對(duì)另一對(duì)象進(jìn)行等可能結(jié)果討論,可利用列表法或畫樹狀圖進(jìn)行有序分析.

        畫樹狀圖:

        由上圖可知:共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們是等可能的“.恰好是藍(lán)色上衣和藍(lán)色褲子”記為事件A,它的發(fā)生只有1種可能性,所以事件A發(fā)生的概率P(A)=

        對(duì)于同時(shí)投擲兩枚硬幣的情境,我們可以對(duì)其結(jié)果有序化分析,先討論其中一枚的結(jié)果,再討論另一枚,或可以轉(zhuǎn)化為先投一枚,再投另一枚的情境分析;在除了顏色外其他都一樣的摸球游戲中,對(duì)于求同時(shí)摸兩個(gè)球顏色相同的概率,可以轉(zhuǎn)化為求先摸一球,不放回,再摸一個(gè)球,兩球顏色相同的概率,再用列舉法(包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖),使得分析和結(jié)果都能有序化.

        當(dāng)然,這三種常用方法我們要合理選擇.以上兩例屬于兩步試驗(yàn),枚舉法、列表法和畫樹狀圖均可使用,若拋擲硬幣三次,求三次都正面朝上的概率,或選擇上衣、褲子和鞋子的顏色一致的概率,對(duì)于這類三步或三步以上的有限個(gè)結(jié)果的試驗(yàn),必須用畫樹狀圖的方法來分析解決問題了.

        三、幾何概型古典化,方法統(tǒng)一

        在實(shí)際情境中有一類事件的發(fā)生的概率的大小與面積有關(guān),如轉(zhuǎn)盤游戲,它就是通過對(duì)轉(zhuǎn)盤的“等分”,將幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型加以研究的,這類事件的概率計(jì)算方法是:設(shè)試驗(yàn)結(jié)果落在某區(qū)域S中每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的,用A表示事件“試驗(yàn)結(jié)果落在S中的一個(gè)小區(qū)域M中”,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=,這樣就將無限個(gè)結(jié)果有限化.

        總之,“等可能條件下的概率”的學(xué)習(xí)重在情境分析和親自試驗(yàn),在遇到問題時(shí),利用有效的方法和策略更有利于我們積極主動(dòng)探索,體驗(yàn)成功的喜悅,增強(qiáng)自信,提升學(xué)習(xí)的興趣.我們要在這滿園春色的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,使概率學(xué)習(xí)之花綻放得更加艷麗、多彩.

        (作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)水北中學(xué))

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