嚴(yán)玉芳

滿園春色“等”不及，有效策略花更艷

嚴(yán)玉芳

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，豐富多彩，數(shù)與式、幾何推理、圖形的變換、函數(shù)的變化、統(tǒng)計(jì)概率……構(gòu)成了數(shù)學(xué)的“滿園春色”，其中概率是研究不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，概率的學(xué)習(xí)有利于我們培養(yǎng)和發(fā)展隨機(jī)觀念，初步形成觀察和分析問題的意識(shí)“.認(rèn)識(shí)概率”主要是從概率統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)了解概率初步知識(shí)，“等可能條件下的概率”將研究如何運(yùn)用古典概型計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.古典概型具有以下兩個(gè)特征：一是試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果只有有限個(gè)（有限性）；二是每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同（等可能性）.如果一個(gè)試驗(yàn)的所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為m，事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為n，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=在古典概型中，利用有限性和等可能性成功解決了一類問題的概率，在解決問題的過程中選擇有效的方法與策略是至關(guān)重要的.

一、對(duì)比內(nèi)化，明朗概念

我們?cè)谔幚磔^為復(fù)雜的概率問題時(shí)，有時(shí)會(huì)忽視古典概型的使用條件：等可能.在解決這一問題時(shí)，我們可用實(shí)例進(jìn)行對(duì)比，從而感知和辨析“等可能”和“不等可能”，明確古典定義的適用對(duì)象須具備的條件.

例如：一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除了顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，問：（1）摸到每個(gè)球是等可能的嗎？（2）摸到白球和紅球是等可能的嗎？（3）摸到紅球和白球的概率為多少？

第1問和第2問便于我們對(duì)“等可能性”進(jìn)行對(duì)比理解，因?yàn)檫@三個(gè)球除了顏色外都相同，所以攪勻后從中摸出每個(gè)球的可能性相同，紅球有2個(gè)，如果把它們編號(hào)為紅球1、紅球2，那么攪勻后從中摸出一個(gè)球會(huì)出現(xiàn)三種可能結(jié)果：摸到白球，摸到紅球1，摸到紅球2，這三種結(jié)果是等可能的，其中摸到紅球有兩種等可能結(jié)果，摸到白球有一種等可能結(jié)果，所以摸到紅球的概率為摸到白球的概率為這樣對(duì)“等可能”概念的內(nèi)化就非常明朗了.

二、情境有序化，清晰思路

對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題，可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決，解決問題的關(guān)鍵在于找出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，為了既不重復(fù)也不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，我們運(yùn)用列舉法（包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖）來計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率.對(duì)于有些情境本身就是有序的，用列舉法能很快找出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，但對(duì)于本無序的實(shí)際情境，我們也可以人為地有序化，再利用列舉法（包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖）分析，也可以有效地列出所有的等可能出現(xiàn)的結(jié)果，從而求出概率.

例如：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，兩次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率是多少？

這一情境本是有序的，可對(duì)這枚質(zhì)地均勻的硬幣第一次拋擲和第二次拋擲的結(jié)果分別討論，通過列表法或畫樹狀圖法列出所有的等可能出現(xiàn)的結(jié)果，快速求出兩次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率.

列表法：如果我們把“第一次正面朝上和第二次正面朝上”記作（正，正），則列表如下：

由上表可得本題共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩次拋擲的結(jié)果都是“正面朝上”只有1種，所以P（正，正）.通過列表，把等可能結(jié)果的記法有序化了.

又如：小明有紅色、黃色、藍(lán)色上衣各一件，有藍(lán)色、棕色褲子各一條，小明任意取出一件上衣和一條褲子穿上，恰好是藍(lán)色上衣和藍(lán)色褲子的概率是多少？

這類情境選擇上衣和褲子本是任意的、無序的，我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)，可以認(rèn)為設(shè)定先選衣服或褲子進(jìn)行等可能結(jié)果的討論，再在選定的基礎(chǔ)上對(duì)另一對(duì)象進(jìn)行等可能結(jié)果討論，可利用列表法或畫樹狀圖進(jìn)行有序分析.

畫樹狀圖：

由上圖可知：共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們是等可能的“.恰好是藍(lán)色上衣和藍(lán)色褲子”記為事件A，它的發(fā)生只有1種可能性，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=

對(duì)于同時(shí)投擲兩枚硬幣的情境，我們可以對(duì)其結(jié)果有序化分析，先討論其中一枚的結(jié)果，再討論另一枚，或可以轉(zhuǎn)化為先投一枚，再投另一枚的情境分析；在除了顏色外其他都一樣的摸球游戲中，對(duì)于求同時(shí)摸兩個(gè)球顏色相同的概率，可以轉(zhuǎn)化為求先摸一球，不放回，再摸一個(gè)球，兩球顏色相同的概率，再用列舉法（包括枚舉法、列表法、畫樹狀圖），使得分析和結(jié)果都能有序化.

當(dāng)然，這三種常用方法我們要合理選擇.以上兩例屬于兩步試驗(yàn)，枚舉法、列表法和畫樹狀圖均可使用，若拋擲硬幣三次，求三次都正面朝上的概率，或選擇上衣、褲子和鞋子的顏色一致的概率，對(duì)于這類三步或三步以上的有限個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)，必須用畫樹狀圖的方法來分析解決問題了.

三、幾何概型古典化，方法統(tǒng)一

在實(shí)際情境中有一類事件的發(fā)生的概率的大小與面積有關(guān)，如轉(zhuǎn)盤游戲，它就是通過對(duì)轉(zhuǎn)盤的“等分”，將幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型加以研究的，這類事件的概率計(jì)算方法是：設(shè)試驗(yàn)結(jié)果落在某區(qū)域S中每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的，用A表示事件“試驗(yàn)結(jié)果落在S中的一個(gè)小區(qū)域M中”，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=，這樣就將無限個(gè)結(jié)果有限化.

總之，“等可能條件下的概率”的學(xué)習(xí)重在情境分析和親自試驗(yàn)，在遇到問題時(shí)，利用有效的方法和策略更有利于我們積極主動(dòng)探索，體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)自信，提升學(xué)習(xí)的興趣.我們要在這滿園春色的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使概率學(xué)習(xí)之花綻放得更加艷麗、多彩.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)水北中學(xué)）