吳粉連

透視概率考點 剖析中考真題

吳粉連

中考是考查初中三年所學(xué)知識的最重要的考試，有些必考題會涉及九年級上學(xué)期學(xué)習(xí)的“等可能條件下的概率”.對于本章中的重要考點和難點，我們將通過對中考考題的解析一一呈現(xiàn).

一、考點透視

1.常見題型：填空題、選擇題、解答題.

2.考查內(nèi)容：用列表法、樹狀圖求概率；用概率評判游戲的公平性.

3.高頻考點：

（1）突出對游戲公平試題的考查；

（2）突出對操作試驗型試題的考查.

4.命題趨勢：近幾年中考中，選擇題、填空題呈減少趨勢，以解答題為主，總體趨向知識綜合.

二、真題剖析

考點一 概率的計算

例1 （2015·淮安）某種產(chǎn)品共有10件，其中有一件是次品，現(xiàn)從中任意抽取一件，恰好抽到次品的概率是 .

【解析】因為從中任意抽出1件共有10種等可能的結(jié)果，其中抽到次品的有一種結(jié)果，則抽到次品的概率為

【點評】本題考查了等可能條件下的概率的計算，解題的關(guān)鍵是掌握概率的意義，列舉出所有等可能的結(jié)果.

考點二 求概率的方法

知識點一：用列表法計算兩步試驗的概率.

例2 （2017·泰興一模）有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被均勻地分成了三等份，并在里面標(biāo)上數(shù)字，如圖所示，分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動以后，將兩個指針?biāo)傅臄?shù)字相乘（若指針停在等分線上，則重新轉(zhuǎn)，直到符合條件為止），用列表法分別求出乘積是3的倍數(shù)和5的倍數(shù)的概率.

解：每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果列表如下：

表格中共有9種等可能的結(jié)果，則數(shù)字之積為3的倍數(shù)的有5種，其概率為數(shù)字之積為5的倍數(shù)的有3種，其概率為.

【點評】一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多，為了不重復(fù)、不遺漏列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法分析所有等可能的結(jié)果，當(dāng)結(jié)果要求進行數(shù)的和、積等運算時，用列表法顯得更加清晰、明確.

知識點二：畫樹狀圖求多步試驗的概率.

例3 （2015·常州）甲、乙、丙三位學(xué)生進入了爭奪“校園朗誦比賽”冠軍、亞軍、季軍的決賽.他們將通過抽簽來決定比賽的出場順序.

（1）求甲第一個出場的概率；

（2）求甲比乙先出場的概率.

【解析】（1）誰第一個出場共有三種可能，所以甲第一個出場的概率為

（2）用樹狀圖表示出所有可能性，注意與丙的出場順序無關(guān).

解：（1）甲、乙、丙三位學(xué)生都有可能第一個出場，因此共有三種等可能的結(jié)果，所以甲第一個出場的概率為

（2）用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

共有6種等可能的情況，

其中甲比乙先出場的共有3種，

【點評】列表法適合于兩步完成的事件，而畫樹狀圖適合兩步或者兩步以上完成的事件.

考點三 游戲中的公平性問題

例4 （2016·泉州）A、B兩組卡片共5張，A中三張分別寫有2、4、6，B中兩張分別寫有3、5，它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別.

（1）隨機地從A中抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；

（2）隨機地分別從A、B中各抽取一張，請你用畫樹狀圖或列表法表示所有等可能的結(jié)果.現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請問這樣的游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？為什么？

【解析】（1）根據(jù)概率的定義列式即可；

（2）畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率的意義，分別求出甲、乙獲勝的概率從而解決問題.

（2）由題意畫出樹狀圖：

一共有6種等可能的情況，甲獲勝的情況有4種，乙獲勝的情況有2種，

所以這樣的游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷，首先要計算每個事件發(fā)生的概率，然后進行比較，概率相等就公平，否則就不公平.

【拓展】你能修改游戲規(guī)則，使游戲公平嗎？

調(diào)整規(guī)則（答案不唯一）：

方法一：如果所選出的兩數(shù)之和大于8則甲獲勝，否則乙獲勝；

方法二：如果兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲得到1分，否則乙得2分.

【點評】在游戲規(guī)則不公平的前提下，要使游戲公平，修改規(guī)則主要從兩個方面考慮：①使游戲雙方獲勝的概率相同；②采用得分法，使比賽雙方得分相同.

考點四 操作問題

例5 （2015·鎮(zhèn)江）活動1：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3的3個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三位同學(xué)按丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分攪勻，請你對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序： → → ，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于 ，最后一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于 .

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，…，n（n為正整數(shù)）的n個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三名同學(xué)從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系.

你還能得到什么活動經(jīng)驗？（寫出一個即可）

【解析】活動1：利用畫樹狀圖分析出所有等可能的結(jié)果，再利用等可能條件下概率的計算公式，可求出甲勝出的概率.

活動2：任意規(guī)定甲、乙、丙三人的摸球順序，按活動1的方法求出各人勝出的概率.

猜想：根據(jù)前面兩個活動，從得到的活動經(jīng)驗中推斷這種不放回的摸球抽簽是否公平.

解：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

（1）以上共有6種等可能的結(jié)果，其中甲勝出的結(jié)果有2種，故P（甲勝）=

對三位同學(xué)規(guī)定一個摸球順序（答案不唯一）：甲→乙→丙，則第一個摸球的甲同學(xué)勝出的概率為最后一個摸球的丙同學(xué)勝出的概率也等于

【點評】本題是一道求概率為主的實踐活動題，同時也是規(guī)律探究題，解答本題的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能結(jié)果，通常采用樹狀圖.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實驗學(xué)校）